পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে 3 × 10⁴ km উচ্চতায় একটি কৃত্রিম উপগ্রহ 3kms^-1 বেগে পৃথিবীকে আবর্তন করছে।

পৃথিবীর ভর, 6 × 10²⁴ kg

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, 6.4 × 10³ km 

উপগ্রহটির ভর, 1 x 10³g এবং G = 6.673 × 10^-11Nm²kg^-2

হ্যাঁ, ঘর্ষণ বল একটি অসংরক্ষণশীল বল (Non-conservative force)।

যে সকল বল দ্বারা কৃতকাজ বস্তুর গতিপথের উপর নির্ভরশীল এবং একটি পূর্ণচক্রে কৃতকাজের পরিমাণ শূন্য হয় না, তাদের অসংরক্ষণশীল বল বলে। ঘর্ষণ বল সর্বদা গতির বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে এবং এর দ্বারা কৃতকাজ কখনো পুনরুদ্ধার করা যায় না। ঘর্ষণ বলের কারণে যান্ত্রিক শক্তি তাপ শক্তিতে রূপান্তরিত হয়ে পরিবেশে ছড়িয়ে পড়ে, অর্থাৎ শক্তি অপচয় ঘটে। এ কারণেই ঘর্ষণ বলকে অসংরক্ষণশীল বল বলা হয়।

প্রথম মাঝি সোজাসুজি নদীর অপর পাড়ে পৌঁছানোর জন্য তার লব্ধি বেগের অনুভূমিক উপাংশ (স্রোতের দিকের উপাংশ) শূন্য হতে হবে। এর অর্থ হলো, মাঝির স্রোতের সাপেক্ষে বেগের যে অনুভূমিক উপাংশটি স্রোতের গতিকে প্রশমিত করবে, তার মান স্রোতের বেগের মানের সমান ও বিপরীত হতে হবে। যদি মাঝি স্রোতের দিকের সাথে \(\alpha\) কোণে যাত্রা শুরু করে, তাহলে তার বেগের অনুভূমিক উপাংশ হবে \(u \cos\alpha\)।

উদ্দীপক অনুযায়ী, স্রোতের বেগ (v) = 5 kmh^-1 এবং প্রথম মাঝির স্রোতের সাপেক্ষে বেগ (u) = 10 kmh^-1। সোজাসুজি নদী পার হওয়ার শর্তানুযায়ী, লব্ধি বেগের অনুভূমিক উপাংশ শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ, স্রোতের বেগের দিককে ধনাত্মক ধরে, মোট অনুভূমিক উপাংশ \(v + u \cos\alpha = 0\) হবে।

এই শর্তটি ব্যবহার করে আমরা \(\alpha\) এর মান নির্ণয় করতে পারি:

\(v + u \cos\alpha = 0\)

\(5 + 10 \cos\alpha = 0\)

\(10 \cos\alpha = -5\)

\(\cos\alpha = -\frac{5}{10}\)

\(\cos\alpha = -\frac{1}{2}\)

\(\alpha = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(\alpha = 120^\circ\)

সুতরাং, \(\alpha\) কোণের মান \(120^\circ\) হলে প্রথম মাঝি সোজাসুজি নদীর অপর পাড়ে পৌঁছাবে।

নদীর প্রস্থ (\(d\)) = 10 km

স্রোতের বেগ (\(u\)) = 5 kmh^-1

মাঝিদের স্থির পানিতে নৌকার বেগ (\(v\)) = 10 kmh^-1

কোন মাঝি নদীর অপর পাড়ে আগে পৌঁছাতে পারবে তা নির্ণয় করার জন্য উভয় মাঝির নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় গণনা করতে হবে। যে মাঝির সময় কম লাগবে, সে-ই আগে পৌঁছাবে।

প্রথম মাঝির ক্ষেত্রে:

প্রথম মাঝি স্রোতের সাথে \(\alpha\) কোণে যাত্রা করে। উদ্দীপকের চিত্র অনুযায়ী, \(\alpha\) কোণটি লম্ব দিকের সাথে উপরের দিকে (স্রোতের বিপরীত দিকে) তৈরি হয়েছে। এক্ষেত্রে, মাঝি যদি নদীটি সরাসরি অপর পাড়ে (ন্যূনতম দূরত্বে) অতিক্রম করতে চায়, তবে তাকে এমনভাবে নৌকা চালাতে হবে যেন স্রোতের কারণে তার যে সরণ হয়, তা নৌকার বেগের আনুভূমিক উপাংশ দ্বারা প্রশমিত হয়।

ধরি, মাঝি স্রোতের সাথে লম্ব বরাবর দিক থেকে \(\alpha\) কোণে নৌকা চালায়। ন্যূনতম দূরত্বে নদী পার হওয়ার জন্য নৌকার বেগের স্রোতের দিকের উপাংশকে স্রোতের বেগের সমান ও বিপরীত হতে হবে। অর্থাৎ,

\(v \sin \alpha = u\)

\(10 \sin \alpha = 5\)

\(\sin \alpha = \frac{5}{10} = 0.5\)

\(\alpha = \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ\)

নদী পার হওয়ার জন্য লম্ব বরাবর কার্যকরী বেগ হবে: \(v_y = v \cos \alpha\)

\(v_y = 10 \cos 30^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\) kmh^-1

প্রথম মাঝির নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় (\(t_1\)) হবে:

\(t_1 = \frac{d}{v_y} = \frac{10}{5\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\) ঘন্টা

\(t_1 \approx \frac{2}{1.732} \approx 1.1547\) ঘন্টা

দ্বিতীয় মাঝির ক্ষেত্রে:

দ্বিতীয় মাঝি স্রোতের সাথে লম্বভাবে নদী পার হতে যাত্রা করে। অর্থাৎ, সে তার নৌকাকে নদীর প্রস্থ বরাবর সরাসরি অপর পাড়ের দিকে চালনা করে। এক্ষেত্রে, তার নৌকার বেগই নদীর প্রস্থ বরাবর কার্যকরী বেগ হিসেবে কাজ করবে।

নদী পার হওয়ার জন্য লম্ব বরাবর কার্যকরী বেগ হবে: \(v_y = v = 10\) kmh^-1

দ্বিতীয় মাঝির নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময় (\(t_2\)) হবে:

\(t_2 = \frac{d}{v_y} = \frac{10}{10} = 1\) ঘন্টা

এই ক্ষেত্রে মাঝি স্রোতের কারণে কিছুটা দূরে ভেসে যাবে, কিন্তু নদী পার হতে তার সবচেয়ে কম সময় লাগবে।

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও মতামত:

প্রথম মাঝির নদী পার হতে সময় লাগে প্রায় 1.1547 ঘন্টা, যেখানে দ্বিতীয় মাঝির সময় লাগে 1 ঘন্টা।

যেহেতু \(t_2\) (\(1\) ঘন্টা) < \(t_1\) (\(1.1547\) ঘন্টা), দ্বিতীয় মাঝি প্রথম মাঝির চেয়ে আগে নদীর অপর পাড়ে পৌঁছাতে পারবে। দ্বিতীয় মাঝি ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার কৌশল অবলম্বন করায় তার সময় কম লাগবে, যদিও সে স্রোতের কারণে ভেসে যাবে এবং সরাসরি অপর পাড়ে পৌঁছাবে না।

ভেক্টর অপারেটর নেবলা (∇) দ্বারা কোনো স্কেলার ফাংশনকে (যেমন: বিভব, তাপমাত্রা) স্থান সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করলে যে ভেক্টর ক্ষেত্র পাওয়া যায়, তাকে গ্রাডিয়েন্ট বলে। এটি স্কেলার ফাংশনটির মানের সর্বাধিক পরিবর্তনের হার ও দিক নির্দেশ করে।

ভেক্টরের ডাইভারজেন্সের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলো হলো:

    
• এটি একটি স্কেলার রাশি, যা কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তরিত করে।
    
• এটি কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের নির্দিষ্ট বিন্দুতে একক আয়তন থেকে নির্গত বা অভিসারী ফ্লাক্সের (flux) পরিমাণ নির্দেশ করে।
    
• ধনাত্মক ডাইভারজেন্স (positive divergence) ঐ বিন্দুতে একটি উৎসের (source) উপস্থিতি বোঝায়, যেখানে ক্ষেত্র রেখাগুলো উৎপন্ন হয় বা বাইরের দিকে ছড়িয়ে পড়ে।
    
• ঋণাত্মক ডাইভারজেন্স (negative divergence) ঐ বিন্দুতে একটি সিঙ্কের (sink) উপস্থিতি বোঝায়, যেখানে ক্ষেত্র রেখাগুলো প্রবেশ করে বা ভেতরের দিকে একত্রিত হয়।
    
• যদি ডাইভারজেন্সের মান শূন্য হয়, তবে ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রকে সোলেনয়ডাল ক্ষেত্র (solenoidal field) বলা হয়, অর্থাৎ ঐ বিন্দুতে কোনো উৎস বা সিঙ্ক নেই, কেবল ক্ষেত্র রেখার অবিচ্ছিন্ন প্রবাহ থাকে।

ডাইভারজেন্স মূলত একটি ভেক্টর অপারেটর যা কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের (যেমন: তড়িৎ ক্ষেত্র, চৌম্বক ক্ষেত্র বা তরল প্রবাহ ক্ষেত্র) কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে ঐ ক্ষেত্রের উৎস বা সিঙ্কের উপস্থিতি এবং শক্তি পরিমাপ করে। এর মাধ্যমে একটি ভেক্টর রাশির "প্রসারিত" বা "সংকুচিত" হওয়ার প্রবণতা বোঝা যায়, যা ক্ষেত্রটির ঘনত্ব পরিবর্তনকে সূচিত করে।