গ-এ নির্ণীত ৪ এর মান ভূ-পৃষ্ঠে পেতে হলে, তাত্ত্বিকভাবে পৃথিবীর আবর্তন কালের কীরূপ পরিবর্তন আনতে হবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর। (উচ্চতর দক্ষতা)

উত্তরঃ

সংরক্ষণশীল বল (conservative force) হলো এমন এক প্রকার বল যার দ্বারা কৃত কাজ কণার সরণের পথের উপর নির্ভর করে না, শুধুমাত্র আদি ও শেষ অবস্থানের উপর নির্ভর করে।

উত্তরঃ

মহাকর্ষীয় বিভবের মান -6J বলতে বোঝায় যে, অসীম দূরত্ব থেকে 1 kg ভরের কোনো বস্তুকে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে আনতে মহাকর্ষীয় বল দ্বারা 6 জুল কাজ সম্পন্ন হয়। অর্থাৎ, ওই নির্দিষ্ট বিন্দুতে 1 kg ভরের বস্তুর মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি -6 জুল।

মহাকর্ষীয় বিভব (Gravitational potential) হলো মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে একক ভরের (unit mass) কোনো বস্তুকে অসীম দূরত্ব থেকে ওই বিন্দুতে আনতে যে পরিমাণ কাজ (work) সম্পন্ন হয়। এর একক জুল/কেজি (J/kg)। এর মান সাধারণত ঋণাত্মক (negative) হয়, কারণ মহাকর্ষ বল সর্বদা আকর্ষণধর্মী এবং এই কাজ মহাকর্ষীয় বলের অনুকূলে সম্পন্ন হয়, যা বস্তুর শক্তি হ্রাসকে নির্দেশ করে।

উত্তরঃ

ভূ-পৃষ্ঠ থেকে \(h\) উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান, \(g_h\) এবং ভূ-পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান, \(g_0\) এর মধ্যে সম্পর্কটি হলো: \(g_h = g_0 \left(\frac{R}{R+h}\right)^2\), যেখানে \(R\) হলো পৃথিবীর ব্যাসার্ধ। এই সম্পর্ক ব্যবহার করে যেকোনো উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন নির্ণয় করা যায়।

প্রশ্নানুযায়ী, ভূ-পৃষ্ঠ হতে যে উচ্চতায় \(g\) এর মান ভূ-পৃষ্ঠের মানের \(\frac{3}{5}\) হবে তা নির্ণয় করতে হবে, অর্থাৎ, \(g_h = \frac{3}{5} g_0\)। উদ্দীপকে পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R = 6400 \, km\) দেওয়া আছে। প্রাপ্ত সম্পর্ক ও এই শর্ত ব্যবহার করে \(h\) এর মান বের করা যায়:

\[ \frac{3}{5} g_0 = g_0 \left(\frac{R}{R+h}\right)^2 \] \[ \frac{3}{5} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2 \] \[ \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{R}{R+h} \] \[ R+h = \frac{R}{\sqrt{\frac{3}{5}}} \] \[ R+h = R \sqrt{\frac{5}{3}} \] \[ h = R \sqrt{\frac{5}{3}} - R \] \[ h = R \left(\sqrt{\frac{5}{3}} - 1\right) \]

এখন, উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R = 6400 \, km\) বসিয়ে \(h\) এর মান নির্ণয় করা হয়:

\[ h = 6400 \, km \times \left(\sqrt{\frac{5}{3}} - 1\right) \] \[ h = 6400 \, km \times \left(1.29099 - 1\right) \] \[ h = 6400 \, km \times 0.29099 \] \[ h \approx 1862.336 \, km \]

সুতরাং, ভূ-পৃষ্ঠ হতে প্রায় 1862.34 km উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ (\(g\)) এর মান ভূ-পৃষ্ঠের মানের \(\frac{3}{5}\) হবে।