দুইটি ভেক্টর যথাক্রমে $A = 3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k} ও\overrightarrow{ B} = î-\hat{j}+6\hat{k}$ এবং একটি ভেক্টরক্ষেত্র $\overrightarrow{C} = 2x^{2}yz\hat{i}+y^{2}z\hat{j}+x^2{y}^2{z}^2\hat{k}.$ 

ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফল সমান হতে পারে না, যদি ভেক্টরগুলো অশূন্য হয়। কেবলমাত্র একটি ভেক্টর শূন্য হলেই তাদের যোগফল ও বিয়োগফল সমান হতে পারে।

ধরা যাক, দুটি ভেক্টর \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\)। তাদের যোগফল \(\vec{R_1} = \vec{A} + \vec{B}\) এবং বিয়োগফল \(\vec{R_2} = \vec{A} - \vec{B}\)। যদি \(\vec{R_1} = \vec{R_2}\) হয়, অর্থাৎ \(\vec{A} + \vec{B} = \vec{A} - \vec{B}\), তাহলে উভয় পক্ষ থেকে \(\vec{A}\) বিয়োগ করলে আমরা পাই \(\vec{B} = -\vec{B}\)। এর অর্থ হলো \(2\vec{B} = \vec{0}\), যা নির্দেশ করে যে \(\vec{B}\) একটি শূন্য ভেক্টর (\(\vec{B} = \vec{0}\)) হতে হবে। সুতরাং, দুটি অশূন্য ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফল কখনোই সমান হতে পারে না। তবে, তাদের মানের ক্ষেত্রে ভিন্নতা থাকতে পারে (যেমন, দুটি ভেক্টর পরস্পরের সাথে লম্ব হলে তাদের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হয়)।

দুইটি ভেক্টরের তলের লম্বদিকে ভেক্টর নির্ণয়ের জন্য তাদের ভেক্টর গুণন (cross product) ব্যবহার করা হয়। দুইটি ভেক্টর \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) হলে, তাদের ভেক্টর গুণন \(\vec{A} \times \vec{B}\) একটি নতুন ভেক্টর যা \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) দ্বারা গঠিত তলের লম্বদিকে থাকে। এই ভেক্টরের দিক ডানহাতি স্ক্রু সূত্র বা ডানহাতি নিয়ম দ্বারা নির্ণয় করা হয় এবং এর মান ভেক্টরদ্বয়ের মানের গুণফল ও তাদের মধ্যবর্তী কোণের sine এর গুণফলের সমান।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয় হলো:
\(\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}\)
\(\vec{B} = \hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k}\)

এখন, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) ভেক্টরদ্বয়ের তলের লম্বদিকে ভেক্টর নির্ণয় করার জন্য তাদের ভেক্টর গুণন করা হলো:
\(\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 1 & -1 & 6 \end{vmatrix}\)
\(= \hat{i}((4)(6) - (-1)(-1)) - \hat{j}((3)(6) - (-1)(1)) + \hat{k}((3)(-1) - (4)(1))\)
\(= \hat{i}(24 - 1) - \hat{j}(18 - (-1)) + \hat{k}(-3 - 4)\)
\(= \hat{i}(23) - \hat{j}(18 + 1) + \hat{k}(-7)\)
\(= 23\hat{i} - 19\hat{j} - 7\hat{k}\)
সুতরাং, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) ভেক্টরদ্বয়ের তলের লম্বদিকে ভেক্টরটি হলো \(23\hat{i} - 19\hat{j} - 7\hat{k}\).

কোনো ভেক্টরক্ষেত্র তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে কি-না, তা নির্ণয় করার জন্য ঐ ভেক্টরক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স (Divergence) নির্ণয় করা হয়। যদি কোনো বিন্দুতে ভেক্টরক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স ধনাত্মক (positive) হয়, তবে ঐ বিন্দুতে ভেক্টরক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করে। ডাইভারজেন্স ঋণাত্মক (negative) হলে এটি তরলের সিঙ্ক (sink) বা গ্রাহক হিসেবে কাজ করে এবং ডাইভারজেন্স শূন্য (zero) হলে ভেক্টরক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল (solenoidal) হয়, অর্থাৎ তরলের কোনো উৎস বা সিঙ্ক থাকে না।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরক্ষেত্রটি হলো: C→ = 2x2yzi^+y2zj^+x2y2z2k^.

এই ভেক্টরক্ষেত্রটির ডাইভারজেন্স নির্ণয় করার জন্য আমরা ডাইভারজেন্সের সূত্র ব্যবহার করব:

∇⋅C→ = ∂∂x(2x2yz)+∂∂y(y2z)+∂∂z(x2y2z2)

আংশিক অন্তরীকরণ করে পাই:

∇⋅C→ = 4xyz+2yz+2x2y2z

এখন, প্রদত্ত বিন্দু (2, -1, 2) তে ডাইভারজেন্সের মান নির্ণয় করব। এখানে \(x = 2, y = -1, z = 2\)।

$\nabla \cdot \overrightarrow{C} = 4\left(2\right)(-1)\left(2\right)+2(-1)\left(2\right)+2\left(2{)}^2\right(-1{)}^2\left(2\right)$

$\nabla \cdot \overrightarrow{C} = -16-4+16$

$\nabla \cdot \overrightarrow{C} = -4$

যেহেতু, বিন্দু (2, -1, 2) তে $\overrightarrow{C}$ ভেক্টরক্ষেত্রটির ডাইভারজেন্সের মান ঋণাত্মক (-4), তাই এই বিন্দুতে ভেক্টরক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে না। বরং, এটি একটি সিঙ্ক (sink) বা গ্রাহক হিসেবে কাজ করবে, যেখানে তরল প্রবেশ করে।