60cm ব্যাসবিশিষ্ট একটি অবতল দর্পণের মেরু থেকে 20cm দূরে 12cm দৈর্ঘ্যের একটি বাঁশের কাঠি রাখা হলো। 

উদ্দীপকে উল্লিখিত অবতল দর্পণের জন্য, ব্যাস 60 cm হওয়ায় এর বক্রতার ব্যাসার্ধ \(R = 60/2 = 30\) cm এবং ফোকাস দূরত্ব \(f = R/2 = 15\) cm। বাঁশের কাঠিটি মেরু থেকে 20 cm দূরে রাখা হয়েছে, তাই বস্তুর দূরত্ব \(u = 20\) cm এবং বস্তুর দৈর্ঘ্য \(h_o = 12\) cm। বিম্বের দৈর্ঘ্য \(h_i\) নির্ণয়ের জন্য প্রথমে দর্পণ সূত্র (\( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f} \)) ব্যবহার করে বিম্বের দূরত্ব \(v\) বের করতে হবে, এরপর বিবর্ধন সূত্র (\( M = \frac{h_i}{h_o} = \frac{v}{u} \)) ব্যবহার করে বিম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যাবে।

দর্পণ সূত্র অনুযায়ী,

\( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f} \)

\( \frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} \)

এখানে, \(f = 15 \text{ cm}\) এবং \(u = 20 \text{ cm}\) বসিয়ে পাই,

\( \frac{1}{v} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} \)

\( \frac{1}{v} = \frac{4 - 3}{60} \)

\( \frac{1}{v} = \frac{1}{60} \)

সুতরাং, \(v = 60 \text{ cm}\)

এখন, বিবর্ধন সূত্র ব্যবহার করে বিম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:

\( \frac{h_i}{h_o} = \frac{v}{u} \)

\( h_i = \frac{v}{u} \times h_o \)

এখানে, \(v = 60 \text{ cm}\), \(u = 20 \text{ cm}\) এবং \(h_o = 12 \text{ cm}\) বসিয়ে পাই,

\( h_i = \frac{60}{20} \times 12 \)

\( h_i = 3 \times 12 \)

\( h_i = 36 \text{ cm} \)

সুতরাং, উদ্দীপকে বর্ণিত অবতল দর্পণের সামনে রাখা বাঁশের কাঠির বিম্বের দৈর্ঘ্য হবে 36 cm। যেহেতু বিম্ব দূরত্ব \(v\) ধনাত্মক এসেছে এবং \(u > f\), তাই বিম্বটি বাস্তব ও উল্টা হবে।

অবতল দর্পণের ক্ষেত্রে বস্তুর দৈর্ঘ্য ও বিম্বের দৈর্ঘ্য সমান হওয়ার জন্য বস্তুকে দর্পণের বক্রতার কেন্দ্রে (Center of Curvature, C) স্থাপন করতে হবে। এই অবস্থানে গঠিত প্রতিবিম্ব বাস্তব, উল্টো এবং বস্তুর সমান আকারের হয়ে থাকে।

উদ্দীপকে উল্লিখিত অবতল দর্পণের ব্যাস \(60\text{cm}\) বলা হয়েছে। এখানে ব্যাস বলতে দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ (Radius of Curvature, \(R\)) বোঝানো হয়েছে।

সুতরাং, বক্রতার ব্যাসার্ধ \(R = 60\text{cm}\)।

অতএব, কাঠিটি যদি দর্পণের মেরু থেকে \(60\text{cm}\) দূরে বক্রতার কেন্দ্রে স্থাপন করা হয়, তবে বিম্বের দৈর্ঘ্যের কোনো পরিবর্তন হবে না, অর্থাৎ বিম্বের দৈর্ঘ্য কাঠিটির দৈর্ঘ্যের সমান হবে।

গাণিতিক ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, বিবর্ধন, \(m = \frac{\text{প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য}}{\text{বস্তুর দৈর্ঘ্য}} = -\frac{v}{u}\)।

যদি প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য বস্তুর দৈর্ঘ্যের সমান হয়, তাহলে বিবর্ধনের পরম মান \(|m| = 1\) হবে।

অবতল দর্পণে যখন বস্তু বক্রতার কেন্দ্রে (C) স্থাপন করা হয়, তখন প্রতিবিম্বও বক্রতার কেন্দ্রে গঠিত হয়। এক্ষেত্রে, বস্তুর দূরত্ব \(u = R\) হলে, প্রতিবিম্বের দূরত্ব \(v = R\)।

দর্পণের সূত্রটি হলো: \(\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}\)।

যেহেতু ফোকাস দূরত্ব \(f = \frac{R}{2}\), তাই আমরা লিখতে পারি: \(\frac{1}{f} = \frac{2}{R}\)।

এখন, বস্তুকে বক্রতার কেন্দ্রে (\(u = R\)) রাখলে দর্পণের সূত্রে প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(\frac{1}{v} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}\)

\(\frac{1}{v} = \frac{2}{R} - \frac{1}{R}\)

\(\frac{1}{v} = \frac{1}{R}\)

সুতরাং, \(v = R\)।

এক্ষেত্রে বিবর্ধন হবে \(m = -\frac{v}{u} = -\frac{R}{R} = -1\)।

বিবর্ধনের মান ঋণাত্মক হওয়ায় প্রতিবিম্বটি বাস্তব ও উল্টো। কিন্তু এর পরম মান \(|m|=1\) হওয়ায় প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য বস্তুর দৈর্ঘ্যের সমান হবে।

রশ্মিচিত্র অঙ্কনসহ ব্যাখ্যা:

রশ্মিচিত্র অঙ্কনের জন্য প্রথমে একটি অবতল দর্পণ আঁকতে হবে। দর্পণের প্রধান অক্ষ বরাবর মেরু (P), ফোকাস বিন্দু (F) এবং বক্রতার কেন্দ্র (C) চিহ্নিত করতে হবে। যেখানে \(PF = f\) এবং \(PC = R = 2f\)।

কাঠিটি বক্রতার কেন্দ্রে (C) স্থাপন করতে হবে। কাঠিটির শীর্ষবিন্দু থেকে দুটি প্রধান রশ্মি বিবেচনা করতে হবে:

    
1. একটি রশ্মি প্রধান অক্ষের সমান্তরালভাবে দর্পণে আপতিত হলে, প্রতিফলনের পর সেটি ফোকাস (F) দিয়ে যাবে।
    
2. আরেকটি রশ্মি ফোকাস (F) দিয়ে দর্পণে আপতিত হলে, প্রতিফলনের পর সেটি প্রধান অক্ষের সমান্তরালভাবে ফিরে যাবে।

এই দুটি প্রতিফলিত রশ্মি যে বিন্দুতে ছেদ করবে, সেখানেই বিম্বের শীর্ষবিন্দু গঠিত হবে। রশ্মিচিত্রে দেখা যাবে, বিম্বটি বক্রতার কেন্দ্রে (C) গঠিত হয়েছে, যা বাস্তব, উল্টো এবং বস্তুর সমান আকারের।