Academy
এসএসসি
উচ্চতর গণিত
দ্বিঘাত সমীকরণ…

$\sqrt{2 x + 7} + \sqrt{3 x - 18} = \sqrt{7 x + 1}$ একটি এক চলকীয় সমীকরণ।

দ্বিঘাত সমীকরণ বলতে কী বোঝ?

Created: 6 months ago | Updated: 6 months ago

Updated: 6 months ago

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (1+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

যে সমীকরণের ঘাত দুই তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে। যেমন: $p x^{2} + q x + r = 0$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

Affan Ahmed

6 months ago

CQ: 20

দ্বিপদী (1+y)^n এর বিস্তৃতি

দুইটি পদের সমন্বয়ে গঠিত বীজগণিতীয় রাশিকে দ্বিপদী রাশি (Binomials) বলা হয়। $a + b, x - y, 1 + x, 1 - x^{2}, a^{2} - b^{2}$ ইত্যাদি দ্বিপদী রাশি। আমরা প্রথমেই একটি দ্বিপদী রাশি $(1 + y)$ চিহ্নিত করি। এখন $(1 + y)$ কে যদি ক্রমাগত $(1 + y)$ দ্বারা গুণ করতে থাকি তাহলে আমরা পাব ${(1 + y)}^{2}, {(1 + y)}^{3}, {(1 + y)}^{4}, {(1 + y)}^{5}, . . . . . . . . .$ ইত্যাদি। আমরা জানি,

${(1 + y)}^{2} = 1 + 2 y + y^{2}$

${(1 + y)}^{3} = (1 + y) {(1 + y)}^{2} = (1 + y) (1 + 2 y + y^{2}) = 1 + 3 y + 3 y^{2} + y^{3}$

অনুরূপভাবে দীর্ঘ গুণন প্রক্রিয়ার মাধ্যমে ${(1 + y)}^{4}, {(1 + y)}^{5}, . . . . . . .$ ইত্যাদি গুণফল নির্ণয় সম্ভব। কিন্তু $(1 + y)$ এর ঘাত বা শক্তি যত বাড়তে থাকবে গুণফল তত দীর্ঘ ও সময়সাপেক্ষ হবে। তাই এমন একটি সহজ পদ্ধতি বের করতে হবে যাতে $(1 + y)$ এর যেকোনো ঘাত (ধরি $n$ ) বা শক্তির জন্য ${(1 + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতি সহজেই নির্ণয় করা সম্ভব হবে। $n$ এর মান $0, 1, 2, 3, 4, . . . . .$ অর্থাৎ অঋণাত্মক মানের জন্য এই অংশে আলোচনা সীমাবদ্ধ থাকবে। এখন প্রক্রিয়াটি আমরা ভালভাবে লক্ষ করি।

$n$ এর মান		প্যাসকেল ত্রিভুজ	পদসংখ্যা
$n = 0$	${(1 + y)}^{0}$ =	1	1
$n = 1$	${(1 + y)}^{1}$ =	$1 + y$	2
$n = 2$	${(1 + y)}^{2}$ =	$1 + 2 y + y^{2}$	3
$n = 3$	${(1 + y)}^{3}$ =	$1 + 3 y + 3 y^{2} + y^{3}$	4
$n = 4$	${(1 + y)}^{4}$ =	$1 + 4 y + 6 y^{2} + 4 y^{3} + y^{4}$	5
$n = 5$	${(1 + y)}^{5}$ =	$1 + 5 y + 10 y^{2} + 10 y^{3} + 5 y^{4} + y^{5}$	6

উপরের বিস্তৃতিসমূহকে ভিত্তি করে আমরা ${(1 + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতি সম্পর্কে নিম্নোক্ত সিদ্ধান্তে আসতে পারি।

ক) ${(1 + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতিতে $(n - 1)$ সংখ্যক পদ আছে। অর্থাৎ ঘাত বা শক্তির চেয়ে পদসংখ্যা একটি বেশি।

খ) $y$ এর ঘাত শূন্য থেকে শুরু হয়ে 1, 2, 3, পর্যন্ত বৃদ্ধি পাবে। অর্থাৎ $y$ এর ঘাত ক্রমান্বয়ে বৃদ্ধি পেয়ে $n$ পর্যন্ত পৌঁছাবে।

Related Question

View All

(ক)

$2^{\frac{1}{x}} = 3^{\frac{1}{y}} = 6^{\frac{1}{z}}$ হলে দেখাও যে, $x + y = z .$

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (1+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, $2^{\frac{1}{x}} = 3^{\frac{1}{y}} = 6^{\frac{1}{z}}$

এখন, $2^{\frac{1}{x}} = 3^{\frac{1}{y}}$ বা, $2 = 3^{\frac{x}{y}}$

এবং $3^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{1}{z}}$

বা, $3^{\frac{1}{y}} = {(2.3)}^{\frac{1}{z}} = 2^{\frac{1}{z}} . 3^{\frac{1}{z}}$

বা, $3^{\frac{1}{y}} = {(3^{\frac{x}{y}})}^{\frac{1}{z}} . 3^{\frac{1}{z}}$

বা, $3^{\frac{1}{y}} = 3^{\frac{x}{y z}} . 3^{\frac{1}{z}} = 3^{\frac{x}{y z} + \frac{1}{z}} = 3^{\frac{x + y}{y z}}$

বা, $\frac{1}{y} = \frac{x + y}{y z}$

বা, $1 = \frac{x + y}{z}$

$∴$ $x + y = z$ (দেখানো হলো)

Affan Ahmed

6 months ago

(খ)

AB এর বিস্তৃতিতে $x^{7}$ এর সহগ নির্ণয় কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (1+y)^n এর বিস্তৃতি

152

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, $A = (1 + x)^{7}$ এবং $B = (1 - x)^{8}$

তাহলে, $A B = (1 + x)^{7} (1 - x)^{8}$

$= (1 - x) (1 - x)^{7} {(1 + x)}^{7} = (1 - x) (1 - x^{2})^{7}$

$= (1 - x) [(\frac{7}{0}) {(- x^{2})}^{0} + (\frac{7}{1}) {(- x^{2})}^{1} + (\frac{7}{2}) {(- x^{2})}^{2} + (\frac{7}{3}) {(- x^{2})}^{3} + (\frac{7}{4}) {(- x^{2})}^{4} + . . . . . .]$ $= (1 - x) [1 - 7 x^{2} + 21 x^{4} - 35 x^{6} + 35 x^{8} - . . . . . . . .]$

$= (1 - 7 x^{2} + 21 x^{4} - 35 x^{6} + 35 x^{8} + . . . .)$

$+ (- x + 7 x^{3} - 21 x^{5} + 35 x^{7} - 35 x^{9} + . . . . . .)$

$= 1 - x - 7 x^{2} + 7 x^{3} + 21 x^{4} - 21 x^{5} - 35 x^{6} + 35 x^{7} + 35 x^{8} - . . . . . .$

AB এর বিস্তৃতিতে $x^{7}$ এর সহগ 35

নির্ণেয় $x^{7}$ এর সহগ 35.

Affan Ahmed

6 months ago

152

(গ)

ফাংশনটির লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (1+y)^n এর বিস্তৃতি

126

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

ধরি, $y = f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

x এর কয়েকটি মান নিয়ে সংশ্লিষ্ট y এর মান নিচের ছকে দেখানো হলো:

x	2	1	0	-1	-2	-3	-4	-5
y	0.25	0.5	1	2	4	8	16	32

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু । x -অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গঘর = 1 একক এবং y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গঘর = 1 একক ধরে (x, y) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)

এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো-

এখন, x এর সকল বাস্তব মানের জন্য প্রদত্ত ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত।

$∴$ ফাংশনের ডোমেন, $D_{f} = ℝ$

এবং x যখন $- \infty$ এর কাছাকাছি হয় তখন f(x) এর মান অসীমের কাছাকাছি হয় এবং x এর মান বৃদ্ধির সাথে সাথে f(x) হ্রাস পায়।

$∴$ ফাংশনের রেঞ্জ $R_{f} = (0, \infty)$

Affan Ahmed

6 months ago

126

(ক)

${(1 - 4 x)}^{4}$ কে প্রথম চার পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (1+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

$(1 - 4 x)^{4} = 1 +^{4} C_{1} (- 4 x) +^{4} C_{2} (- 4 x)^{2} +^{4} C_{3} (- 4 x)^{3} + . . . . . . . . . .$

$= 1 - 16 x + 96 x^{2} - 256 x^{3} + . . . . . . . .$

Affan Ahmed

6 months ago

(খ)

প্রমাণ কর যে, দ্বিপদীটির মান $1 - 11 x + 26 x^{2}$

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (1+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে $(1 + x)^{5} (1 - 4 x)^{4}$ কে বিস্তৃতি করে পাই,

$(1 + x)^{5} (1 - 4 x)^{4} = (1 + 5 x + 10 x^{2} + 10 x^{3} + . . . . . .)$

$\{1 + 4 (- 4 x) + 6 (- 4 x)^{2} + 4 (- 4 x)^{3} + . . . . . . .\}$

$= (1 + 5 x + 10 x^{2} + 10 x^{3} + . . . . . .) (1 - 16 x + 96 x^{2} - 256 x^{3} + . . . . .)$

$= (1 - 16 x + 96 x^{2} - 256 x^{3} + . . . .) + (5 x - 80 x^{2} + 480 x^{3} - . . . .) + (10 x^{2} - 160 x^{3} + . . . . .) + 10 x^{3} + . . . . . .$ $= 1 - 11 x + 26 x^{2} + 74 x^{3} + . . . . . . . . .$

x এর মান যথেষ্ট ছোট হওয়ায় $x^{3}$ এবং তার উর্ধ্বঘাতের মান উপেক্ষা করা যায়।

$∴$ $(1 + x)^{5} (1 - 4 x)^{4} - 1 - 11 x + 26 x^{2}$ (প্রমাণিত)

Affan Ahmed

6 months ago

(গ)

$(1.1)^{5} \times (0.6)^{4}$ এর মান নির্ণয় কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (1+y)^n এর বিস্তৃতি

105

উত্তরঃ

এখানে, $1 + x = 1.1$

বা, $x = 1.1 - 1 = - 1$

'খ' থেকে পাই, $(1 + x)^{5} (1 - 4 x)^{4} = 1 - 11 x + 26 x^{2}$

বা, $(1 + 1)^{5} \{1 - 4 \times (. 1)^{4}\} = 1 - 11 (. 1) + 26 (. 1)^{2}$

বা, $(1.1)^{5} \times (0.6)^{4} = 1 - 1.1 + 0.26 = 0.16$

নির্ণেয় মান: 0.16.

Affan Ahmed

6 months ago

105

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র