প্রমাণ কর যে, p8q8r8=1p12+1q12+1r12=p12q12r12

দেওয়া আছে, p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী। সুতরাং, pq=qr অথবা, q2=pr .......................(i) আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, p8q8r8=1p12+1q12+1r12=p12q12r12 প্রথম রাশি: p8q8r8=(pqr)8 =(q⋅pr)8 সমীকরণ (i) থেকে pr=q2 বসিয়ে পাই, =(q⋅q2)8 =(q3)8 =q24 সুতরাং, প্রথম রাশি q24। তৃতীয় রাশি: p12q12r12=(pqr)12 =(q⋅p

P, q , r ক্রমিক সমানুপাতী এবং $\frac{14}{y} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n} .$

প্রমাণ কর যে, $p^{8} q^{8} r^{8} = (\frac{1}{p^{12}} + \frac{1}{q^{12}} + \frac{1}{r^{12}}) = p^{12} q^{12} r^{12}$

Created: 2 years ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

1.1k

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী।

সুতরাং, $\frac{p}{q} = \frac{q}{r}$

অথবা, $q^{2} = p r$ .......................(i)

আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, $p^{8} q^{8} r^{8} = (\frac{1}{p^{12}} + \frac{1}{q^{12}} + \frac{1}{r^{12}}) = p^{12} q^{12} r^{12}$

প্রথম রাশি:

$p^{8} q^{8} r^{8} = {(p q r)}^{8}$

$= {(q \cdot p r)}^{8}$

সমীকরণ (i) থেকে $p r = q^{2}$ বসিয়ে পাই,

$= {(q \cdot q^{2})}^{8}$

$= {(q^{3})}^{8}$

$= q^{24}$

সুতরাং, প্রথম রাশি $q^{24}$ ।

তৃতীয় রাশি:

$p^{12} q^{12} r^{12} = {(p q r)}^{12}$

$= {(q \cdot p r)}^{12}$

সমীকরণ (i) থেকে $p r = q^{2}$ বসিয়ে পাই,

$= {(q \cdot q^{2})}^{12}$

$= {(q^{3})}^{12}$

$= q^{36}$

সুতরাং, তৃতীয় রাশি $q^{36}$ ।

প্রথম ও তৃতীয় রাশি তুলনা করে পাই:

$q^{24} = q^{36}$

$\Rightarrow q^{36} - q^{24} = 0$

$\Rightarrow q^{24} (q^{12} - 1) = 0$

যেহেতু p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী, $q \neq 0$ (অন্যথায় সমানুপাত অর্থহীন হয়), সেহেতু $q^{12} - 1 = 0 \Rightarrow q^{12} = 1$ ।

ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে, $q = 1$ ।

যদি $q = 1$ হয়, তাহলে সমীকরণ (i) থেকে পাই, $p r = 1^{2} = 1$ ।

অর্থাৎ, প্রথম রাশি এবং তৃতীয় রাশি শুধুমাত্র $q = 1$ এবং $p r = 1$ হলে সমান হবে, অন্যথায় নয়।

মধ্যবর্তী রাশি:

$(\frac{1}{p^{12}} + \frac{1}{q^{12}} + \frac{1}{r^{12}})$

যদি $q = 1$ এবং $p r = 1$ হয়, তাহলে $p = 1 / r$ ।

উপরিউক্ত শর্তাবলী প্রয়োগ করে পাই,

$= \frac{1}{{(1 / r)}^{12}} + \frac{1}{1^{12}} + \frac{1}{r^{12}}$

$= r^{12} + 1 + \frac{1}{r^{12}}$

এখন, যদি মধ্যবর্তী রাশিটি প্রথম রাশির সমান হয়, তাহলে:

$r^{12} + 1 + \frac{1}{r^{12}} = q^{24}$

যেহেতু $q = 1$ , $q^{24} = 1$ ।

$\Rightarrow r^{12} + 1 + 1 r^{12} = 1$

$\Rightarrow r^{12} + 1 r^{12} = 0$

$\Rightarrow r^{24} + 1 = 0$

যা বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে অসম্ভব (কারণ $r^{24} ge 0$ হওয়ায় $r^{24} + 1 ge 1$ হবে)।

উপসংহার:

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, প্রদত্ত সম্পর্ক $p^{8} q^{8} r^{8} = (\frac{1}{p^{12}} + \frac{1}{q^{12}} + \frac{1}{r^{12}}) = p^{12} q^{12} r^{12}$ সাধারণভাবে সত্য নয়। প্রশ্নপত্রে হয়তো কোনো মুদ্রণ ত্রুটি রয়েছে।

Satt AI

1 week ago

1.1k

CQ: 118

Related Question

View All

(গ)

p + q = a, p - q = b

হলে প্রমাণ কর যে,

\frac{1}{16} {(a^{2} - b^{2})}^{2} = ab

এসএসসি গণিত কুমিল্লা বোর্ড - 2023 বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি ও প্রয়োগ

764

Add Explanation

764

(খ)

\frac{3}{2} (x^{3} + \frac{1}{x^{3}})

এর মান নির্ণয় কর।

এসএসসি গণিত বরিশাল বোর্ড - 2023 বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি ও প্রয়োগ

663

উত্তরঃ

প্রদত্ত রাশি থেকে পাই,

$x^8 - 2x^4 + 1 = 0$

বা, $(x^4)^2 - 2 \cdot x^4 \cdot 1 + 1^2 = 0$

বা, $(x^4 - 1)^2 = 0$

উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে পাই,

$x^4 - 1 = 0$

বা, $x^4 = 1$

যেহেতু, $x > 0$

সুতরাং, $x = 1$

এখন, $\frac{3}{2}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)$ এর মান নির্ণয় করি:

$\frac{3}{2}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)$

$= \frac{3}{2}\left(1^3+\frac{1}{1^3}\right)$

$= \frac{3}{2}\left(1+1\right)$

$= \frac{3}{2}\left(2\right)$

$= 3$

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধান করার জন্য প্রথমে উদ্দীপকে দেওয়া সমীকরণটিকে $(a-b)^2$ এর সূত্রে ফেলে $x$ এর মান নির্ণয় করা হয়েছে। এরপর প্রাপ্ত $x$ এর নির্দিষ্ট ধনাত্মক মানটি (কারণ $x > 0$) নির্ণেয় রাশিতে প্রতিস্থাপন করে সরলীকরণ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে চূড়ান্ত মান বের করা হয়েছে।

Satt AI

1 week ago

663

(গ)

A=√7, B =√35 হলে প্রমাণ কর যে, 1/3 (p3q+ pq3) = 1.

এসএসসি গণিত বরিশাল বোর্ড - 2023 বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি ও প্রয়োগ

1.4k

উত্তরঃ

উদ্দীপক থেকে আমরা পাই $A=p+q$ এবং $B=p^2-q^2$। প্রশ্নে প্রদত্ত মানানুসারে, $A=\sqrt{7}$ এবং $B=\sqrt{35}$ হলে $\frac{1}{3} (p^3q + pq^3) = 1$ প্রমাণ করতে হবে। উদ্দীপকের এই শর্তাবলি ব্যবহার করে আমরা $p$ এবং $q$ এর সম্পর্কগুলো যাচাই করব।

প্রথমে, উদ্দীপকের শর্তানুযায়ী $A$ ও $B$ এর সংজ্ঞাকে প্রদত্ত মানের সাথে মিলিয়ে প্রয়োজনীয় মান নির্ণয় করি। আমরা জানি, $B=p^2-q^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে $B=(p+q)(p-q)$ পাওয়া যায়। প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই, $\sqrt{35} = \sqrt{7}(p-q)$। সুতরাং, $p-q = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{7}} = \sqrt{5}$। এখন, $p+q = \sqrt{7}$ এবং $p-q = \sqrt{5}$ ব্যবহার করে $pq$ এবং $p^2+q^2$ এর মান নির্ণয় করি: $pq = \frac{(p+q)^2 - (p-q)^2}{4} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ এবং $p^2+q^2 = (p+q)^2 - 2pq = (\sqrt{7})^2 - 2 \times \frac{1}{2} = 7 - 1 = 6$।

এখন, প্রশ্নানুসারে প্রদত্ত রাশিটির বামপক্ষ নিয়ে তাতে নির্ণীত মানগুলো বসিয়ে প্রমাণ করি: বামপক্ষ $= \frac{1}{3} (p^3q + pq^3)$ $= \frac{1}{3} pq(p^2 + q^2)$ উপরে নির্ণীত $pq = \frac{1}{2}$ এবং $p^2+q^2 = 6$ এই মানগুলো বসিয়ে পাই: $= \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right) \times (6)$ $= \frac{1}{3} \times 3$ $= 1$ সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

Satt AI

1 week ago