সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

(4.5) এবং (2, 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ,

$\frac{y-5}{x-4}=\frac{5-3}{4-2}$

বা, $\frac{y-5}{x-4}=\frac{2}{2}=1$

বা, $x - 4 = y - 5$

বা, $x - 4 - y + 5 = 0$

$\therefore$ $x - y + 1 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ x - y + 1 = 0

এখানে, P(3,2) এবং Q(2, 3) দুইটি বিন্দু।

PQ সরলরেখার ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-2}{2-3}=\frac{1}{-1}=-1$

PQ সরলরেখার সমীকরণ, $y-2=-1\left(x-3\right)$

বা, $y - 2 = - x + 3$

বা, $x + y - 2 - 3 = 0$

$\therefore$ $x + y - 5 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ $x + y - 5 = 0$

(3, 4) এবং (2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

$\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{x-x_1}{x_1-x_2}$

বা, $\frac{y-4}{4-\left(-3\right)}=\frac{x-3}{3-2}$

বা, $\frac{y-4}{7}=\frac{x-3}{1}$

বা, $7x - 21 = y - 4$

বা, $7x - 21 - y + 4 = 0$

বা, $7x - y - 17 = 0$

নির্ণেয় সমীকরণ: 7x - y - 17 = 0

(0,0) এবং (-7,-3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

$\frac{y-0}{0-(-3)}=\frac{x-0}{0-(-7)}$

বা, $\frac{y}{3}=\frac{x}{7}$

বা, $3x=7y$

$\therefore$ $3x-7y=0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ:  $3x-7y=0$

দেওয়া আছে, P(5,2) এবং S(- 2, - 1)

$\therefore$ PS রেখার সমীকরণ,

$\frac{x-5}{5-\left(-2\right)}=\frac{y-2}{2-\left(-1\right)}$

বা, $\frac{x-5}{7}=\frac{y-2}{3}$

বা, $3x - 15 = 7y - 14$

$\therefore$ $3x - 7y - 1 = 0$

দেওয়া আছে, P(0,- 1) Q(- 2, 3)

দুইটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ

$\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y-y_2}$

PQ রেখার সমীকরণ, $\frac{x-0}{0+2}=\frac{y+1}{-1-3}$

বা, $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-4}$

বা, $- 4x = 2y + 2$

বা, $- 4x - 2y - 2 = 0$

বা, $4x + 2y + 2 = 0$

$\therefore$ $2x + y + 1 = 0$

নির্ণেয় PQ রেখার সমীকরণ $2x + y + 1 = 0$

A(- 1, 2) ও B(1, - 2) বিন্দুগামী  

AB রেখার সমীকরণ, $\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{ x-x_1}{x_1-x_2}$

বা, $\frac{y-2}{2+2}=\frac{x+1}{-1-1}$

বা, $\frac{y-2}{4}=\frac{x+1}{-2}$

বা, $\frac{y-2}{2}=\frac{x+1}{-1}$

বা, $2x + 2 = - y + 2$

$\therefore$ $2x + y = 0$

নির্ণেয় সমীকরণ 2x + y = 0

(-3,0) এবং (0,3) বিন্দুর সংযোগকারী সরলরেখার সমীকরণ,

$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$

বা, $\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$

বা, $\frac{y-0}{x+3}=\frac{0+3}{-3-0}$

বা, $\frac{y}{x+3}=\frac{3}{-3}=-1$

বা, $y = - x - 3$

$\therefore$ $x + y + 3 = 0$

নির্ণেয় সমীকরণ x + y + 3 = 0

x ও y-অক্ষের ছেদবিন্দু হলো মূলবিন্দু। যার স্থানাঙ্ক O(0, 0)

মনে করি, অপর বিন্দুটি A(- 1, - 2)

OA সরলরেখার সমীকরণ, $\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

বা, $\frac{y-\left(-2\right)}{x-\left(-1\right)}=\frac{-2-0}{-1-0}$

বা, $\frac{y+2}{x+1}=2$

বা, $2x + 2 = y + 2$

বা, $2x - y = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ,  $2x - y = 0$

মনে করি, x = 2 সরলরেখা ও y = 1 সরলরেখার ছেদবিন্দু  হবে A(2, 1) এবং একটি বিন্দু B(- 3, - 1)

$\therefore$ AB সরলরেখার সমীকরণ, $\frac{y-\left(-1\right)}{x-\left(-3\right)}=\frac{-1-1}{-3-2}$

বা $\frac{y+1}{x+3}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$

বা, $5y + 5 = 2x + 6$

বা,  $2x - 5y + 1 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ, $2x- 5y + 1 = 0$

মনে করি, সরলরেখার উপর অবস্থিত দুইটি বিন্দু যথাক্রমে A(-3,-6) ও B(t, 2t)

AB সরলরেখার সমীকরণ,

$\frac{y-\left(-6\right)}{x-\left(-3\right)}=\frac{2t-\left(-6\right)}{t-\left(-3\right)}=\frac{2(t+3)}{t+3}$

বা , $\frac{y+6}{x+3}=\frac{2t+6}{t+3}=\frac{2(t+3)}{t+3}$

বা,  $\frac{y+6}{x+3}=2$

বা,  $2x + 6 = y + 6$

বা,  $2x - y = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ, 2x - y = 0

দেওয়া আছে, E(- 2, - 1) ও F(5, 5) দুইটি বিন্দু

$\frac{y-\left(-1\right)}{x-\left(-2\right)}=\frac{6-\left(-1\right)}{5-\left(-2\right)}$

বা, $\frac{y+1}{x+2}=\frac{6+1}{5+2}$

এখন, EF সরলরেখার  ঢাল $=\frac{6-\left(-1\right)}{5-\left(-2\right)}=\frac{6+1}{5+2}=\frac{7}{7}=1$

EF সরলরেখার সমীকরণ, $\frac{y-\left(-1\right)}{x-\left(-2\right)}=1$

বা, $\frac{y+1}{x+2}=1$

বা, $x + 2 = y + 1$

বা, $x - y + 2 - 1 = 0$

$\therefore$ $x-y +1=0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ, x - y + 1 = 0

দেওয়া আছে, P(- 4,- 2) একটি বিন্দু এবং মূলবিন্দু O(0, 0)

$\therefore$ OP সরলরেখার সমীকরণ,

$\frac{y-\left(-2\right)}{x-\left(-4\right)}=\frac{0-\left(-2\right)}{0-\left(-4\right)}$

বা, $\frac{y+2}{x+4}=\frac{2}{4}$

বা, $2x + 8 = 4y + 8$

বা, $2x-4y+8-8=0$

বা, $2x - 4y = 0$

বা, $2(x-2y)=0$

$\therefore$ $x - 2y = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ, $x - 2y = 0$

(5,2) ও (-5, 7) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:

$\frac{y-2}{2-7}=\frac{x-5}{5-\left(-5\right)}$

বা, $\frac{y-2}{-5}=\frac{x-5}{5+5}$

বা, $\frac{y-2}{-5}=\frac{x-5}{10}$

বা, $\frac{y-2}{-1}=\frac{x-5}{2}$    [5 দ্বারা গুণ করে]

বা, $2y-4=- x+ 5$

বা, $x+2y-4-5=0$

$\therefore$ $x+2y-9=0$

নির্ণেয় সমীকরণ: $x+2y-9= 0$

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ, $3x - y + 4 = 0$

বা, $3x + 4 = y$

$\therefore$ $y = 3x + 4......\left(i\right)$

(i) নং সরলরেখাটিকে $y = mx + c$ এর সাথে তুলনা করে পাই

ঢাল, $m = 3$

নির্ণেয় ঢাল $3$

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ,  $5x- 3y +7= 0$

বা,  $5x+7= 3y$

বা, $3y = 5x + 7$

বা, $y=\frac{5}{3}x + \frac{7}{3}..........\left(i\right)$

(i) নং কে $y = mx + c$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

ঢাল,  $m=\frac{5}{3}$

নির্ণেয় রেখাটির ঢাল  $\frac{5}{3}$

আমরা জানি, $(x_1,y_1)$ বিন্দুগামী এবং m ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, $y-y_1=m(x-x_1)$

$(-5,-3)$ বিন্দুগামী এবং 3 ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

$y-(-3)=3 \{x-(-5\left)\right\}$

বা, $y + 3 = 3(x + 5)$

বা, $y + 3 = 3x + 15$

বা, $3x + 15 = y + 3$

বা, $3x-y+15-3 =0$

$\therefore$ $3x - y + 12 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ $3x-y+12 =0$

এখানে, ঢাল, m = - 4 এবং y-অক্ষের ছেদাংশ, c = 2

ঢাল m এবং y-অক্ষের ছেদাংশ বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

$y = mx + c$

বা,  $y =- 4x + 2$

বা,  $y + 4x-2=0$

$\therefore$ $4x + y - 2 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ, $4x + y - 2 = 0$

(- 1, 2) বিন্দুগামী এবং $\frac{1}{3}$ ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, $y-y_1=m(x-x_1)$

বা, $y - 2 =\frac{1}{3}(x + 1)$

বা,  $3y - 6 = x + 1$

বা,  $x + 1 - 3y + 6 = 0$

$\therefore$ $x - 3y + 7 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ,  $x - 3y + 7 = 0$

আমরা জানি, m ঢালবিশিষ্ট ও $(x_1,y_1)$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, $y-y_1=m(x-x_1)$

$\therefore$ - 2 ঢাল ও (-3, 6) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

$y - 6 = - 2(x + 3)$

বা, $y - 6 = - 2x - 6$

বা, $2x + y - 6 + 6 = 0$

$\therefore$ $2x + y = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ,  $2x + y = 0$

(-2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় এবং $\frac{1}{2}$ ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, $y-y_1=m(x-x_1)$

বা,  $y-3= \frac{1}{2 } \{x-(-2\left)\right\}=\frac{1}{2} (x+2)$

বা, $2y - 6 = x + 2$

বা, $2y - 6 - x - 2 = 0$

বা, $- x + 2y - 8 = 0$

$\therefore$ $x - 2y + 8 = 0$   [-1 দ্বারা গুণ করে]

নির্ণেয় সমীকরণ: $x - 2y + 8 = 0$

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ, $3x + 2y = 7$

বা, $2y = - 3x + 7$

$\therefore$ $y=-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$

রেখাটিকে $y = mx + c$ রেখার সাথে তুলনা করে পাই

ঢাল, $m=-\frac{3}{2}$

$\therefore$ $3x + 2y = 7$ সরলরেখাটির ঢাল $=-\frac{3}{2}$

3 ঢালবিশিষ্ট এবং (-2,-3) বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ

$y-y_1=m(x-x_1)$

বা, $y-(-3)=3 \{x-(-2\left)\right\}$

বা, $y + 3 = 3(x + 2)$

বা, $y + 3 = 3x + 6$

বা, $3x + 6 - y - 3 = 0$

বা, $3x - y + 3 = 0$

নির্ণেয় রেখার সমীকরণ, $3x - y + 3 = 0$

আমরা জানি, m ঢালবিশিষ্ট এবং $(x_1,y_1)$ বিন্দুগামী সরলরেখার

সমীকরণ, $y-y_1=m(x-x_1)$

- 3 ঢালবিশিষ্ট এবং (4, 5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

$y - 5 = - 3(x - 4)$

বা, $y - 5 = - 3x + 12$

বা, $3x + y = 12 + 5$

$\therefore$ $3x + y = 17$

নির্ণেয় সমীকরণ,  $3x + y = 17$

আমরা জানি, m ঢালবিশিষ্ট $(x_1,y_1)$ বিন্দুগামী সরলরেখার

সমীকরণ, $y-y_1=m(x-x_1)$

এখানে, $m=-2, x_1=4, y_1=-5$

-2 ঢালবিশিষ্ট (4,-5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ

$y - (- 5) = (- 2)(x - 4)$

বা, $y + 5 = - 2x + 8$

বা, $y + 5 + 2x - 8 = 0$

বা, $2x + y - 3 = 0$

নির্ণেয় সমীকরণ: $2x + y - 3 = 0$

আমরা জানি, m ঢালবিশিষ্ট এবং $(x_1, y_1)$ বিন্দুগামী

সরলরেখার সমীকরণ,  $y-y_1=m(x-x_1)$

$\therefore$ 3 ঢালবিশিষ্ট এবং (0, 1) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ

$y-1=3(x-0)$

বা,  $y-1=3x$

$\therefore$ $3x-y+1=0$

নির্ণেয় সমীকরণ:  $3x-y+1=0$

দেওয়া আছে, P(1,2) ও Q(3, 4) দুইটি বিন্দু।

PQ সরলরেখার ঢাল, $m=\frac{4-2}{3-1}=\frac{2}{2}=1$

PQ সরলরেখার সমীকরণ, $y-y_1=m(x-x_1)$

বা, $(y - 2) = 1(x - 1)$

বা, $x - 1 = y - 2$

বা, $x - y + 2 - 1 = 0$

$\therefore$ $x - y + 1 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ, $x - y + 1 = 0$

দেওয়া আছে, সরলরেখার ঢাল, $m = - \frac{1}{2}$

এবং সরলরেখাটি (- 1, 2) বিন্দুগামী।

সরলরেখাটির সমীকরণ, $y-2=-\frac{1}{2} \{x-(-1\left)\right\}$

বা, $2(y - 2) = - x - 1$

বা, $2y - 4 = - x - 1$

$\therefore$ $x + 2y - 3 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ, $x + 2y - 3 = 0$

এখানে, AB সরলরেখার ঢাল $\frac{1}{k}$ এবং এটি $(k^2,2k)$ বিন্দুগামী।

ধরি, ঢাল, $m=\frac{1}{k}$ নির্দিষ্ট বিন্দু  $(x_1,y_1)=(k^2,2k)$

$\therefore$ AB সরলরেখার সমীকরণ,

$(y-y_1)=m(x-x_1)$

$y-2k=\frac{1}{k} (x-k^2)$

$y-2k=\frac{x}{k}-k$

$y=\frac{x}{k}-k+2k$

$y=\frac{x}{k}+k=\frac{1}{k} \left(x+k^2\right)$

$\therefore$ AB সরলরেখার সমীকরণ,  $y=\frac{1}{k} \left(x+k^2\right)$

(-5, 3) বিন্দুগামী এবং ১ ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:

$y-y_1=m(x-x_1)$

বা, $y-3=5 \{x-(-5\left)\right\}$

বা, $y - 3 = 5(x + 5)$

বা, $y - 3 = 5x + 25$

বা, $0 = 5x + 25 - y + 3$

$\therefore$ $5x - y + 28 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ  $5x - y + 28 = 0$

(6, – 2) বিন্দুগামী ও  $-\frac{1}{3}$ ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

$y-y_1-m(x-x_1)$

বা, $y - (- 2) = - \frac{1}{3} (x - 6)$

বা, $y +2 = - \frac{1}{3} (x - 6)$

বা, $3y + 6 = - x + 6$ [3 দ্বারা গুণ করে]

$\therefore$  $x + 3y = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: $x + 3y = 0$

(-4,-6) বিন্দুগামী ও -2 ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

$y-y_1=m(x-x_1)$

বা, $y-(-6)=-2 \{x-(-4\left)\right\}$

বা, $y + 6 = - 2(x + 4)$

বা, $y + 6 = - 2x - 8$

বা, $y + 6 + 2x + 8 = 0$

$\therefore$ $2x + y + 14 = 0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ $2x + y + 14 = 0$

$(x_1,y_1)$ বিন্দুগামী এবং m ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ,

$y-y_1=m(x-x_1)$

$\therefore$ (3, 4) বিন্দুগামী এবং ও ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ,

$y-4=-3(x-3)$

বা,  $y-4=- 3x+9$

বা, $y+3x-4-9=0$

$\therefore$ $y+3x-13 =0$

নির্ণেয় সমীকরণ  $y+3x-13 =0$

(2, 5) বিন্দুগামী $\frac{1}{2}$ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

$y-y_1=m(x-x_1)$

বা, $y - 5=\frac{1}{2}(x - 2)$

বা, $2y - 10 = x - 2$

বা, $2y = x - 2 + 10 = x + 8$

$\therefore$ $x-2y+8=0$

নির্ণেয় সমীকরণ $x - 2y + 8 = 0$

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ, $y-3x-3=0$

রেখাটি P(t,4) বিন্দুগামী হওয়ায়, $4-3\times t-3=0$

বা, $1-3t =0$

বা, $1=3t$

$\therefore$ $t=\frac{1}{3}$

$\therefore$P বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{1}{3}, 4\right)$

দেওয়া আছে,  $6x+2y+24=0$

বা,  $2(3x+y+12)=0$

বা, $3x+y+12=0$  

বা, $y =- 3x-12$

বা, $y =- 3x-12 .......... \left(i\right)$

আমরা জানি, y অক্ষের ছেদক রেখার সমীকরণ,

$y=mx+c........ \left(ii\right)$

যেখানে y অক্ষের ছেদক c

(i) নং কে (ii) নং এর সাথে তুলনা করে পাই, $c=-12$

নির্ণেয় y অক্ষের ছেদক - 12.

$5x+4y=20$  রেখাটি  x অক্ষকে ছেদ করলে ছেদ বিন্দুতে কোটি শূন্য হবে। অর্থাৎ, y = 0 হবে

$\therefore$ $5x+4\times 0 =20$

বা, $5x=20$

$\therefore$ $x = 4$

$\therefore$ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4,0)

নির্ণেয় ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 0).

এখানে,  $3x-2y-1=0$

বা,  $2y = 3x - 1$

বা,  $y =\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$

যা $y = mx+c$ আকারের সমীকরণ।

$\therefore$ রেখাটির ঢাল, $m=\frac{3}{2}$

দেওয়া আছে, ১ম সরলরেখার সমীকরণ $y=3x+4$

$\therefore$ ১ম সরলরেখার ঢাল $=3$

২য় সরলরেখার সমীকরণ, $3x+y=10$

বা, $y=-3x+10$

$\therefore$ ২য় সরলরেখার ঢাল $=-3$

অতএব, ঢালদ্বয়ের গুণফল $= 3\times (- 3) = - 9$

প্রদত্ত প্রথম সরলরেখার সমীকরণ,

$x-5y+10=0$

বা, $5y = x + 10$

বা, $y=\frac{1}{5}x+2$

রেখাটির ঢাল $=\frac{1}{5}$

দ্বিতীয় সরলরেখার সমীকরণ,

$5x - 2y + 12 = 0$

বা, $2y = 5x + 12$

বা, $y=\frac{ 5}{2}x+6$

$\therefore$ রেখাটির ঢাল $=\frac{5}{2}$

$\therefore$রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল $=\frac{1}{5}\times \frac{5}{2}=\frac{1}{2}$

$x-2y-10=0 ........\left(i\right)$

$- 2y=-x+10$

$2y = x - 10$

$y =\frac{1}{2} x - 5$

রেখাটির ঢাল= $\frac{1}{2}$

এবং $2x + y - 3 = 0 ......... \left(ii\right)$

বা, $y =-2x + 3$

$\therefore$ রেখাটির ঢাল $=-2$

( 1) ও (2) নং রেখা দুইটির ঢালম্বয়ের গুণফল $=\frac{1}{2}\times \left(-2\right)=-1$

নির্ণেয় ঢালদ্বয়ের গুণফল $-1$.

এখানে, $y-2x+3=0$

বা, $y=2x-3$

$\therefore$ রেখাটির ঢাল, $m_1=2$

এবং  $x + 2y - 10 = 0$

বা, $2y =-x+10$

বা, $y =-\frac{1}{2}x+5$

$\therefore$ রেখাটির ঢাল, $m_2=-\frac{1}{2}$

$\therefore$ ঢালদ্বয়ের যোগফল $=m_1+m_2=2-\frac{1}{2}=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}$

দেওয়া আছে, $A(5, 14)$ এবং $B(- 6, 3)$

AB রেখার ঢাল, $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-14}{-6-5}=\frac{-11}{-11}=1$

$\therefore$ ঢাল, $m= \tan \theta$

বা, $1=\tan \theta$

বা, $\tan \theta =1$

বা, $\tan \theta =\tan 45°$

$\therefore$ $\theta =45°$

নির্ণেয় কোণের পরিমাণ $45°$

এখানে, $x-3y-12=0$

বা, $x - 12 = 3y$

বা, $3y = x - 12$

$\therefore$ $y=\frac{1}{3}x-4$ কে $y=mx+c$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$\therefore$ $c=-4$

$\therefore$ রেখাটির y অক্ষের ছেদাংশ - 4.

এখানে, $10x+15y=30$

বা, $15y =-10x+30$

বা, $y = \frac{- 10}{15}x +\frac{ 30}{15}$

$\therefore$ $y=-\frac{2}{3}x+2$

সমীকরণটিকে $y=mx+c$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$c=2$

$\therefore$ y অক্ষের ছেদকের পরিমাণ $2$

দেওয়া আছে, $2x-3y= 5$

বা, $3y=2x-5$

বা, $y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$ যা $y = mx + c$ আকারের

ঢাল, $m=\frac{2}{3}$ এবং y অক্ষের ছেদাংশ, $c=-\frac{5}{3}$

নির্ণেয় ঢাল $\frac{2}{3}$ এবং ছেদাংশ $=-\frac{5}{3}$

$y = - x - 7$ রেখাটিকে $y = mx + c$ রেখার সাথে তুলনা করে পাই, ঢাল $m=-1$

আমরা জানি,

কোনো রেখা x-অক্ষের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করলে $m = \tan \theta$

$\therefore$ $\tan \theta = - 1 =- \tan 45°= \tan (180°- 45°)$

$\therefore$$\theta =135°$

নির্ণেয় কোণের পরিমাণ $135°$

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ, $x-\sqrt{3y}=1$

$x - 1 =\sqrt{3y}$

বা, $\sqrt{3y}=x-1$

বা,  $y=\frac{1}{\sqrt{3}}x-\frac{1}{\sqrt{3}}........ \left(i\right)$

(i) নং সরলরেখাটিকে $y = mx + c$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

ঢাল,  $m=\frac{1}{\sqrt{3}}$ যা ধনাত্মক

এখানে, ঢাল, $m = \tan \theta$

বা, $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\tan \theta = \tan 30°$

$\therefore$ $\theta =30°$

$\therefore$ সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $30°$ কোণ উৎপন্ন করে।

প্রদত্ত সরলরেখা, $x+y=0$

বা,  $y=-x$

ঢাল $=-1$

সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করলে

$\tan \theta = - 1$

$\tan \theta = \tan 45°$

$\tan \theta = \tan (180°- 45°) = \tan 135°$

$\therefore$ $\theta =135°$

অতএব,  $x + y = 0$ সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $135°$ কোণ উৎপন্ন করে।

এখানে, প্রদত্ত সরলরেখা, $x - \sqrt{3}y + 5 = 0$

বা, $\sqrt{3}y = x + 5$

বা, $y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{5}{\sqrt{3}}$ [উভয়পক্ষকে $\sqrt{3}$ দ্বারা ভাগ করে]

রেখাটির ঢাল $=\frac{1}{\sqrt{3}}$

রেখাটি x-অক্ষের সাথে $\theta$  কোণ উৎপন্ন করলে, $\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\tan \theta = \tan 30°$

$\therefore$ $\theta =30°$

সুতরাং, প্রদত্ত রেখাটি x-অক্ষের সাথে $30°$ কোণ উৎপন্ন করে।

প্রদত্ত সরলরেখা, $\sqrt{3}x+y=1$

$\therefore$ $y=-\sqrt{3}x+1$

রেখাটির ঢাল $=-\sqrt{3}$

রেখাটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করলে,

$\tan \theta =-\sqrt{3}$

$\tan \theta = - \tan 60°$

$\tan \theta = \tan (180°- 60°)$

$\therefore$ $\theta = 120°$

অতএব, রেখাটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $120°$ কোণ উৎপন্ন করে।

প্রদত্ত সরলরেখা, $2x + y = 5$

বা,  $y =- 2x+5$

সরলরেখাটির ঢাল $=-2$

সরল রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করলে

$\tan \theta =-2$

$\theta ={\tan }^{-1}\left(-2\right)$

$\theta =116.57°$ (প্রায়)

সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $116.57°$ কোণ উৎপন্ন করে।

ঢাল, $m = \tan \theta = \tan 60°=\sqrt{3}$

নির্ণেয় সমীকরণ, $y-y_1=m(x-x_1)$

বা, $y -\sqrt{3}=\sqrt{3} (x + 1)$

বা, $y -\sqrt{3}= \sqrt{3}x +\sqrt{3}$

$\therefore$$y-\sqrt{3x}=2\sqrt{3}$

নির্ণেয় সমীকরণ $y -\sqrt{3}x = 2\sqrt{3}$

প্রদত্ত প্রথম সমীকরণ, $y=x-8 ..... \left(1\right)$

(1) নং সমীকরণকে $y=m_{1}x+c$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

ঢাল, $m_1=1$

ধরি, (1) নং সমীকরণের লম্বরেখার ঢাল $=m_2$

অর্থাৎ,  $m_1\times m_2=-1$ বা, $1\times m_2=-1$

$\therefore$ $m_2=-1$

(1) নং সমীকরণের লম্বরেখার ঢাল,  $m_2=-1$

( 1) নং সমীকরণের লম্বরেখাটি x-অক্ষের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করলে,

$m_2=tan\theta$

বা, $-1=tan\theta$

বা, $tan\theta =-1$

বা, $\tan \theta =\tan 135°$

$\therefore$ $\theta =135°$

প্রথম সমীকরণটির লম্বরেখা x-অক্ষের সাথে $135°$ কোণ উৎপন্ন করে।

দেওয়া আছে, $A= (3, 4)$ এবং $B=(-4, 2)$ দুইটি বিন্দু।

A ও B বিন্দুর সংযোগ সরলরেখার ঢাল

$=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-4}{-4-3}=\frac{-2}{-7}=\frac{2}{7}$

ঢাল ধনাত্মক হওয়ায় AB রেখাটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সূক্ষ্মকোণ উৎপন্ন করে।

অতএব, A ও B বিন্দুর সংযোগ সরলরেখা x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সূক্ষ্মকোণ উৎপন্ন করে। (দেখানো হলো)

(4.2) এবং (7,5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার ঢাল

$\frac{2-5}{4-7}=\frac{-3}{-3}=1$

রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\theta$ কোণে আনত হলে

$\tan \theta =1$

বা, $\tan \theta =\tan 45°$

$\therefore$ $\theta =45°$

$\therefore$ সংযোজক রেখাটি -অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $45°$ কোণে আনত।

$\sqrt{3y}=3x+1$

বা, $y=\frac{3x}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}$

বা,  $y=\sqrt{3x}+\frac{1}{\sqrt{3}}$

ঢাল $m = x$ সহগ $=\sqrt{3}$

সরলরেখাটি x অক্ষের সাথে ধনাত্মক দিকের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করলে,

$\tan \theta =m=\sqrt{3}=\tan 60°$

$\theta = 60°$

$\therefore$রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $60°$ কোণ উৎপন্ন করে।

এখানে, $3x + 4y = 12$

বা,  $\frac{3x}{12}+\frac{4y}{12}=1$

বা, $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$ রেখাটি

x অক্ষকে A(4, 0) এবং y অক্ষকে B(0, 3) বিন্দুতে ছেদ করে।

$\therefore$ OA = 4 এবং OB = 3

$∆AOB$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times OA\times OB$

$=\frac{1}{2}\times 4\times 3$ বর্গ একক

$=6$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 6 বর্গ একক।