Academy
এসএসসি
উচ্চতর গণিত
ক-এ প্রাপ্ত অসম…

x ও y এমন দুইটি সংখ্যা যেখানে x এর 5 গুণ থেকে y এর 3 গুণ বিয়োগ করলে সর্বনিম্ন 9 হয়। আবার, x এর 3 গুণ থেকে y এর দ্বিগুণ বিয়োগ করলে 5 অপেক্ষা ছোট হয়।

ক-এ প্রাপ্ত অসমতা যুগলের সমাধান সেটের লেখচিত্র অঙ্কন কর।

Created: 4 months ago | Updated: 4 months ago

Updated: 4 months ago

এসএসসি উচ্চতর গণিত দুই চলক বিশিষ্ট সরল একঘাত অসমতা

উত্তরঃ

ক-হতে প্রাপ্ত অসমতা,

$5 x - 3 y \geq 9$

বা, $5 x - 3 y - 9 \geq 0$

এবং 3x - 2y < 5

বা, 3x - 2y - 5 < 0

এখন, 5x - 3y - 9 = 0 _______ (i)

3x - 2y - 5 = 0 _________ (ii)

সমীকরণ দুইটির লেখ অঙ্কন করি।

(i) নং সমীকরণ থেকে পাই, 3y = 5x - 9

$y = \frac{5}{3} x - 3$ [3 দ্বারা ভাগ করে]

এখানে,

X	0	3	6
y	-3	2	7

আবার, (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,

2y = 3x - 5

$y = \frac{3}{2} x - \frac{5}{2}$ [2 দ্বারা ভাগ করে]

এখানে,

X	1	3	5
y	-1	2	5

এখন, স্থানাঙ্কায়িত ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (0,-3), (3,2), (6, 7) বিন্দুগুলো স্থাপন করে 5x-3y-9 = 0 সমীকরণের লেখ রেখা এবং (1, 1), (3, 2), (5, 5) বিন্দুগুলো স্থাপন করে 3x - 2y - 5 = 0 সমীকরণের লেখরেখা অঙ্কন করি।

মূলবিন্দু (0, 0) তে 5x - 3y -9 রাশির মান– 9, যা ঋণাত্মক।

সুতরাং 5x - 3y - 9 = 0 এর লেখ রেখার যে পার্শ্বে মূলবিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত সকল বিন্দুর জন্য এবং কেবলমাত্র ঐ সকল বিন্দুর জন্য 5x - 3y - 9 >= 0 ছক কাগজে দাগ টেনে এই সমাধান সেট (যার মধ্যে রেখাটি অন্তর্ভুক্ত) চিত্রিত করি।

আবার, (0, 0) তে 3x – 2y-5 রাশির মান -5, যা ঋণাত্মক।

সুতরাং 3x - 12y - 5 = 0 এর লেখরেখার এর যে পার্শ্বে মূলবিন্দু অবস্থিত বিন্দুর জন্য 3x - 2y - 5 < 0 অর্থাৎ 3x - 2y < 5 ছক কাগজে দাগ টেনে এই মধ্যে লেখ রেখাটি অন্তর্ভুক্ত) চিত্রিত করি।

অতএব এই রেখা দুইটির ছেদাংশই (যার মধ্যে রেখা দুইটির কোন অংশই অন্তর্ভুক্ত নয়। কিন্তু প্রথম রেখার সংশ্লিষ্ট অংশ অন্তর্ভুক্ত) অসমতা দুইটির যুগপৎ সমাধানের লেখচিত্র। চিত্রে গাঢ়ভাবে চিহ্নিত অংশই এই লেখচিত্র।

Md Zahid Hasan

4 months ago

CQ: 23

ডাউনলোড করুন স্যাট একাডেমি অ্যাপ

দুই চলক বিশিষ্ট সরল একঘাত অসমতা টপিকের বিষয়বস্তুঃ

আমরা দুই চলকবিশিষ্ট $y = m x + c$ (যার সাধারণ আকার $a x + b y + c = 0$ ) আকারের সরল সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন করতে শিখেছি (অষ্টম ও নবম-দশম শ্রেণিতে)। আমরা দেখেছি যে, এ রকম প্রত্যেক লেখচিত্রই একটি সরলরেখা। স্থানাঙ্কায়িত XY সমতলে $a x + b y + c = 0$ সমীকরণের লেখচিত্রের যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে অর্থাৎ সমীকরণটির বামপক্ষে $x$ ও $y$ এর পরিবর্তে যথাক্রমে ঐ বিন্দুর ভুজ ও কোটি বসালে এর মান শূন্য হয়। অন্যদিকে, লেখস্থিত নয় এমন কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না অর্থাৎ ঐ বিন্দুর ভুজ ও কোটির জন্য $a x + b y + c$ এর মান শূন্য অপেক্ষা বড় বা ছোট হয়। সমতলস্থ কোনো বিন্দু P এর ভুজ ও কোটি দ্বারা $a x + b y + c$ রাশির $x$ ও $y$ কে যথাক্রমে প্রতিস্থাপন করলে রাশিটির যে মান হয়, তাকে P বিন্দুতে রাশিটির মান বলা হয় এবং উক্ত মানকে সাধারণত $f (P)$ দ্বারা নির্দেশ করা হয়। P বিন্দু লেখস্থিত হলে $f (P) = 0$ , P বিন্দু লেখচিত্রের বহিঃস্থ হলে $f (P) > 0$ অথবা $f (P) < 0$ ।
বাস্তবে লেখচিত্রের বহিঃস্থ সকল বিন্দু লেখ দ্বারা দুইটি অর্ধতলে বিভক্ত হয়; একটি অর্ধতলের প্রত্যেক বিন্দু P এর জন্য $f (P) > 0$ ; অপর অর্ধতলের প্রত্যেক বিন্দু P এর জন্য $f (P) < 0$ । বলা বাহুল্য, লেখের উপর অবস্থিত প্রত্যেক বিন্দু P এর জন্য $f (P) = 0$ ।

উদাহরণ ৬. $x + y - 3 = 0$ সমীকরণটি বিবেচনা করি।

সমীকরণটি থেকে পাওয়া যায়: $y = 3 - x$

x	0	3	1
y	3	0	2

$(x, y)$ সমতলে ছক কাগজে ছোট বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে সমীকরণটির লেখচিত্রটি নিম্নরূপ হয় :

এই লেখচিত্র রেখা সমগ্র তলটিকে তিনটি অংশে পৃথক করে। যথা :

১. রেখার (ক) চিহ্নিত পাশের বিন্দুসমূহ

২. রেখার (খ) চিহ্নিত পাশের বিন্দুসমূহ এবং

৩. রেখাস্থিত বিন্দুসমূহ

এখানে (ক) চিহ্নিত অংশকে লেখরেখার উপরের অংশ ও (খ) চিহ্নিত অংশকে লেখরেখার নিচের অংশ বলা যায়।

(ক) চিহ্নিত পাশে তিনটি বিন্দু $(3, 3), (4, 1), (6, - 1)$ নিই। এই বিন্দুগুলোতে $x + y - 3$ এর মান যথাক্রমে $3, 2, 2$ যাদের সবকটিই ধনাত্মক।

(খ) চিহ্নিত পাশে তিনটি বিন্দু $(0, 0), (1, 1), (- 1, - 1)$ নিই। এই বিন্দুগুলোতে $x + y - 3$ এর মান যথাক্রমে $- 3, - 1, - 5$ যাদের সবকটিই ঋণাত্মক।

বিশেষ দ্রষ্টব্য: $a x + b y + c = 0$ লেখরেখার এক পাশে একটি বিন্দু নিয়ে সেখানে $a x + b y + c$ এর মান নির্ণয় করে রেখাটির দুই পাশ (ধনাত্মক ও ঋণাত্মক) নির্ণয় করা যায়।

Related Question

View All

(১)

$y \leq 2 x$ অসমতাটির লেখচিত্র অঙ্কন কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দুই চলক বিশিষ্ট সরল একঘাত অসমতা

উত্তরঃ

এখানে, y = 2x সমীকরণ থেকে পাই,

x	0	2	-2
y	0	4	-4

ছক কাগজে (0, 0), (2, 4), (-2,4) বিন্দুগুলো স্থাপন করে পাই,

যেহেতু, y এর মান 2x থেকে ছোটও হতে পারে অর্থাৎ, y < 2x ও হতে পারে। তাই লেখচিত্রে রেখাটি ও তার ডানের অংশ সমন্বয়ে গঠিত সমতলের অংশটুকু প্রদত্ত অসমতার লেখচিত্র।

Affan Ahmed

5 months ago

(২)

$y \geq 3 x$ অসমতাটির লেখচিত্র অঙ্কন কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দুই চলক বিশিষ্ট সরল একঘাত অসমতা

উত্তরঃ

এখানে, y = 3x সমীকরণ থেকে পাই,

x	0	2	-2
y	0	6	-6

ছক কাগজে (0, 0), (2, 6), (-2,6) বিন্দুগুলো স্থাপন করে পাই,

যেহেতু y এর মান 3x থেকে বড়ও হতে পারে অর্থাৎ, y > 3x ও হতে পারে, তাই লেখচিত্রে রেখাটি ও তার বাম অংশ সমন্বয়ে গঠিত সমতলের অংশটুকু প্রদত্ত অসমতার লেখচিত্র।

Affan Ahmed

5 months ago

(ক)

উদ্দীপকের সমস্যাটির প্রয়োজনীয় সময় t ঘণ্টা ধরে সমস্যাটিকে অসমতায় দেখাও।

এসএসসি উচ্চতর গণিত দুই চলক বিশিষ্ট সরল একঘাত অসমতা

উত্তরঃ

কমনে করি, হযরত শাহজালাল বিমান বন্দর থেকে বিমান পথে সিঙ্গাপুর যেতে প্রয়োজনীয় সময়। ঘণ্টা। প্রতিকূলে বায়ু প্রবাহের 'দরুণ বাধাপ্রাপ্ত হওয়ার পর বাংলাদেশ বিমানের প্রকৃত গতিবেগ (500 -60) কি. মি./ঘণ্টা বা 440 কি. মি./ঘণ্টা।

প্রশ্নমতে,

$440 t \geq 1793$

$∴$ প্রয়োজনীয় সময়। হলে, $440 t \geq 2900$

Md Zahid Hasan

4 months ago

(খ)

হযরত শাহজালাল বিমানবন্দর থেকে সিঙ্গাপুর বিমান বন্দর পর্যন্ত বিরতিহীন উড্ডয়নের প্রয়োজনীয় সময় ১০ক-তে বর্ণিত অসমতা থেকে নির্ণয় কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

এসএসসি উচ্চতর গণিত দুই চলক বিশিষ্ট সরল একঘাত অসমতা

উত্তরঃ

ক- হতে প্রাপ্ত, $440 t \geq 2900$

বা, $\frac{440 t}{440} \geq \frac{2900}{440}$ [উভয়পক্ষকে 440 দ্বারা ভাগ করে]

বা, $t \geq \frac{145}{22}$ বা, $t \geq 6 \frac{13}{22}$

উড্ডয়নের প্রয়োজনীয় সময় t হলে, $t \geq 6 \frac{13}{22}$

নির্ণেয় সমাধান : $t \geq 6 \frac{13}{22}$

এবং সমাধান সেট, $S = \{t \in R : t \geq 6 \frac{13}{22}\}$

সংখ্যারেখায় সমাধান সেট :

Md Zahid Hasan

4 months ago

(গ)

সিঙ্গাপুর থেকে হযরত শাহজালাল বিমানবন্দরে ফেরার পথে বিরতিহীন উড্ডয়নের প্রয়োজনীয় সময়কে x ধরে সমস্যাটিকে অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করে লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর।

এসএসসি উচ্চতর গণিত দুই চলক বিশিষ্ট সরল একঘাত অসমতা

উত্তরঃ

ধরি, সিঙ্গাপুর থেকে হযরত শাহজালাল বিমান বন্দরে ফেরার বিরতিহীন উড্ডয়নের প্রয়োজনীয় সময় x ঘণ্টা।

অনুকূলে বায়ু প্রবাহের দরুন বাংলাদেশ বিমানের প্রকৃত গতিবেগ (500 + 60) কি. মি./ঘণ্টা বা, 560 কি.মি./ঘণ্টা

ফেরার পথে বিরতিহীন উড্ডয়নের প্রয়োজনীয় সময় x হলে,

$560 x \geq 2900$

$560 x \geq 2900$ অসমতাটিকে লেখা যায়

$560 x (- 2900) \geq 0$ আকারে,

এখন, $560 x - 2900 = 0$

বা, 560 x = 2900

বা, $x = \frac{2900}{560}$

সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন করি। স্থানাঙ্কায়িত ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম 5 বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে $(\frac{2900}{560}, 0)$ বিন্দু দিয়ে y অক্ষের সমান্তরাল করে।

এই লেখচিত্র রেখার বামপাশে মূলবিন্দু অবস্থিত এবং মূল বিন্দুতে 560x - 2900 এর মান-2900, যা ঋণাত্মক।

সুতরাং 560x(- 2900) = 0 রেখার সকল বিন্দু ও রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পাশে অর্থাৎ রেখাটির ডানপাশে অবস্থিত সকল বিন্দু $560 x - 2900 \geq 0$ অসমতার লেখের অন্তর্ভুক্ত। এখন 'চিত্রে দাগ টেনে করি। লেখরেখাটিসহ উহার ডানপাশে গাঢ় চিহ্নিত অংশই লেখচিত্র।

Md Zahid Hasan

4 months ago

(ক)

উদ্দীপকের সমস্যাগুলোকে অসমতায় দেখাও।

এসএসসি উচ্চতর গণিত দুই চলক বিশিষ্ট সরল একঘাত অসমতা

উত্তরঃ

মনে করি, ১ম সংখ্যা x এবং ২য় সংখ্যা y

১ম শর্ত মতে, 3x - 5y > 5

২য় শর্ত মতে, $x - 3 y \leq 9$

$∴$ ১ম সংখ্যা x ও ২য় সংখ্যা y হলে, 3x - 5y > 5 এবং $x - 3 y \leq 9$

Md Zahid Hasan

4 months ago

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র