পৃথিবীর ভর ও ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 6 x 10²⁴ kg এবং 6400 km । এর পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.8 ms^-2। মহাকর্ষীয় ধ্রুবক 6.673 × 10^-11 Nm²kg^-2। এর পৃষ্ঠ থেকে একটি উপগ্রহকে 700 km উচ্চতায় তোলা হলো।

উত্তরঃ ভূ-স্থির উপগ্রহ হলো এমন কৃত্রিম উপগ্রহ যা পৃথিবীর নিরক্ষীয় তলে পৃথিবীকে এমনভাবে আবর্তন করে যে, পৃথিবী থেকে দেখলে এটিকে আকাশে সর্বদা স্থির বলে মনে হয়। এর আবর্তনকাল পৃথিবীর নিজ অক্ষের উপর আবর্তনকালের সমান (প্রায় ২৪ ঘণ্টা)।

উত্তরঃ

হ্যাঁ, পৃথিবীর ঘনত্বের পরিবর্তনে অভিকর্ষজ ত্বরণ (gravitational acceleration) পরিবর্তিত হবে।

কোনো গ্রহের পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের সূত্রটি হলো \(g = \frac{GM}{R^2}\), যেখানে G মহাকর্ষীয় ধ্রুবক (gravitational constant), M গ্রহের ভর (mass) এবং R গ্রহের ব্যাসার্ধ (radius)। আমরা জানি, ভর \(M = \rho V\), যেখানে \(\rho\) ঘনত্ব (density) এবং V আয়তন (volume)। পৃথিবীর আয়তন \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\) হওয়ায়, অভিকর্ষজ ত্বরণের সূত্রটি দাঁড়ায় \(g = \frac{G (\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho R\)। এই সূত্রানুযায়ী, যদি পৃথিবীর ব্যাসার্ধ (radius) অপরিবর্তিত থাকে, তাহলে অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) সরাসরি পৃথিবীর ঘনত্বের (\(\rho\)) সমানুপাতিক। সুতরাং, ঘনত্বের পরিবর্তন হলে অভিকর্ষজ ত্বরণও পরিবর্তিত হবে।

উত্তরঃ

বস্তুর ওজন পৃথিবীর পৃষ্ঠে হয়:

W = mg

পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে উচ্চতা  তে, মাধ্যাকর্ষণ শক্তি হ্রাস পায় নিম্নলিখিত সূত্র অনুসারে:

W' = mg' = mg (R/R+h)^2

প্রশ্নে বলা হয়েছে, উচ্চতা  তে ওজন পৃথিবীর পৃষ্ঠের ওজনের 40% হবে:

mg' = 0.4 mg

(R/R+h)^2=0.4

উভয় পাশে বর্গমূল নিলে:

R/R+h = √(0.4)

R + h = R/(0.4)

h = R/(0.4)-R

এখন, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ  R= 6400 বসিয়ে পাই

h =6400/√(0.4)-6400

গণনা করলে পাওয়া যায়:

h = 3719 কিমি

অতএব, পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে প্রায় 3719 কিমি উচ্চতায় বস্তুর ওজন পৃথিবীর পৃষ্ঠের ওজনের 40% হবে।

উত্তরঃ

উদ্দীপকে বর্ণিত উপগ্রহটি চাঁদের মতো উপগ্রহ হবে কিনা তা এর কক্ষপথের পর্যায়কাল নির্ণয়ের মাধ্যমে গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করা হলো:

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্যসমূহ হলো:

    
• পৃথিবীর ভর, \(M = 6 \times 10^{24}\) kg
    
• পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, \(R = 6400\) km \( = 6400 \times 10^3\) m \( = 6.4 \times 10^6\) m
    
• মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(G = 6.673 \times 10^{-11}\) Nm\(^2\)kg\(^{-2}\)
    
• উপগ্রহের উচ্চতা, \(h = 700\) km \( = 700 \times 10^3\) m \( = 0.7 \times 10^6\) m

উপগ্রহটির কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, \(r = R + h = 6.4 \times 10^6 + 0.7 \times 10^6 = 7.1 \times 10^6\) m

উপগ্রহের কক্ষপথের পর্যায়কালের সূত্রটি হলো:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}\]

এখানে,

\(r^3 = (7.1 \times 10^6)^3 = 357.911 \times 10^{18} = 3.57911 \times 10^{20}\) m\(^3\)

\(GM = (6.673 \times 10^{-11}) \times (6 \times 10^{24}) = 40.038 \times 10^{13} = 4.0038 \times 10^{14}\) Nm\(^2\)kg\(^{-1}\)

মান বসিয়ে পাই,

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{3.57911 \times 10^{20}}{4.0038 \times 10^{14}}}\]

\[T = 2\pi \sqrt{0.8939 \times 10^6}\]

\[T = 2\pi \times 945.46\]

\[T \approx 5940.6\] s

পর্যায়কালকে ঘণ্টায় রূপান্তর করলে, \(T = \frac{5940.6}{3600}\) ঘণ্টা \(\approx 1.65\) ঘণ্টা।

প্রাপ্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, উৎক্ষেপিত উপগ্রহটির পৃথিবীর চারদিকে একবার ঘুরতে প্রায় 1.65 ঘণ্টা সময় লাগে। অন্যদিকে, চাঁদের পৃথিবীর চারদিকে একবার ঘুরতে প্রায় 27.3 দিন (প্রায় 655.2 ঘণ্টা) সময় লাগে। চাঁদ একটি প্রাকৃতিক উপগ্রহ যা পৃথিবীর তুলনায় অনেক বেশি ভরের এবং তার কক্ষপথের ব্যাসার্ধ অনেক বেশি। উদ্দীপকের উপগ্রহটি একটি কৃত্রিম উপগ্রহ যার কক্ষপথের পর্যায়কাল চাঁদের পর্যায়কালের চেয়ে অনেক কম। সাধারণত, 'চাঁদের মতো উপগ্রহ' বলতে কোনো গ্রহের প্রাকৃতিক উপগ্রহকে বোঝানো হয়, যা নিজস্ব কক্ষপথে দীর্ঘ সময় ধরে পরিভ্রমণ করে এবং এর ভর ও আকার একটি কৃত্রিম উপগ্রহের চেয়ে অনেক বেশি হয়।

উপসংহারে বলা যায়, গাণিতিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী উৎক্ষেপিত উপগ্রহটির পর্যায়কাল এবং প্রাকৃতিক বৈশিষ্ট্য চাঁদের পর্যায়কাল ও বৈশিষ্ট্যের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। অতএব, উদ্দীপকের উৎক্ষেপিত উপগ্রহটি চাঁদের মতো উপগ্রহ হবে না।