কার্তেসীয় সমতলে $A(5,14)$ ও $B(- 6, 3)$ বিন্দুগামী রেখা x-অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।

(4.5) এবং (2, 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ,

$\frac{y-5}{x-4}=\frac{5-3}{4-2}$

বা, $\frac{y-5}{x-4}=\frac{2}{2}=1$

বা, $x - 4 = y - 5$

বা, $x - 4 - y + 5 = 0$

$\therefore$ $x - y + 1 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ x - y + 1 = 0

এখানে, P(3,2) এবং Q(2, 3) দুইটি বিন্দু।

PQ সরলরেখার ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-2}{2-3}=\frac{1}{-1}=-1$

PQ সরলরেখার সমীকরণ, $y-2=-1\left(x-3\right)$

বা, $y - 2 = - x + 3$

বা, $x + y - 2 - 3 = 0$

$\therefore$ $x + y - 5 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ $x + y - 5 = 0$

(3, 4) এবং (2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

$\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{x-x_1}{x_1-x_2}$

বা, $\frac{y-4}{4-\left(-3\right)}=\frac{x-3}{3-2}$

বা, $\frac{y-4}{7}=\frac{x-3}{1}$

বা, $7x - 21 = y - 4$

বা, $7x - 21 - y + 4 = 0$

বা, $7x - y - 17 = 0$

নির্ণেয় সমীকরণ: 7x - y - 17 = 0

(0,0) এবং (-7,-3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

$\frac{y-0}{0-(-3)}=\frac{x-0}{0-(-7)}$

বা, $\frac{y}{3}=\frac{x}{7}$

বা, $3x=7y$

$\therefore$ $3x-7y=0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ:  $3x-7y=0$

দেওয়া আছে, P(5,2) এবং S(- 2, - 1)

$\therefore$ PS রেখার সমীকরণ,

$\frac{x-5}{5-\left(-2\right)}=\frac{y-2}{2-\left(-1\right)}$

বা, $\frac{x-5}{7}=\frac{y-2}{3}$

বা, $3x - 15 = 7y - 14$

$\therefore$ $3x - 7y - 1 = 0$

দেওয়া আছে, P(0,- 1) Q(- 2, 3)

দুইটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ

$\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y-y_2}$

PQ রেখার সমীকরণ, $\frac{x-0}{0+2}=\frac{y+1}{-1-3}$

বা, $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-4}$

বা, $- 4x = 2y + 2$

বা, $- 4x - 2y - 2 = 0$

বা, $4x + 2y + 2 = 0$

$\therefore$ $2x + y + 1 = 0$

নির্ণেয় PQ রেখার সমীকরণ $2x + y + 1 = 0$