কাঠিটি দর্পণের কোন অবস্থানে স্থাপন করলে বিম্বের দৈর্ঘ্যের কোনো পরিবর্তন হবে না-রশ্মিচিত্র অঙ্কনসহ গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও। (উচ্চতর দক্ষতা)

অবতল দর্পণের ক্ষেত্রে বস্তুর দৈর্ঘ্য ও বিম্বের দৈর্ঘ্য সমান হওয়ার জন্য বস্তুকে দর্পণের বক্রতার কেন্দ্রে (Center of Curvature, C) স্থাপন করতে হবে। এই অবস্থানে গঠিত প্রতিবিম্ব বাস্তব, উল্টো এবং বস্তুর সমান আকারের হয়ে থাকে।

উদ্দীপকে উল্লিখিত অবতল দর্পণের ব্যাস \(60\text{cm}\) বলা হয়েছে। এখানে ব্যাস বলতে দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ (Radius of Curvature, \(R\)) বোঝানো হয়েছে।

সুতরাং, বক্রতার ব্যাসার্ধ \(R = 60\text{cm}\)।

অতএব, কাঠিটি যদি দর্পণের মেরু থেকে \(60\text{cm}\) দূরে বক্রতার কেন্দ্রে স্থাপন করা হয়, তবে বিম্বের দৈর্ঘ্যের কোনো পরিবর্তন হবে না, অর্থাৎ বিম্বের দৈর্ঘ্য কাঠিটির দৈর্ঘ্যের সমান হবে।

গাণিতিক ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, বিবর্ধন, \(m = \frac{\text{প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য}}{\text{বস্তুর দৈর্ঘ্য}} = -\frac{v}{u}\)।

যদি প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য বস্তুর দৈর্ঘ্যের সমান হয়, তাহলে বিবর্ধনের পরম মান \(|m| = 1\) হবে।

অবতল দর্পণে যখন বস্তু বক্রতার কেন্দ্রে (C) স্থাপন করা হয়, তখন প্রতিবিম্বও বক্রতার কেন্দ্রে গঠিত হয়। এক্ষেত্রে, বস্তুর দূরত্ব \(u = R\) হলে, প্রতিবিম্বের দূরত্ব \(v = R\)।

দর্পণের সূত্রটি হলো: \(\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}\)।

যেহেতু ফোকাস দূরত্ব \(f = \frac{R}{2}\), তাই আমরা লিখতে পারি: \(\frac{1}{f} = \frac{2}{R}\)।

এখন, বস্তুকে বক্রতার কেন্দ্রে (\(u = R\)) রাখলে দর্পণের সূত্রে প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(\frac{1}{v} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}\)

\(\frac{1}{v} = \frac{2}{R} - \frac{1}{R}\)

\(\frac{1}{v} = \frac{1}{R}\)

সুতরাং, \(v = R\)।

এক্ষেত্রে বিবর্ধন হবে \(m = -\frac{v}{u} = -\frac{R}{R} = -1\)।

বিবর্ধনের মান ঋণাত্মক হওয়ায় প্রতিবিম্বটি বাস্তব ও উল্টো। কিন্তু এর পরম মান \(|m|=1\) হওয়ায় প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য বস্তুর দৈর্ঘ্যের সমান হবে।

রশ্মিচিত্র অঙ্কনসহ ব্যাখ্যা:

রশ্মিচিত্র অঙ্কনের জন্য প্রথমে একটি অবতল দর্পণ আঁকতে হবে। দর্পণের প্রধান অক্ষ বরাবর মেরু (P), ফোকাস বিন্দু (F) এবং বক্রতার কেন্দ্র (C) চিহ্নিত করতে হবে। যেখানে \(PF = f\) এবং \(PC = R = 2f\)।

কাঠিটি বক্রতার কেন্দ্রে (C) স্থাপন করতে হবে। কাঠিটির শীর্ষবিন্দু থেকে দুটি প্রধান রশ্মি বিবেচনা করতে হবে:

    
1. একটি রশ্মি প্রধান অক্ষের সমান্তরালভাবে দর্পণে আপতিত হলে, প্রতিফলনের পর সেটি ফোকাস (F) দিয়ে যাবে।
    
2. আরেকটি রশ্মি ফোকাস (F) দিয়ে দর্পণে আপতিত হলে, প্রতিফলনের পর সেটি প্রধান অক্ষের সমান্তরালভাবে ফিরে যাবে।

এই দুটি প্রতিফলিত রশ্মি যে বিন্দুতে ছেদ করবে, সেখানেই বিম্বের শীর্ষবিন্দু গঠিত হবে। রশ্মিচিত্রে দেখা যাবে, বিম্বটি বক্রতার কেন্দ্রে (C) গঠিত হয়েছে, যা বাস্তব, উল্টো এবং বস্তুর সমান আকারের।