2,-1, 2) বিন্দুতে $\overrightarrow{C}$ভেক্টরক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে কি-না? গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা কর। (উচ্চতর দক্ষতা)

ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফল সমান হতে পারে না, যদি ভেক্টরগুলো অশূন্য হয়। কেবলমাত্র একটি ভেক্টর শূন্য হলেই তাদের যোগফল ও বিয়োগফল সমান হতে পারে।

ধরা যাক, দুটি ভেক্টর \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\)। তাদের যোগফল \(\vec{R_1} = \vec{A} + \vec{B}\) এবং বিয়োগফল \(\vec{R_2} = \vec{A} - \vec{B}\)। যদি \(\vec{R_1} = \vec{R_2}\) হয়, অর্থাৎ \(\vec{A} + \vec{B} = \vec{A} - \vec{B}\), তাহলে উভয় পক্ষ থেকে \(\vec{A}\) বিয়োগ করলে আমরা পাই \(\vec{B} = -\vec{B}\)। এর অর্থ হলো \(2\vec{B} = \vec{0}\), যা নির্দেশ করে যে \(\vec{B}\) একটি শূন্য ভেক্টর (\(\vec{B} = \vec{0}\)) হতে হবে। সুতরাং, দুটি অশূন্য ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফল কখনোই সমান হতে পারে না। তবে, তাদের মানের ক্ষেত্রে ভিন্নতা থাকতে পারে (যেমন, দুটি ভেক্টর পরস্পরের সাথে লম্ব হলে তাদের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হয়)।

দুইটি ভেক্টরের তলের লম্বদিকে ভেক্টর নির্ণয়ের জন্য তাদের ভেক্টর গুণন (cross product) ব্যবহার করা হয়। দুইটি ভেক্টর \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) হলে, তাদের ভেক্টর গুণন \(\vec{A} \times \vec{B}\) একটি নতুন ভেক্টর যা \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) দ্বারা গঠিত তলের লম্বদিকে থাকে। এই ভেক্টরের দিক ডানহাতি স্ক্রু সূত্র বা ডানহাতি নিয়ম দ্বারা নির্ণয় করা হয় এবং এর মান ভেক্টরদ্বয়ের মানের গুণফল ও তাদের মধ্যবর্তী কোণের sine এর গুণফলের সমান।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয় হলো:
\(\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}\)
\(\vec{B} = \hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k}\)

এখন, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) ভেক্টরদ্বয়ের তলের লম্বদিকে ভেক্টর নির্ণয় করার জন্য তাদের ভেক্টর গুণন করা হলো:
\(\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 1 & -1 & 6 \end{vmatrix}\)
\(= \hat{i}((4)(6) - (-1)(-1)) - \hat{j}((3)(6) - (-1)(1)) + \hat{k}((3)(-1) - (4)(1))\)
\(= \hat{i}(24 - 1) - \hat{j}(18 - (-1)) + \hat{k}(-3 - 4)\)
\(= \hat{i}(23) - \hat{j}(18 + 1) + \hat{k}(-7)\)
\(= 23\hat{i} - 19\hat{j} - 7\hat{k}\)
সুতরাং, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) ভেক্টরদ্বয়ের তলের লম্বদিকে ভেক্টরটি হলো \(23\hat{i} - 19\hat{j} - 7\hat{k}\).