তিনটি বীজগাণিতীয় ভগ্নাংশ: $\frac{1}{y^2+4y},\frac{1}{y^2+6y+8},\frac{1}{y^2-y-20}$

প্রথম ভগ্নাংশের হর

$\therefore y^2+4y$ এর বর্গ $={\left(y^2+4y\right)}^2$

$$= (y^2)^2 + 2 \times y^2 \times 4y + (4y)^2$$

$$= y^4 + 8y^3 + 16y^2$$

১ম ভগ্নাংশের হর = 𝑦² + 4𝑦 = 𝑦 (𝑦 + 4)
২য় ভগ্নাংশের হর = 𝑦² + 6𝑦 + 8
= 𝑦² + 4𝑦 + 2𝑦 + 8
= 𝑦(𝑦 + 4) + 2(𝑦 + 4)
= (𝑦 + 2)(𝑦 + 4)
৩য় ভগ্নাংশের হর = 𝑦² − 𝑦 − 20
= 𝑦² − 5𝑦 + 4𝑦 − 20
= 𝑦(𝑦 − 5) + 4(𝑦 − 5)
= (𝑦 − 5)(𝑦 + 4)

নির্ণেয় গ.সা.গু. = 𝑦 + 4

‘খ’ হতে প্রাপ্ত, ১ম ভগ্নাংশটির হর = 𝑦(𝑦 + 4)
২য় ভগ্নাংশটির হর = (𝑦 + 2)(𝑦 + 4)
৩য় ভগ্নাংশটির হর = (𝑦 − 5)(𝑦 + 4)
হরগুলোর ল.সা.গু. = 𝑦(𝑦 + 2)(𝑦 + 4)(𝑦 − 5)

এখন, ভগ্নাংশগুলোকে সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করি,

$$\begin{gathered} \frac{1}{{𝑦}^2+4𝑦}=\frac{1}{𝑦(𝑦+4)} \\ =\frac{1\times (𝑦+2) (𝑦-5)}{𝑦(𝑦+2)(𝑦+4)(𝑦-5)} \\ =\frac{(𝑦+2) (𝑦-5)}{𝑦(𝑦+2) (𝑦+4) (𝑦-5)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{{𝑦}^2+6𝑦+8}=\frac{1}{(𝑦+2)(𝑦+4)} \\ =\frac{𝑦(𝑦-5)}{𝑦(𝑦+2)(𝑦+4)(𝑦-5)} \end{gathered}$$

এবং $\frac{1}{{𝑦}^2-𝑦-20}=\frac{1}{(𝑦-5)(𝑦+4)}$

$=\frac{𝑦(𝑦+2)}{𝑦(𝑦+2)(𝑦+4)(𝑦-5)}$

সাধারণ হরবিশিষ্ট যথাক্রমে $\frac{(𝑦+2)(𝑦-5)}{𝑦(𝑦+2)(𝑦+4)(𝑦-5)},\frac{𝑦(𝑦-5)}{𝑦(𝑦+2)(𝑦+4)(𝑦-5)},\frac{𝑦(𝑦+2)}{𝑦(𝑦+2)(𝑦+4)(𝑦-5)}$