5 J শক্তির মোটর দ্বারা চালিত 250 g ভরের খেলনা গাড়িকে ১ম বার 4 ms^-1 সুষম বেগে এবং পরবর্তীতে গাড়িটিকে স্থির অবস্থান হতে 1 ms^-2 সুষম ত্বরণে 8m চালনা করা হলো।

সাবানযুক্ত ভেজা হাতে প্যাচযুক্ত পানির কল খোলা কষ্টকর কারণ সাবান ও পানির মিশ্রণ হাতের এবং কলের পৃষ্ঠের মধ্যে ঘর্ষণ (friction) অনেক কমিয়ে দেয়।

কোনো বস্তুকে ধরতে বা ঘুরিয়ে খুলতে হলে তার পৃষ্ঠের সাথে হাতের পৃষ্ঠের পর্যাপ্ত ঘর্ষণ বলের প্রয়োজন হয়। যখন হাত সাবান ও পানি দিয়ে ভেজা থাকে, তখন এটি একটি পিচ্ছিল স্তর তৈরি করে যা ঘর্ষণকে উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করে। এর ফলে হাত কলের পৃষ্ঠে প্রয়োজনীয় গ্রিপ (grip) বা আঁকড়ে ধরার ক্ষমতা পায় না, যার কারণে কল ঘুরিয়ে খোলা বা বন্ধ করা কঠিন হয়ে পড়ে।

উদ্দীপকে উল্লিখিত দ্বিতীয়বারের ক্ষেত্রে, খেলনা গাড়িটিকে স্থির অবস্থান হতে চালনা করা হয়, তাই এর আদিবেগ (\(u\)) হবে \(0 \text{ ms}^{-1}\)। গাড়িটির সুষম ত্বরণ (\(a\)) \(1 \text{ ms}^{-2}\) এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব (\(s\)) \(8 \text{ m}\)। উল্লিখিত দূরত্ব অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে (\(t\)) তা নির্ণয় করার জন্য গতির দ্বিতীয় সূত্র, \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\) ব্যবহার করতে হবে।

প্রদত্ত মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:

\(s = ut + \frac{1}{2}at^2\)

\(8 = (0 \times t) + \frac{1}{2} \times 1 \times t^2\)

\(8 = 0 + \frac{1}{2}t^2\)

\(8 = \frac{1}{2}t^2\)

\(16 = t^2\)

\(t = \sqrt{16}\)

\(t = 4 \text{ s}\)

অতএব, উদ্দীপকের দ্বিতীয় অংশে বর্ণিত খেলনা গাড়িটির 8 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে 4 সেকেন্ড সময় লাগবে। এই ফলাফলটি উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত আদিবেগ, ত্বরণ এবং দূরত্বের তথ্য ব্যবহার করে গতির মৌলিক সমীকরণ প্রয়োগের মাধ্যমে নির্ণীত হয়েছে।

উদ্দীপকে উল্লিখিত মোটর দ্বারা চালিত খেলনা গাড়ির কর্মদক্ষতা উভয় ক্ষেত্রে একই থাকবে কিনা, তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করতে হবে। কর্মদক্ষতা হলো কোনো যন্ত্র বা ব্যবস্থার লভ্য কার্যকর শক্তি বা ক্ষমতা এবং মোট প্রদত্ত শক্তি বা ক্ষমতার অনুপাতকে শতকরায় প্রকাশ করা। উভয় ক্ষেত্রে মোট প্রদত্ত শক্তি 5 J এবং গাড়ির ভর 250 g।

প্রথম ক্ষেত্রে কর্মদক্ষতা নির্ণয়:
এখানে, মোটরের প্রদত্ত শক্তি, \(E_{\text{in}} = 5 \text{ J}\)
খেলনা গাড়ির ভর, \(m = 250 \text{ g} = 0.25 \text{ kg}\)
গাড়ির সুষম বেগ, \(v = 4 \text{ ms}^{-1}\)
এই ক্ষেত্রে, মোটর দ্বারা সম্পন্ন কার্যকর কাজ বা লভ্য শক্তি হলো গাড়ির গতিশক্তি।
লভ্য শক্তি, \(W_{\text{out1}} = \frac{1}{2}mv^2\)
\(W_{\text{out1}} = \frac{1}{2} \times 0.25 \text{ kg} \times (4 \text{ ms}^{-1})^2\)
\(W_{\text{out1}} = \frac{1}{2} \times 0.25 \times 16 \text{ J}\)
\(W_{\text{out1}} = 2 \text{ J}\)
সুতরাং, প্রথম ক্ষেত্রে কর্মদক্ষতা, \(\eta_1 = \frac{W_{\text{out1}}}{E_{\text{in}}} \times 100\%\)
\(\eta_1 = \frac{2 \text{ J}}{5 \text{ J}} \times 100\%\)
\(\eta_1 = 40\%\)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে কর্মদক্ষতা নির্ণয়:
এখানে, মোটরের প্রদত্ত শক্তি, \(E_{\text{in}} = 5 \text{ J}\)
খেলনা গাড়ির ভর, \(m = 250 \text{ g} = 0.25 \text{ kg}\)
গাড়িটি স্থির অবস্থান হতে যাত্রা শুরু করে, তাই আদি বেগ, \(u = 0 \text{ ms}^{-1}\)
সুষম ত্বরণ, \(a = 1 \text{ ms}^{-2}\)
অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(s = 8 \text{ m}\)
প্রথমে, অতিক্রান্ত 8m দূরত্বে গাড়ির শেষ বেগ \(v_{\text{f}}\) নির্ণয় করি:
আমরা জানি, \(v_{\text{f}}^2 = u^2 + 2as\)
\(v_{\text{f}}^2 = (0 \text{ ms}^{-1})^2 + 2 \times 1 \text{ ms}^{-2} \times 8 \text{ m}\)
\(v_{\text{f}}^2 = 16 \text{ m}^2\text{s}^{-2}\)
\(v_{\text{f}} = \sqrt{16} \text{ ms}^{-1} = 4 \text{ ms}^{-1}\)
এই ক্ষেত্রে, মোটর দ্বারা সম্পন্ন কার্যকর কাজ বা লভ্য শক্তি হলো গাড়ির গতিশক্তির পরিবর্তন। যেহেতু আদি বেগ শূন্য ছিল, লভ্য শক্তি হবে শেষ গতিশক্তির সমান।
লভ্য শক্তি, \(W_{\text{out2}} = \frac{1}{2}mv_{\text{f}}^2 - \frac{1}{2}mu^2\)
\(W_{\text{out2}} = \frac{1}{2} \times 0.25 \text{ kg} \times (4 \text{ ms}^{-1})^2 - 0\)
\(W_{\text{out2}} = \frac{1}{2} \times 0.25 \times 16 \text{ J}\)
\(W_{\text{out2}} = 2 \text{ J}\)
সুতরাং, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে কর্মদক্ষতা, \(\eta_2 = \frac{W_{\text{out2}}}{E_{\text{in}}} \times 100\%\)
\(\eta_2 = \frac{2 \text{ J}}{5 \text{ J}} \times 100\%\)
\(\eta_2 = 40\%\)

গাণিতিক যুক্তি ও বিশ্লেষণ:
উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, প্রথম ক্ষেত্রে খেলনা গাড়িটির কর্মদক্ষতা \(\eta_1 = 40\%\) এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রেও কর্মদক্ষতা \(\eta_2 = 40\%\)। উভয় ক্ষেত্রে মোটরের প্রদত্ত শক্তি (5 J) এবং তার সাপেক্ষে লভ্য কার্যকর শক্তি (2 J) একই হওয়ায়, গাড়িটির কর্মদক্ষতার কোনো পরিবর্তন হয়নি। এর কারণ হলো, প্রথম ক্ষেত্রে সুষম বেগে চলার জন্য প্রয়োজনীয় শক্তি এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে স্থির অবস্থা থেকে নির্দিষ্ট ত্বরণে একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করার পর অর্জিত গতিশক্তির পরিমাণ একই (2 J)। যেহেতু মোটরের কর্মদক্ষতা প্রদত্ত শক্তি এবং লভ্য কার্যকর শক্তির অনুপাতের উপর নির্ভর করে এবং উভয় ক্ষেত্রেই এই অনুপাত সমান, তাই কর্মদক্ষতার কোনো পরিবর্তন হয়নি।