ক বিভাগ 

প্রথম অংশ: প্রমাণ করুন যে, যদি a, b, c অসমান এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে \((a+b)(b+c)(c+a) > 8abc\)

সমাধান:

আমরা জানি, পাটিগণিতীয় গড় (Arithmetic Mean - AM) জ্যামিতিক গড়ের (Geometric Mean - GM) থেকে সর্বদা বড় অথবা সমান হয়। যখন সংখ্যাগুলো অসমান হয়, তখন পাটিগণিতীয় গড় জ্যামিতিক গড়ের থেকে কঠোরভাবে বড় হয়।

যেহেতু a, b, c অসমান এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই AM-GM অসমতা অনুযায়ী পাই:

\(\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}\)

সুতরাং, \((a+b) > 2\sqrt{ab}\) ...... (i)

একইভাবে, b এবং c-এর জন্য পাই:

\(\frac{b+c}{2} > \sqrt{bc}\)

সুতরাং, \((b+c) > 2\sqrt{bc}\) ...... (ii)

এবং c এবং a-এর জন্য পাই:

\(\frac{c+a}{2} > \sqrt{ca}\)

সুতরাং, \((c+a) > 2\sqrt{ca}\) ...... (iii)

এখন, (i), (ii) এবং (iii) নং অসমতাগুলো গুণ করে পাই:

\((a+b)(b+c)(c+a) > (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca})\)

\((a+b)(b+c)(c+a) > 8\sqrt{ab \cdot bc \cdot ca}\)

\((a+b)(b+c)(c+a) > 8\sqrt{a^2b^2c^2}\)

\((a+b)(b+c)(c+a) > 8abc\)

অতএব, প্রমাণ করা হলো যে \((a+b)(b+c)(c+a) > 8abc\)।

দ্বিতীয় অংশ: দেখান যে, \(xyz > (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)\)

সমাধান:

আমরা ধরে নিই যে \(x, y, z\) এমন তিনটি ধনাত্মক সংখ্যা যা ত্রিভুজীয় অসমতা মেনে চলে, অর্থাৎ \(y+z > x\), \(z+x > y\), এবং \(x+y > z\)। এই শর্তে ডানপাশের পদগুলি ধনাত্মক হবে।

ধরি,

\(P = y+z-x\)

\(Q = z+x-y\)

\(R = x+y-z\)

উপরিউক্ত সংজ্ঞাগুলো থেকে আমরা \(x, y, z\) কে \(P, Q, R\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:

\(P+Q = (y+z-x) + (z+x-y) = 2z \Rightarrow z = \frac{P+Q}{2}\)

\(Q+R = (z+x-y) + (x+y-z) = 2x \Rightarrow x = \frac{Q+R}{2}\)

\(R+P = (x+y-z) + (y+z-x) = 2y \Rightarrow y = \frac{R+P}{2}\)

এখন, বামপক্ষ \(xyz\) তে \(x, y, z\) এর মানগুলো বসিয়ে পাই:

\(xyz = \left(\frac{Q+R}{2}\right) \left(\frac{R+P}{2}\right) \left(\frac{P+Q}{2}\right)\)

\(xyz = \frac{1}{8} (Q+R)(R+P)(P+Q)\)

প্রথম অংশে আমরা প্রমাণ করেছি যে, যদি a, b, c অসমান এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে \((a+b)(b+c)(c+a) > 8abc\)। এখানে \(P, Q, R\) ধনাত্মক সংখ্যা। যদি \(P, Q, R\) অসমান হয়, তবে এই অসমতা কঠোরভাবে প্রযোজ্য।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\((P+Q)(Q+R)(R+P) > 8PQR\)

এখন, \(xyz\) এর রাশিতে এই অসমতাটি প্রয়োগ করে পাই:

\(xyz > \frac{1}{8} (8PQR)\)

\(xyz > PQR\)

\(P, Q, R\) এর মূল মানগুলো প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(xyz > (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)\)

অতএব, দেখানো হলো যে \(xyz > (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)\)।

দেওয়া আছে:

\[x^4+x^2+1=0 \]

সমীকরণটিকে \( (x^2-1) \) দ্বারা গুণ করে পাই (উল্লেখ্য যে, \(x^2=1\) হলে \(1^4+1^2+1=3 \neq 0\), সুতরাং \(x^2-1 \neq 0\)):

\[ (x^2-1)(x^4+x^2+1)=0 \]

আমরা জানি, \( (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \)। এখানে \(a=x^2\) এবং \(b=1\)।

সুতরাং,

\[ (x^2)^3 - 1^3 = 0 \]

\[ x^6 - 1 = 0 \]

\[ x^6 = 1 \]

De Moivre's উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধানের জন্য, প্রথমে \(1\) কে পোলার আকারে প্রকাশ করি:

\[ 1 = \cos(2k\pi) + i\sin(2k\pi) \]

যেখানে \( k \) একটি পূর্ণসংখ্যা।

সুতরাং,

\[ x^6 = \cos(2k\pi) + i\sin(2k\pi) \]

উভয় পক্ষকে \( \frac{1}{6} \) ঘাতে উন্নীত করে পাই:

\[ x = \left(\cos(2k\pi) + i\sin(2k\pi)\right)^{1/6} \]

De Moivre's উপপাদ্য অনুসারে, \( (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \)। এখানে \(n=\frac{1}{6}\) এবং \(\theta=2k\pi\)।

\[ x = \cos\left(\frac{2k\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{2k\pi}{6}\right) \]

\[ x = \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{k\pi}{3}\right) \]

এখানে \( k=0, 1, 2, 3, 4, 5 \) এর জন্য \( x \) এর ভিন্ন ভিন্ন মান পাওয়া যাবে।

\( k=0 \) এর জন্য:

\[ x_0 = \cos\left(\frac{0\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{0\pi}{3}\right) = \cos(0) + i\sin(0) = 1+0i = 1 \]

কিন্তু \( x=1 \) মূল সমীকরণ \(x^4+x^2+1=0\) কে সিদ্ধ করে না। কারণ \( 1^4+1^2+1 = 3 \neq 0 \)। এই মূলটি \( (x^2-1) \) গুণ করার কারণে এসেছে। তাই এটি বর্জনীয়।

\( k=1 \) এর জন্য:

\[ x_1 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\( k=2 \) এর জন্য:

\[ x_2 = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\( k=3 \) এর জন্য:

\[ x_3 = \cos\left(\frac{3\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{3}\right) = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1+0i = -1 \]

কিন্তু \( x=-1 \) মূল সমীকরণ \(x^4+x^2+1=0\) কে সিদ্ধ করে না। কারণ \( (-1)^4+(-1)^2+1 = 1+1+1 = 3 \neq 0 \)। এই মূলটিও \( (x^2-1) \) গুণ করার কারণে এসেছে। তাই এটি বর্জনীয়।

\( k=4 \) এর জন্য:

\[ x_4 = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\( k=5 \) এর জন্য:

\[ x_5 = \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \]

অতএব, নির্ণেয় সমাধানগুলো হলো:

\[ \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \]

দেওয়া আছে, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:

\( 17x^2+18xy-7y^2-16x-32y-18=0 \)

এই সমীকরণটিকে \( Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \) এর সাথে তুলনা করে পাই:

\( A=17, B=18, C=-7, D=-16, E=-32, F=-18 \)

প্রথমত, x এবং y পদ দুটিকে অপনয়ন করার জন্য মূলবিন্দুকে (h, k) বিন্দুতে স্থানান্তরিত করতে হবে, যেখানে (h, k) হলো কনিকের কেন্দ্র। কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য নিম্নোক্ত সমীকরণদ্বয় ব্যবহার করা হয়:

\( 2Ah + Bk + D = 0 \)

\( Bh + 2Ck + E = 0 \)

মান বসিয়ে পাই:

\( 2(17)h + 18k - 16 = 0 \)

\( 34h + 18k - 16 = 0 \)

\( 17h + 9k - 8 = 0 \quad \text{(1)} \)

\( 18h + 2(-7)k - 32 = 0 \)

\( 18h - 14k - 32 = 0 \)

\( 9h - 7k - 16 = 0 \quad \text{(2)} \)

সমীকরণ (1) কে 7 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 9 দ্বারা গুণ করে যোগ করি:

\( 7(17h + 9k - 8) = 0 \Rightarrow 119h + 63k - 56 = 0 \)

\( 9(9h - 7k - 16) = 0 \Rightarrow 81h - 63k - 144 = 0 \)

যোগ করে পাই:

\( (119 + 81)h - (56 + 144) = 0 \)

\( 200h - 200 = 0 \)

\( 200h = 200 \)

\( h = 1 \)

\( h=1 \) কে সমীকরণ (1) এ বসিয়ে পাই:

\( 17(1) + 9k - 8 = 0 \)

\( 17 + 9k - 8 = 0 \)

\( 9k + 9 = 0 \)

\( 9k = -9 \)

\( k = -1 \)

সুতরাং, কেন্দ্র \((h, k) = (1, -1)\)।

মূলবিন্দুকে \((h, k)\) তে স্থানান্তরিত করার পর রূপান্তরিত সমীকরণটি হবে \( AX^2 + BXY + CY^2 + F' = 0 \), যেখানে \(F'\) এর মান নির্ণয় করা হবে:

\( F' = Ah^2 + Bhk + Ck^2 + Dh + Ek + F \)

\( F' = 17(1)^2 + 18(1)(-1) - 7(-1)^2 - 16(1) - 32(-1) - 18 \)

\( F' = 17 - 18 - 7 - 16 + 32 - 18 \)

\( F' = 49 - 59 \)

\( F' = -10 \)

সুতরাং, স্থানান্তরের পর সমীকরণটি হলো:

\( 17X^2 + 18XY - 7Y^2 - 10 = 0 \quad \text{(3)} \)

এখন, \(XY\) পদটি অপনয়ন করার জন্য অক্ষদ্বয়কে \(\theta\) কোণে আবর্তন করতে হবে। আবর্তন কোণ \(\theta\) এর জন্য সূত্রটি হলো:

\( \tan 2\theta = \frac{B}{A-C} \)

এখানে \(A=17, B=18, C=-7\)

\( \tan 2\theta = \frac{18}{17 - (-7)} = \frac{18}{17 + 7} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \)

আমরা জানি, \( \cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \) অথবা একটি সমকোণী ত্রিভুজ থেকে \( \cos 2\theta \) নির্ণয় করা যায়। যদি \( \tan 2\theta = 3/4 \) হয়, তবে অতিভুজ হবে \( \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \)।

সুতরাং, \( \cos 2\theta = \frac{4}{5} \)

\( \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 \Rightarrow \frac{4}{5} = 2\cos^2\theta - 1 \Rightarrow 2\cos^2\theta = \frac{9}{5} \Rightarrow \cos^2\theta = \frac{9}{10} \Rightarrow \cos\theta = \frac{3}{\sqrt{10}} \)

\( \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta \Rightarrow \frac{4}{5} = 1 - 2\sin^2\theta \Rightarrow 2\sin^2\theta = \frac{1}{5} \Rightarrow \sin^2\theta = \frac{1}{10} \Rightarrow \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{10}} \)

আবর্তনের জন্য রূপান্তরের সূত্রগুলি হলো:

\( X = X' \cos\theta - Y' \sin\theta \)

\( Y = X' \sin\theta + Y' \cos\theta \)

মান বসিয়ে পাই:

\( X = X' \frac{3}{\sqrt{10}} - Y' \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}(3X' - Y') \)

\( Y = X' \frac{1}{\sqrt{10}} + Y' \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}(X' + 3Y') \)

এই মানগুলি সমীকরণ (3) এ প্রতিস্থাপন করে পাই:

\( 17 \left( \frac{3X' - Y'}{\sqrt{10}} \right)^2 + 18 \left( \frac{3X' - Y'}{\sqrt{10}} \right) \left( \frac{X' + 3Y'}{\sqrt{10}} \right) - 7 \left( \frac{X' + 3Y'}{\sqrt{10}} \right)^2 - 10 = 0 \)

উভয়পক্ষকে 10 দ্বারা গুণ করে পাই:

\( 17 (3X' - Y')^2 + 18 (3X' - Y')(X' + 3Y') - 7 (X' + 3Y')^2 - 100 = 0 \)

\( 17 (9X'^2 - 6X'Y' + Y'^2) + 18 (3X'^2 + 9X'Y' - X'Y' - 3Y'^2) - 7 (X'^2 + 6X'Y' + 9Y'^2) - 100 = 0 \)

\( 17 (9X'^2 - 6X'Y' + Y'^2) + 18 (3X'^2 + 8X'Y' - 3Y'^2) - 7 (X'^2 + 6X'Y' + 9Y'^2) - 100 = 0 \)

গুণ করে পদগুলো একত্রিত করি:

\( (153X'^2 - 102X'Y' + 17Y'^2) + (54X'^2 + 144X'Y' - 54Y'^2) - (7X'^2 + 42X'Y' + 63Y'^2) - 100 = 0 \)

\( (153 + 54 - 7)X'^2 + (-102 + 144 - 42)X'Y' + (17 - 54 - 63)Y'^2 - 100 = 0 \)

\( 200X'^2 + 0X'Y' - 100Y'^2 - 100 = 0 \)

\( 200X'^2 - 100Y'^2 - 100 = 0 \)

উভয়পক্ষকে 100 দ্বারা ভাগ করে পাই:

\( 2X'^2 - Y'^2 - 1 = 0 \)

বা,

\( 2X'^2 - Y'^2 = 1 \)

এই সমীকরণে \(X\), \(Y\) এবং \(XY\) পদ অনুপস্থিত।

অতএব, রূপান্তরিত সমীকরণটি হলো:

\( 2X'^2 - Y'^2 = 1 \)

দেওয়া আছে ম্যাট্রিক্স, \(A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}\)

কোনো ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স (inverse) নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে দেখতে হবে ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক (determinant) শূন্য কিনা। যদি নির্ণায়ক শূন্য না হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সটির ইনভার্স বিদ্যমান থাকে।

১. ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক (\(\text{det}(A)\)) নির্ণয়:

\(\text{det}(A) = -1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}\)

\(\text{det}(A) = -1 ((-1)(4) - (1)(3)) - 1 ((3)(4) - (1)(-1)) + 2 ((3)(3) - (-1)(-1))\)

\(\text{det}(A) = -1 (-4 - 3) - 1 (12 + 1) + 2 (9 - 1)\)

\(\text{det}(A) = -1 (-7) - 1 (13) + 2 (8)\)

\(\text{det}(A) = 7 - 13 + 16\)

\(\text{det}(A) = 10\)

যেহেতু ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক \(\text{det}(A) = 10 \neq 0\), সুতরাং ম্যাট্রিক্সটির ইনভার্স (inverse) বিদ্যমান।

২. সহগুণক ম্যাট্রিক্স (Cofactor Matrix) নির্ণয়:

\(C_{11} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (-1)(4) - (1)(3) = -4 - 3 = -7\)

\(C_{12} = -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = -((3)(4) - (1)(-1)) = -(12 + 1) = -13\)

\(C_{13} = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (3)(3) - (-1)(-1) = 9 - 1 = 8\)

\(C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -((1)(4) - (2)(3)) = -(4 - 6) = -(-2) = 2\)

\(C_{22} = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = (-1)(4) - (2)(-1) = -4 - (-2) = -4 + 2 = -2\)

\(C_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -((-1)(3) - (1)(-1)) = -(-3 - (-1)) = -(-3 + 1) = -(-2) = 2\)

\(C_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (2)(-1) = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3\)

\(C_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -((-1)(1) - (2)(3)) = -(-1 - 6) = -(-7) = 7\)

\(C_{33} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - (1)(3) = 1 - 3 = -2\)

সুতরাং, সহগুণক ম্যাট্রিক্স (Cofactor Matrix), \(C = \begin{pmatrix} -7 & -13 & 8 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & 7 & -2 \end{pmatrix}\)

৩. অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স (Adjoint Matrix) নির্ণয়:

অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স হলো সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (transpose)।

\(\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} -7 & 2 & 3 \\ -13 & -2 & 7 \\ 8 & 2 & -2 \end{pmatrix}\)

৪. ইনভার্স ম্যাট্রিক্স (\(A^{-1}\)) নির্ণয়:

\(A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A)\)

\(A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -7 & 2 & 3 \\ -13 & -2 & 7 \\ 8 & 2 & -2 \end{pmatrix}\)

\(A^{-1} = \begin{pmatrix} -7/10 & 2/10 & 3/10 \\ -13/10 & -2/10 & 7/10 \\ 8/10 & 2/10 & -2/10 \end{pmatrix}\)

\(A^{-1} = \begin{pmatrix} -0.7 & 0.2 & 0.3 \\ -1.3 & -0.2 & 0.7 \\ 0.8 & 0.2 & -0.2 \end{pmatrix}\)