সমরেখ ভেক্টর কী? (জ্ঞানমূলক)

কোনো ভেক্টরক্ষেত্র তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে কি-না, তা নির্ণয় করার জন্য ঐ ভেক্টরক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স (Divergence) নির্ণয় করা হয়। যদি কোনো বিন্দুতে ভেক্টরক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স ধনাত্মক (positive) হয়, তবে ঐ বিন্দুতে ভেক্টরক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করে। ডাইভারজেন্স ঋণাত্মক (negative) হলে এটি তরলের সিঙ্ক (sink) বা গ্রাহক হিসেবে কাজ করে এবং ডাইভারজেন্স শূন্য (zero) হলে ভেক্টরক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল (solenoidal) হয়, অর্থাৎ তরলের কোনো উৎস বা সিঙ্ক থাকে না।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরক্ষেত্রটি হলো: C→ = 2x2yzi^+y2zj^+x2y2z2k^.

এই ভেক্টরক্ষেত্রটির ডাইভারজেন্স নির্ণয় করার জন্য আমরা ডাইভারজেন্সের সূত্র ব্যবহার করব:

∇⋅C→ = ∂∂x(2x2yz)+∂∂y(y2z)+∂∂z(x2y2z2)

আংশিক অন্তরীকরণ করে পাই:

∇⋅C→ = 4xyz+2yz+2x2y2z

এখন, প্রদত্ত বিন্দু (2, -1, 2) তে ডাইভারজেন্সের মান নির্ণয় করব। এখানে \(x = 2, y = -1, z = 2\)।

$\nabla \cdot \overrightarrow{C} = 4\left(2\right)(-1)\left(2\right)+2(-1)\left(2\right)+2\left(2{)}^2\right(-1{)}^2\left(2\right)$

$\nabla \cdot \overrightarrow{C} = -16-4+16$

$\nabla \cdot \overrightarrow{C} = -4$

যেহেতু, বিন্দু (2, -1, 2) তে $\overrightarrow{C}$ ভেক্টরক্ষেত্রটির ডাইভারজেন্সের মান ঋণাত্মক (-4), তাই এই বিন্দুতে ভেক্টরক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে না। বরং, এটি একটি সিঙ্ক (sink) বা গ্রাহক হিসেবে কাজ করবে, যেখানে তরল প্রবেশ করে।