দেখান যে, নিম্নের সমীকরণসমূহের অসংখ্য সমাধান আছে এবং সেটা বের করুন।

w-x+3y-3z= 3

-5w+2x-5y+4z =-5

-3w-4x-7y-2z= 7

2w+3x+y-11z = 1

নির্ণায়কের মান নির্ণয় ও ক্র্যামারের নিয়ম (Determinant Evaluation & Cramer’s Rule)

নির্ণায়ক (Determinant) হলো একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স থেকে প্রাপ্ত একটি সাংখ্যিক মান, যা সমীকরণ সমাধান, জ্যামিতি ও বীজগণিতে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে।

২×২ নির্ণায়ক (2×2 Determinant)

যদি,

$A=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$

তাহলে নির্ণায়কের মান হবে:

$\mathrm{|A|}=ad-bc$

উদাহরণ

$\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right|=2\times 5-3\times 4=10-12=-2$

৩×৩ নির্ণায়ক (3×3 Determinant)

যদি,

$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|$

তাহলে বিস্তার হবে:

$\mathrm{|A|}=a(\mathrm{ei}-\mathrm{fh})-b(\mathrm{di}-\mathrm{fg})+c(\mathrm{dh}-\mathrm{eg})$

উদাহরণ

এই পদ্ধতিতে সারি বা স্তম্ভ ধরে বিস্তার করে নির্ণায়ক নির্ণয় করা হয়।

নির্ণায়কের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

• যদি দুইটি সারি বা স্তম্ভ সমান হয়, নির্ণায়ক = 0
• কোনো সারি বা স্তম্ভ শূন্য হলে নির্ণায়ক = 0
• সারি বা স্তম্ভ বিনিময় করলে নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তন হয়
• একটি সারি/স্তম্ভকে k দ্বারা গুণ করলে নির্ণায়ক k গুণ হয়

ক্র্যামারের নিয়ম (Cramer’s Rule)

ক্র্যামারের নিয়ম ব্যবহার করে দুই বা তিন চলকের সরল সমীকরণ সমাধান করা যায়।

দুই চলকের সমীকরণ

ধরা যাক,

$a_{1}x+b_{1}y=c_1$$a_{2}x+b_{2}y=c_2$

প্রধান নির্ণায়ক

$D=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|$

x নির্ণয়

$D_x=\left|\begin{array}{cc}{c}_1& b_1\\ c_2& b_2\end{array}\right|$$x=\frac{D_x}{D}$

y নির্ণয়

$D_y=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& c_1\\ a_2& c_2\end{array}\right|$$y=\frac{D_y}{D}$

ক্র্যামারের শর্ত

যদি D ≠ 0 হয়, তবে সমীকরণদ্বয়ের একক সমাধান থাকবে।

মনে রাখার উপায়

• D = মূল নির্ণায়ক
• Dₓ = x-এর জন্য কলাম প্রতিস্থাপন
• Dᵧ = y-এর জন্য কলাম প্রতিস্থাপন