চিত্রে, $△$ ABC-এ ∠C= এক সমকোণ।

Created: 9 months ago | Updated: 9 months ago

Updated: 9 months ago

(ক)

চিত্রসহ বিষমবাহু ত্রিভুজের সংজ্ঞা দাও।

উত্তরঃ

বিষমবাহু ত্রিভুজ: যে ত্রিভুজের তিনটি বাহু অসমান তাকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে।

Satt Team 10

9 months ago

(খ)

প্রমাণ কর যে, AB² = AC² + BC² .

উত্তরঃ

মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজে $∠$ C = 90 ^০এবং অতিভুজ AB= c, BC = a এবং AC = b; প্রমাণ করতে হবে যে, AB² = AC² + BC²
অঙ্কন: C থেকে AB এর উপর CD লম্ব আঁকি। অতিভুজ AB, D বিন্দুতে d ও অংশে বিভক্ত হলো।

(ধাপ)	(যথার্থতা)
(১) AD $⊥$ BC	[দেওয়া আছে]
$∴$ $∠$ ADB = $∠$ ADC = $90$ $\circ$ .
(২) এখন, সমকোণী $△$ ABD এবং সমকোণী $△$ ACD-এ
অতিভুজ AB = অতিভুজ AC	[ $∵$ ABC সমবাহু ত্রিভুজ]
এবং AD = AD	[ $∵$ সাধারণ বাহু]
$∴$ $△$ ABD $≅$ $△$ ACD	[সমকোণী অতিভুজ বাহু উপপাদ্য]
সুতরাং, BD = CD
$∴$ BC = 2BD
(৩) আবার, সমকোণী $△$ ABD-এ
$∠$ ADB = $90$ $\circ$ এবং অতিভুজ = AB.
$A$ $B$ $2$ $=$ $A$ $D 2$ $+$ $B$ $D 2$
বা, $A$ $D 2$ $=$ $A$ $B$ $2$ $-$ $B$ $D 2$
বা, $4$ $A$ $D 2$ $=$ $4$ $A$ $B$ $2$ $-$ $4$ $B$ $D 2$	[উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]
বা, $4$ $A$ $D 2$ $=$ $4$ $A$ $B$ $2$ $-$ $($ $2$ $B$ $D$ $)$ $2$
বা, $4$ $A$ $D 2$ $=$ $4$ $A$ $B$ $2$ $-$ $B$ $C$ $2$	[ $∵$ BC = 2BD]
বা, $4$ $A$ $D 2$ $=$ $4$ $A$ $B$ $2$ $-$ $A$ $B$ $2$	[ $∵$ AB = BC]
$∴$ $3$ $A$ $B$ $2$ $=$ $4$ $A$ $D 2$ ( $প্রমাণিত$ ) (Proved)

Satt Team 10

9 months ago

(গ)

যদি AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q হয়। তবে

প্রমাণ কর যে, $△$ ক্ষেত্র APQ = $\frac{1}{4}$ ( $△$ ক্ষেত্র ABC).

উত্তরঃ


ধাপ-১.	△ABQ-এ PQ, AB এর ওপর মধ্যমা। △-ক্ষেত্র APQ = 21 (△-ক্ষেত্র ABQ)
	[∵ PQ মধ্যমা △-ক্ষেত্র ABQ কে সমদ্বিখন্ডিত করে।]
	∴ △-ক্ষেত্র ABQ = 2(△-ক্ষেত্র APQ)
ধাপ-২.	△ABC-এ BQ, AC-এর ওপর মধ্যমা।
	∴ △-ক্ষেত্র ABQ = 21 (△-ক্ষেত্র ABC) [একই কারণে]
	বা, 2(△-ক্ষেত্র APQ) = 21 (△-ক্ষেত্র ABC) [ধাপ (১) হতে]
	∴ △-ক্ষেত্র APQ = 21 (21 (△-ক্ষেত্র ABC)) = 41 (△-ক্ষেত্র ABC)
	অর্থাৎ, △-ক্ষেত্র APQ এর ক্ষেত্রফল = 41 (△-ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল) (প্রমাণিত)

Satt Team 10

9 months ago

MCQ: 79 CQ: 48

Practice

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

খ্রিস্টপূর্ব ষষ্ঠ শতাব্দীর গ্রিক দার্শনিক পিথাগোরাস সমকোণী ত্রিভুজের একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য নিরূপণ করেন। সমকোণী ত্রিভুজের এ বৈশিষ্ট্য পিথাগোরাসের বৈশিষ্ট্য বলে পরিচিত। বলা হয় পিথাগোরাসের জন্মের আগে মিসরীয় ও ব্যবিলনীয় যুগেও সমকোণী ত্রিভুজের এ বৈশিষ্ট্যের ব্যবহার ছিল। এ অধ্যায়ে আমরা সমকোণী ত্রিভুজের এ বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করব। সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো বিশেষ নামে পরিচিত। সমকোণের বিপরীত বাহু অতিভুজ এবং সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ভূমি ও উন্নতি। বর্তমান অধ্যায়ে এ তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের মধ্যে যে সম্পর্ক রয়েছে সে বিষয়ে আলোচনা করা হবে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা-

➤ পিথাগোরাসের উপপাদ্য যাচাই ও প্রমাণ করতে পারবে।

➤ ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে ত্রিভুজটি সমকোণী কি না যাচাই করতে পারবে।

➤ পিথাগোরাসের সূত্র ব্যবহার করে সমস্যা সমাধান করতে পারবে।