দুইটি সংখ্যার অনুপাত 7 : 11 এবং এদের গ.সা.গু. 3 হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. নির্ণয় করো।

ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু উপপাদ্য (Midpoint Theorem) অনুসারে, কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক হয়। উদ্দীপকে উল্লেখিত ত্রিভুজ যদি \(\triangle PQR\) হয় এবং B ও C যথাক্রমে PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু হয়, তাহলে মধ্যবিন্দু উপপাদ্য প্রয়োগ করে প্রমাণ করা যায় যে, \(BC \parallel QR\) এবং \(BC = \frac{1}{2}QR\)।

এই উপপাদ্যটি প্রমাণ করতে সাধারণত সদৃশতা (Similarity) অথবা ভেক্টর পদ্ধতি (Vector method) ব্যবহার করা হয়। এটি জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য যা বহুভুজ এবং অন্যান্য জ্যামিতিক কাঠামোতে রেখাংশের সমান্তরালতা ও দৈর্ঘ্যের সম্পর্ক নির্ণয়ে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এর মাধ্যমে ত্রিভুজের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য ও অনুপাত সহজে স্থাপন করা যায়।

উদ্দীপকের (i) নং থেকে পাই,

\(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\)

ধরি, \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = k\)

অতএব, \(a = kx\), \(b = ky\), \(c = kz\)

বামপক্ষ (LHS) = \(\frac{a^3 + b^3 + c^3}{x^3 + y^3 + z^3}\)

= \(\frac{(kx)^3 + (ky)^3 + (kz)^3}{x^3 + y^3 + z^3}\)

= \(\frac{k^3x^3 + k^3y^3 + k^3z^3}{x^3 + y^3 + z^3}\)

= \(\frac{k^3(x^3 + y^3 + z^3)}{x^3 + y^3 + z^3}\)

= \(k^3\)

ডানপক্ষ (RHS) = \(\frac{abc}{xyz}\)

= \(\frac{(kx)(ky)(kz)}{xyz}\)

= \(\frac{k^3xyz}{xyz}\)

= \(k^3\)

সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।