উত্তরঃ
প্রদত্ত সমীকরণ জোটের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স গঠন:
প্রদত্ত রৈখিক সমীকরণসমূহকে বর্ধিত ম্যাট্রিক্স (Augmented Matrix) আকারে লেখা হলো:
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -3 & | & 3 \\
-5 & 2 & -5 & 4 & | & -5 \\
-3 & -4 & -7 & -2 & | & 7 \\
2 & 3 & 1 & -11 & | & 1
\end{pmatrix}
\]
সারি অপারেশন (Row Operations) প্রয়োগ করে ম্যাট্রিক্সকে সারি-একোন ফর্মে (Row Echelon Form) রূপান্তর:
\(R_2 \leftarrow R_2 + 5R_1\)
\(R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1\)
\(R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1\)
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -3 & | & 3 \\
0 & -3 & 10 & -11 & | & 10 \\
0 & -7 & 2 & -11 & | & 16 \\
0 & 5 & -5 & -5 & | & -5
\end{pmatrix}
\]
\(R_4 \leftarrow \frac{1}{5}R_4\)
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -3 & | & 3 \\
0 & -3 & 10 & -11 & | & 10 \\
0 & -7 & 2 & -11 & | & 16 \\
0 & 1 & -1 & -1 & | & -1
\end{pmatrix}
\]
\(R_2 \leftrightarrow R_4\) (সারি ২ এবং সারি ৪ স্থান পরিবর্তন)
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -3 & | & 3 \\
0 & 1 & -1 & -1 & | & -1 \\
0 & -7 & 2 & -11 & | & 16 \\
0 & -3 & 10 & -11 & | & 10
\end{pmatrix}
\]
\(R_1 \leftarrow R_1 + R_2\)
\(R_3 \leftarrow R_3 + 7R_2\)
\(R_4 \leftarrow R_4 + 3R_2\)
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & -4 & | & 2 \\
0 & 1 & -1 & -1 & | & -1 \\
0 & 0 & -5 & -18 & | & 9 \\
0 & 0 & 7 & -14 & | & 7
\end{pmatrix}
\]
\(R_4 \leftarrow \frac{1}{7}R_4\)
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & -4 & | & 2 \\
0 & 1 & -1 & -1 & | & -1 \\
0 & 0 & -5 & -18 & | & 9 \\
0 & 0 & 1 & -2 & | & 1
\end{pmatrix}
\]
\(R_3 \leftrightarrow R_4\) (সারি ৩ এবং সারি ৪ স্থান পরিবর্তন)
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & -4 & | & 2 \\
0 & 1 & -1 & -1 & | & -1 \\
0 & 0 & 1 & -2 & | & 1 \\
0 & 0 & -5 & -18 & | & 9
\end{pmatrix}
\]
\(R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3\)
\(R_2 \leftarrow R_2 + R_3\)
\(R_4 \leftarrow R_4 + 5R_3\)
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & -3 & | & 0 \\
0 & 0 & 1 & -2 & | & 1 \\
0 & 0 & 0 & -28 & | & 14
\end{pmatrix}
\]
\(R_4 \leftarrow -\frac{1}{28}R_4\)
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & -3 & | & 0 \\
0 & 0 & 1 & -2 & | & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & | & -1/2
\end{pmatrix}
\]
লঘুকৃত সারি-একোন ফর্মে (Reduced Row Echelon Form) রূপান্তর:
\(R_2 \leftarrow R_2 + 3R_4\)
\(R_3 \leftarrow R_3 + 2R_4\)
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & | & -3/2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & | & -1/2
\end{pmatrix}
\]
সমাধানের ধরন বিশ্লেষণ:
প্রাপ্ত লঘুকৃত সারি-একোন ফর্ম (Reduced Row Echelon Form) থেকে দেখা যায়:
- সহগ ম্যাট্রিক্সের (Coefficient Matrix, \(A\)) র্যাঙ্ক (Rank) হলো ৪ (কারণ ৪টি অশূন্য সারি আছে)। সুতরাং, \(rank(A) = 4\)।
- বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের (Augmented Matrix, \(A|b\)) র্যাঙ্কও ৪ (কারণ ৪টি অশূন্য সারি আছে)। সুতরাং, \(rank(A|b) = 4\)।
- চলকের সংখ্যা (Number of variables, \(n\)) হলো ৪ (w, x, y, z)।
যেহেতু \(rank(A) = rank(A|b) = n = 4\), তাই প্রদত্ত সমীকরণ জোটের কেবলমাত্র একটি অনন্য সমাধান (Unique Solution) বিদ্যমান। প্রশ্নানুসারে "অসংখ্য সমাধান আছে" উক্তিটি প্রদত্ত সমীকরণ জোটের জন্য প্রযোজ্য নয়, কারণ প্রদত্ত সমীকরণ জোটটির অনন্য সমাধান রয়েছে।
অনন্য সমাধান নির্ণয়:
লঘুকৃত সারি-একোন ফর্মে রূপান্তরিত ম্যাট্রিক্স থেকে সমীকরণগুলো পুনরায় লিখলে পাই:
\(w = 0\)
\(x = -3/2\)
\(y = 0\)
\(z = -1/2\)
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণ জোটের অনন্য সমাধানটি হলো: \(w = 0\), \(x = -3/2\), \(y = 0\), \(z = -1/2\)।
অসংখ্য সমাধান থাকার শর্ত (প্রসঙ্গগত ব্যাখ্যা):
একটি রৈখিক সমীকরণ জোটের (System of Linear Equations) অসংখ্য সমাধান (Infinitely Many Solutions) বিদ্যমান থাকে যদি:
- জোটটি সুসংগত (Consistent) হয়, অর্থাৎ সহগ ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক এবং বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক সমান হয়: \(rank(A) = rank(A|b)\)।
- এবং সহগ ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক (rank, \(r\)) চলকের সংখ্যা (number of variables, \(n\)) এর চেয়ে কম হয়, অর্থাৎ \(rank(A) = rank(A|b) = r < n\)।
এই ক্ষেত্রে, \(n - r\) সংখ্যক স্বাধীন চলক (Free Variables) থাকে, যার জন্য অসংখ্য সমাধান পাওয়া যায়। কিন্তু প্রদত্ত সমীকরণ জোটের ক্ষেত্রে \(rank(A) = rank(A|b) = n\) হওয়ায়, একটি নির্দিষ্ট অনন্য সমাধান পাওয়া গেছে।
