নিচের প্রশ্নগুলির উত্তর দিন:

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স বা সারণির সংখ্যাগুলো একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক ধারাক্রম অনুসরণ করে গঠিত হয়েছে।

পদ্ধতি ১ (ক্রমিক পার্থক্য নির্ণয়):

সারণিটির সংখ্যাগুলোকে পর পর সাজালে আমরা পাই: 2, 5, 10, 17, ?, 37, 50, 65, 82

পরপর দুটি সংখ্যার মধ্যবর্তী পার্থক্য লক্ষ্য করি:

  
• \(5 - 2 = 3\)
  
• \(10 - 5 = 5\)
  
• \(17 - 10 = 7\)
  
• \(? - 17 = 9 \implies ? = 17 + 9 = 26\)
  
• \(37 - 26 = 11\)
  
• \(50 - 37 = 13\)
  
• \(65 - 50 = 15\)
  
• \(82 - 65 = 17\)

এখানে প্রতিটি পদের মধ্যবর্তী পার্থক্য ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা (3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17) আকারে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

পদ্ধতি ২ (\(n^2 + 1\) সূত্রের সাহায্যে):

প্রতিটি পদকে \(n^2 + 1\) সূত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় (যেখানে \(n = 1, 2, 3, 4, 5, \dots\)):

  
• ১ম পদ: \(1^2 + 1 = 2\)
  
• ২য় পদ: \(2^2 + 1 = 5\)
  
• ৩য় পদ: \(3^2 + 1 = 10\)
  
• ৪র্থ পদ: \(4^2 + 1 = 17\)
  
• ৫ম পদ (শূন্য ঘর): \(5^2 + 1 = 26\)
  
• ৬ষ্ঠ পদ: \(6^2 + 1 = 37\)
  
• ৭ম পদ: \(7^2 + 1 = 50\)
  
• ৮ম পদ: \(8^2 + 1 = 65\)
  
• ৯ম পদ: \(9^2 + 1 = 82\)

সুতরাং, শূন্য ঘরের সঠিক সংখ্যাটি হবে 26।

প্রদত্ত চিত্রটিতে মোট ১২টি ত্রিভুজ রয়েছে। নিচে ধাপ অনুসারে বিস্তারিত গণনা দেওয়া হলো:

    
• ১টি করে ক্ষুদ্রতম অংশ (Region) নিয়ে গঠিত ত্রিভুজ: ৫টি
    
• ২টি অংশ একত্রিত করে গঠিত ত্রিভুজ: ৪টি
    
• ৩টি অংশ একত্রিত করে গঠিত ত্রিভুজ: ২টি
    
• সম্পূর্ণ বড় ত্রিভুজ (মূল চিত্র): ১টি

অতএব, চিত্রটিতে মোট ত্রিভুজের সংখ্যা = ৫ + ৪ + ২ + ১ = ১২টি।

গাণিতিক সমাধান:

কোনো নির্দিষ্ট শ্রেণিতে বা সারিতে একজন ব্যক্তির দুই দিকের (উপর ও নীচ বা ডান ও বাম) অবস্থান দেওয়া থাকলে মোট সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\[ \text{মোট সংখ্যা} = (\text{একদিক থেকে অবস্থান} + \text{অন্যদিক থেকে অবস্থান}) - ১ \]

দেওয়া আছে,

উপর থেকে রোহানের অবস্থান = ৭ম
নীচ থেকে রোহানের অবস্থান = ২৬তম

অতএব, শ্রেণিতে মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = \((৭ + ২৬) - ১\)

\(= ৩৩ - ১\)

\(= ৩২\) জন

ব্যাখ্যা: রোহানকে উপর থেকে গণনার সময় একবার এবং নীচ থেকে গণনার সময় আরও একবার অর্থাৎ মোট দুইবার গণনা করা হয়েছে। তাই সঠিক মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা বের করতে প্রাপ্ত যোগফল থেকে ১ বিয়োগ করতে হয়।

ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, অক্টোবর মাস ৩১ দিনে সম্পন্ন হয়।

সপ্তাহ ৭ দিনে হওয়ায় কোনো নির্দিষ্ট তারিখের সাথে ৭ বা ৭-এর গুণিতক দিন যোগ করলে একই বার ফিরে আসে।

  
• ১লা অক্টোবর = রবিবার
  
• ১ + ২৮ = ২৯শে অক্টোবর = রবিবার
  
• ৩০শে অক্টোবর = সোমবার
  
• ৩১শে অক্টোবর = মঙ্গলবার
  
• ১লা নভেম্বর = বুধবার

সংক্ষিপ্ত নিয়ম:
অক্টোবর মাসের মোট ৩১ দিনকে ৭ দ্বারা ভাগ করলে:
\(৩১ \div ৭ = ৪\) সপ্তাহ এবং অবশিষ্ট থাকে ৩ দিন।
অতএব, রবিবার + ৩ দিন = বুধবার।

৪ বছর

বিস্তারিত সমাধান:

আমরা জানি, সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,

মুনাফা (\(I\)) = \(p \times r \times n\)

যেখানে,

আসল (\(p\)) = ১০,০০০ টাকা

মুনাফার হার (\(r\)) = ১২% = \(\frac{১২}{১০০}\)

মোট মুনাফা (\(I\)) = ৪,৮০০ টাকা

সময় (\(n\)) = ?

সূত্রানুসারে,

\(n = \frac{I}{p \times r}\)

বা, \(n = \frac{৪,৮০০}{১০,০০০ \times \frac{১২}{১০০}}\)

বা, \(n = \frac{৪,৮০০}{১,২০০}\)

বা, \(n = ৪\)

সুতরাং, নির্ণেয় সময় ৪ বছর।

বর্গাকার জমির ৪টি কোণ এবং ৪টি বাহু থাকে। যখন প্রতি বাহুতে নির্দিষ্ট সংখ্যক খুঁটি বসানো হয়, তখন ৪টি কোণের ৪টি খুঁটি দুটি করে বাহুর সাথে সাধারণ (common) হিসেবে যুক্ত থাকে। ফলে এগুলোকে দুইবার গণনা করা হয়।

সমাধান:

যদি সাধারণ নিয়মে প্রতিটি বাহুর খুঁটি গুণ করা হয়:

মোট গণনা = \(২৭ \times ৪ = ১০৮\) টি।

যেহেতু ৪টি কোণের ৪টি খুঁটি অতিরিক্ত একবার করে বেশি গণনা করা হয়েছে, তাই মোট প্রয়োজনীয় খুঁটির সংখ্যা হবে:

\(১০৮ - ৪ = ১০৪\) টি।

সংক্ষিপ্ত সূত্র:

বর্গাকার ক্ষেত্রে মোট খুঁটির সংখ্যা = \(৪ \times (n - ১)\)

এখানে, প্রতি পাশের খুঁটির সংখ্যা, \(n = ২৭\)

অতএব, মোট খুঁটি = \(৪ \times (২৭ - ১) = ৪ \times ২৬ = ১০৪\) টি।