l, m, n ক্রমিক সমানুপাতিক হলে দেখাও যে, $\frac{l}{n}=\frac{l^2+m^2}{m^2+n^2}$

ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু উপপাদ্য (Midpoint Theorem) অনুসারে, কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক হয়। উদ্দীপকে উল্লেখিত ত্রিভুজ যদি \(\triangle PQR\) হয় এবং B ও C যথাক্রমে PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু হয়, তাহলে মধ্যবিন্দু উপপাদ্য প্রয়োগ করে প্রমাণ করা যায় যে, \(BC \parallel QR\) এবং \(BC = \frac{1}{2}QR\)।

এই উপপাদ্যটি প্রমাণ করতে সাধারণত সদৃশতা (Similarity) অথবা ভেক্টর পদ্ধতি (Vector method) ব্যবহার করা হয়। এটি জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য যা বহুভুজ এবং অন্যান্য জ্যামিতিক কাঠামোতে রেখাংশের সমান্তরালতা ও দৈর্ঘ্যের সম্পর্ক নির্ণয়ে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এর মাধ্যমে ত্রিভুজের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য ও অনুপাত সহজে স্থাপন করা যায়।

উদ্দীপকের (i) নং থেকে পাই,

\(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\)

ধরি, \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = k\)

অতএব, \(a = kx\), \(b = ky\), \(c = kz\)

বামপক্ষ (LHS) = \(\frac{a^3 + b^3 + c^3}{x^3 + y^3 + z^3}\)

= \(\frac{(kx)^3 + (ky)^3 + (kz)^3}{x^3 + y^3 + z^3}\)

= \(\frac{k^3x^3 + k^3y^3 + k^3z^3}{x^3 + y^3 + z^3}\)

= \(\frac{k^3(x^3 + y^3 + z^3)}{x^3 + y^3 + z^3}\)

= \(k^3\)

ডানপক্ষ (RHS) = \(\frac{abc}{xyz}\)

= \(\frac{(kx)(ky)(kz)}{xyz}\)

= \(\frac{k^3xyz}{xyz}\)

= \(k^3\)

সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।