P, q , r ক্রমিক সমানুপাতী এবং 14y=1m + 1n.

এই প্রশ্নটি গণিতের একটি গাণিতিক উপাত্ত বা উদ্দীপক (premise/stem) উপস্থাপন করে। এখানে দুটি শর্ত দেওয়া হয়েছে: প্রথমত, P, q, r ক্রমিক সমানুপাতী; দ্বিতীয়ত, একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ $ \frac{14}{y} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n} $। প্রশ্নে সুনির্দিষ্টভাবে কী নির্ণয় করতে হবে বা প্রমাণ করতে হবে তা উল্লেখ না থ

P, q , r ক্রমিক সমানুপাতী এবং $\frac{14}{y} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n} .$

Created: 2 years ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

971

(ক)

\log_{4}

400 = 4 হলে x এর মান নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

$\log_x 400 = 4$

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী,

$x^4 = 400$

$x = (400)^{\frac{1}{4}}$

$x = (20^2)^{\frac{1}{4}}$

$x = 20^{\frac{2}{4}}$

$x = 20^{\frac{1}{2}}$

$x = \sqrt{20}$

$x = \sqrt{4 \times 5}$

$x = 2\sqrt{5}$

অতএব, $x$ এর মান $2\sqrt{5}$।

Satt AI

1 week ago

(খ)

প্রমাণ কর যে,

p^{8} q^{8} r^{8} = (\frac{1}{p^{12}} + \frac{1}{q^{12}} + \frac{1}{r^{12}}) = p^{12} q^{12} r^{12}

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী।

সুতরাং, $\frac{p}{q} = \frac{q}{r}$

অথবা, $q^{2} = p r$ .......................(i)

আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, $p^{8} q^{8} r^{8} = (\frac{1}{p^{12}} + \frac{1}{q^{12}} + \frac{1}{r^{12}}) = p^{12} q^{12} r^{12}$

প্রথম রাশি:

$p^{8} q^{8} r^{8} = {(p q r)}^{8}$

$= {(q \cdot p r)}^{8}$

সমীকরণ (i) থেকে $p r = q^{2}$ বসিয়ে পাই,

$= {(q \cdot q^{2})}^{8}$

$= {(q^{3})}^{8}$

$= q^{24}$

সুতরাং, প্রথম রাশি $q^{24}$ ।

তৃতীয় রাশি:

$p^{12} q^{12} r^{12} = {(p q r)}^{12}$

$= {(q \cdot p r)}^{12}$

সমীকরণ (i) থেকে $p r = q^{2}$ বসিয়ে পাই,

$= {(q \cdot q^{2})}^{12}$

$= {(q^{3})}^{12}$

$= q^{36}$

সুতরাং, তৃতীয় রাশি $q^{36}$ ।

প্রথম ও তৃতীয় রাশি তুলনা করে পাই:

$q^{24} = q^{36}$

$\Rightarrow q^{36} - q^{24} = 0$

$\Rightarrow q^{24} (q^{12} - 1) = 0$

যেহেতু p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী, $q \neq 0$ (অন্যথায় সমানুপাত অর্থহীন হয়), সেহেতু $q^{12} - 1 = 0 \Rightarrow q^{12} = 1$ ।

ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে, $q = 1$ ।

যদি $q = 1$ হয়, তাহলে সমীকরণ (i) থেকে পাই, $p r = 1^{2} = 1$ ।

অর্থাৎ, প্রথম রাশি এবং তৃতীয় রাশি শুধুমাত্র $q = 1$ এবং $p r = 1$ হলে সমান হবে, অন্যথায় নয়।

মধ্যবর্তী রাশি:

$(\frac{1}{p^{12}} + \frac{1}{q^{12}} + \frac{1}{r^{12}})$

যদি $q = 1$ এবং $p r = 1$ হয়, তাহলে $p = 1 / r$ ।

উপরিউক্ত শর্তাবলী প্রয়োগ করে পাই,

$= \frac{1}{{(1 / r)}^{12}} + \frac{1}{1^{12}} + \frac{1}{r^{12}}$

$= r^{12} + 1 + \frac{1}{r^{12}}$

এখন, যদি মধ্যবর্তী রাশিটি প্রথম রাশির সমান হয়, তাহলে:

$r^{12} + 1 + \frac{1}{r^{12}} = q^{24}$

যেহেতু $q = 1$ , $q^{24} = 1$ ।

$\Rightarrow r^{12} + 1 + 1 r^{12} = 1$

$\Rightarrow r^{12} + 1 r^{12} = 0$

$\Rightarrow r^{24} + 1 = 0$

যা বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে অসম্ভব (কারণ $r^{24} ge 0$ হওয়ায় $r^{24} + 1 ge 1$ হবে)।

উপসংহার:

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, প্রদত্ত সম্পর্ক $p^{8} q^{8} r^{8} = (\frac{1}{p^{12}} + \frac{1}{q^{12}} + \frac{1}{r^{12}}) = p^{12} q^{12} r^{12}$ সাধারণভাবে সত্য নয়। প্রশ্নপত্রে হয়তো কোনো মুদ্রণ ত্রুটি রয়েছে।

Satt AI

1 week ago

(গ)

দেখাও যে,

\frac{y + 7 m}{y - 7 m} + \frac{y + 7 n}{y - 7 n} = 2

; যেখানে m ≠ n

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

$\frac{14}{y} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$

$\Rightarrow \frac{14}{y} = \frac{n + m}{m n}$

$\Rightarrow y = \frac{14 m n}{m + n}$

এখন, বামপক্ষের প্রথম পদ:

$\frac{y}{7 m} = \frac{14 m n}{7 m (m + n)}$

$\Rightarrow \frac{y}{7 m} = \frac{2 n}{m + n}$

যোজন-বিয়োজন করে পাই,

$\frac{y + 7 m}{y - 7 m} = \frac{2 n + (m + n)}{2 n - (m + n)}$

$\Rightarrow \frac{y + 7 m}{y - 7 m} = \frac{2 n + m + n}{2 n - m - n}$

$\Rightarrow \frac{y + 7 m}{y - 7 m} = \frac{m + 3 n}{n - m} . . . . . . . . (i)$

আবার, বামপক্ষের দ্বিতীয় পদ:

$\frac{y}{7 n} = \frac{14 m n}{7 n (m + n)}$

$\Rightarrow \frac{y}{7 n} = \frac{2 m}{m + n}$

যোজন-বিয়োজন করে পাই,

$\frac{y + 7 n}{y - 7 n} = \frac{2 m + (m + n)}{2 m - (m + n)}$

$\Rightarrow \frac{y + 7 n}{y - 7 n} = \frac{2 m + m + n}{2 m - m - n}$

$\Rightarrow \frac{y + 7 n}{y - 7 n} = \frac{3 m + n}{m - n} . . . . . . . . (i i)$

(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,

বামপক্ষ = $\frac{y + 7 m}{y - 7 m} + \frac{y + 7 n}{y - 7 n}$

$= \frac{m + 3 n}{n - m} + \frac{3 m + n}{m - n}$

$= \frac{m + 3 n}{- (m - n)} + \frac{3 m + n}{m - n}$

$= - \frac{m + 3 n}{m - n} + \frac{3 m + n}{m - n}$

$= \frac{- (m + 3 n) + (3 m + n)}{m - n}$

$= \frac{- m - 3 n + 3 m + n}{m - n}$

$= \frac{2 m - 2 n}{m - n}$

$= \frac{2 (m - n)}{m - n}$

$= 2$

= ডানপক্ষ

সুতরাং, $\frac{y + 7 m}{y - 7 m} + \frac{y + 7 n}{y - 7 n} = 2$ (প্রমাণিত)

Satt AI

1 week ago

971

CQ: 118

বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত

অনুপাত ও সমানুপাতের ধারণা থাকা আমাদের জন্য খুবই গুরুত্বপূর্ণ। সপ্তম শ্রেণিতে পাটিগণিতীয় অনুপাত ও সমানুপাত বিশদভাবে আলোচনা করা হয়েছে। এ অধ্যায়ে আমরা বীজগণিতীয় অনুপাত ও সমানুপাত সম্পর্কে আলোচনা করবো। আমরা প্রতিনিয়তই নির্মাণ সামগ্রী ও বিভিন্ন প্রকার খাদ্য সামগ্রী তৈরিতে, ভোগ্যপণ্য উৎপাদনে, জমিতে সার প্রয়োগে, কোনোও কিছুর আকার-আয়তন দৃষ্টিনন্দন করতে এবং দৈনন্দিন কার্যক্রমের আরও অনেক ক্ষেত্রে অনুপাত ও সমানুপাতের ধারণা প্রয়োগ করে থাকি। ইহা ব্যবহার করে দৈনন্দিন জীবনে অনেক সমস্যার সমাধান করা যায়।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা ---

বীজগণিতীয় অনুপাত ও সমানুপাত ব্যাখ্যা করতে পারবে।
সমানুপাত সংক্রান্ত বিভিন্ন রূপান্তর বিধি প্রয়োগ করতে পারবে।
ধারাবাহিক অনুপাত বর্ণনা করতে পারবে।
বাস্তব সমস্যা সমাধানে অনুপাত, সমানুপাত ও ধারাবাহিক অনুপাত ব্যবহার করতে পারবে।

অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion)

অনুপাত (Ratio)

একই এককে সমজাতীয় দুইটি রাশির পরিমাণের একটি অপরটির কত গুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশটিকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে।

দুইটি রাশি p ও q এর অনুপাতকে $p : q = \frac{p}{q}$ লিখা হয়। p ও q রাশি দুইটি সমজাতীয় ও একই এককে প্রকাশিত হতে হবে। অনুপাতে p কে পূর্ব রাশি এবং q কে উত্তর রাশি বলা হয়।

অনেক সময় আনুমানিক পরিমাপ করতেও আমরা অনুপাত ব্যবহার করি। যেমন, সকাল ৪ টায় রাস্তায় যে সংখ্যক গাড়ী থাকে, 10 টায় তার দ্বিগুণ গাড়ী থাকে। এ ক্ষেত্রে অনুপাত নির্ণয়ে গাড়ীর প্রকৃত সংখ্যা জানার প্রয়োজন হয় না। আবার অনেক সময় আমরা বলে থাকি, তোমার ঘরের আয়তন আমার ঘরের আয়তনের তিনগুণ হবে। এখানেও ঘরের সঠিক আয়তন জানার প্রয়োজন হয় না। বাস্তব জীবনে এরকম অনেক ক্ষেত্রে আমরা অনুপাতের ধারণা ব্যবহার করে থাকি।

সমানুপাত (Proportion)

যদি চারটি রাশি এরূপ হয় যে, প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে ঐ চারটি রাশি নিয়ে একটি সমানুপাত উৎপন্ন হয়। a, b, c, এরূপ চারটি রাশি হলে আমরা লিখি a : b = c : d । সমানুপাতের চারটি রাশিই একজাতীয় হওয়ার প্রয়োজন হয় না। প্রত্যেক অনুপাতের রাশি দুইটি এক জাতীয় হলেই চলে।

উপরের চিত্রে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি যথাক্রমে a ও b এবং এদের প্রত্যেকের উচ্চতা h একক। ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফল A ও B বর্গএকক হলে আমরা লিখতে পারি

অর্থাৎ, ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত ভূমিদ্বয়ের অনুপাতের সমান।

ক্রমিক সমানুপাতী (Continued proportion)

a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী বলতে বোঝায় a : b=b : c l

a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হবে যদি এবং কেবল যদি $b^{2} = a c$ হয়। ক্রমিক সমানুপাতের ক্ষেত্রে সবগুলো রাশি এক জাতীয় হতে হবে। এক্ষেত্রে c কে a ও b এর তৃতীয় সমানুপাতী এবং b কে a ও c এর মধ্যসমানুপাতী বলা হয়।

উদাহরণ ১. A ও B নির্দিষ্ট পথ অতিক্রম করে যথাক্রমে $t_{1}$ এবং $t_{2}$ মিনিট। A ও B এর গড় গতিবেগের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, A ও B এর গড় গতিবেগ প্রতি মিনিটে যথাক্রমে 1 মিটার ও 2 মিটার। তাহলে, $t_{1}$ মিনিটে A অতিক্রম করে $u_{1} t_{1}$ মিটার এবং $t_{2}$ মিনিটে B অতিক্রম করে $u_{2} t_{2}$ মিটার।

প্রশ্নানুসারে,

এখানে গতিবেগের অনুপাত সময়ের ব্যস্ত অনুপাতের সমান।খ) x : y = 5 : 6 হলে 3x : 5y

কাজ :

ক) 3.5 : 5.6 কে 1 : a এবং b : 1 আকারে প্রকাশ কর।

খ) x : y = 5 : 6 হলে 3x : 5y = কত?

অনুপাতের রূপান্তর

এখানে অনুপাতের রাশিগুলো ধনাত্মক সংখ্যা।

১. a : b = c : d হলে, b : a = d : c [ব্যস্তকরণ (Invertendo)]

প্রমাণ : দেওয়া আছে,

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

বা, ad = bc [উভয়পক্ষকে bd দ্বারা গুণ করে ]

বা, $\frac{a d}{a c} = \frac{b c}{a c}$ [উভয় পক্ষকে ac দ্বারা ভাগ করে যেখানে a, c এর কোনটিই শূন্য নয়]

বা, $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$

অর্থাৎ, b : a = d : c

২. a : b = c : d হলে, a : c = b : d [একান্তরকরণ (Alternendo)]

প্রমাণ : দেওয়া আছে,

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

বা, ad = bc [উভয়পক্ষকে bd দ্বারা গুণ করে]

বা, $\frac{a d}{a c} = \frac{b c}{a c}$ [উভয় পক্ষকে cd দ্বারা ভাগ করে যেখানে c, d এর কোনটিই শূন্য নয়]

বা, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

অর্থাৎ, a : c = b : d

কাজ :

ক) মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৪ বছর। তাদের বয়সের অনুপাত t বছর পূর্বে ছিল r : p । x বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

খ) একটি ল্যাম্পপোস্ট থেকে p মিটার দূরে দাঁড়ানো ” মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট এক ব্যক্তির ছায়ার দৈর্ঘ্য ৪ মিটার। ল্যাম্পপোস্টের উচ্চতা p, r ও s এর মাধ্যমে নির্ণয় কর।

উদাহরণ ২. পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত 7 : 2 এবং 5 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৪ : 3 হবে। তাদের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান : মনে করি, পিতার বর্তমান বয়স a বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স b বছর।

প্রশ্নের প্রথম ও দ্বিতীয় শর্তানুসারে যথাক্রমে পাই,

$\frac{1}{b} = \frac{7}{2} . . . (1)$

$\frac{a + 5}{b + 5} = \frac{8}{3} . . . (3)$

সমীকরণ (1) থেকে পাই,

$a = \frac{7 b}{2} . . . (3)$

সমীকরণ (2) থেকে পাই,

3 (a + 5 ) = 8 (b + 5)

বা, 3a + 15 = 8b + 40

বা, 3a - 8b = 40 – 15

বা, $3 \frac{7 b}{2} - 8 b = 25$ [(3) ব্যবহার করে]

বা, $\frac{21 b - 16 b}{2} = 25$

বা, 5b = 50

$∴$ b = 10

সমীকরণ (3) এ b = 10 বসিয়ে পাই, $a = \frac{7 \times 10}{2} = 35$

$∴$ পিতার বর্তমান বয়স 35 বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স 10 বছর।

উদাহরণ ৩. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ কর যে, ${(\frac{a + b}{b - c})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{b^{2} + c^{2}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, a : b = b : c

উদাহরণ ৪. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ হলে, দেখাও যে, $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} = \frac{a c + b d}{a c - b d}$

সমাধান :

সমাধান : মনে করি, ax = by = cz = k

সমাধান :

ধারাবাহিক অনুপাত (Continued Ratio)

মনে কর, রনির আয় 1000 টাকা, সনির আয় 1500 টাকা এবং সামির আয় 2500 টাকা। এখানে, রনির আয় : সনির আয় 1000 : 1500 = 2 : 3; সনির আয় : সামির আয় 1500: 2500 = 3:51 = সুতরাং রনির আয় : সনির আয় : সামির আয় = 2 : 3 : 5 ।

দুইটি অনুপাত যদি ক : খ এবং খ : গ আকারের হয়, তাহলে এদেরকে সাধারণত ক : খ : গ আকারে লেখা যায়। একে ধারবাহিক অনুপাত বলা হয়। যেকোনো দুই বা ততোধিক অনুপাতকে এই আকারে প্রকাশ করা যায়। এখানে লক্ষণীয় যে, দুইটি অনুপাতকে ক : খ : গ আকারে প্রকাশ করতে হলে প্রথম অনুপাতটির উত্তর রাশি, দ্বিতীয় অনুপাতটির পূর্ব রাশির সমান হতে হবে। যেমন, 2 : 3 এবং 4 : 3 অনুপাত দুইটি ক : খ : গ আকারে প্রকাশ করতে হলে প্রথম অনুপাতটির উত্তর রাশিটিকে দ্বিতীয় অনুপাতটির পূর্ব রাশির সমান করতে হবে। অর্থাৎ ঐ দুইটি রাশিকে এদের ল.সা.গু. এর সমান করতে হবে।

এখানে, 3, 4 এর ল.সা.গু. 12

অতএব 2 : 3 এবং 4 : 3 অনুপাত দুইটি ক : খ : গ আকারে হবে 8 : 12 : 9

লক্ষ করি যে, উপরের উদাহরণে সামির আয় যদি 1125 টাকা হয়, তাহলে তাদের আয়ের অনুপাতও 8 : 12: 9 আকারে লেখা যাবে।

উদাহরণ ১২. ক, খ ও গ এক জাতীয় রাশি এবং ক : খ = 3 : 4, খ : গ = 6 : 7 হলে, ক : খ : গ কত?

উদাহরণ ১৩. একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5, কোণ তিনটি ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।

সমাধান : মনে করি, প্রদত্ত অনুপাত অনুসারে কোণ তিনটি যথাক্রমে 3x, 4x এবং 5x। ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° ।

প্রশ্নানুসারে, 3x + 4x + 5x = 180° বা, 12x = 180° বা, x = 15°

অতএব, কোণ তিনটি হল,

3x = 3 x 15° : 45°

4x = 4 × 15° = 60°

এবং 5x = 5 x 15° = 75°

উদাহরণ ১৪. যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান : মনে করি, বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার। সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $a^{2}$ বর্গমিটার। 10% বৃদ্ধি পেলে প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য হয় (a + a এর 10% ) মিটার বা 1.10a মিটার।

কাজ :

ক) তোমার শ্রেণিতে 35 জন ছাত্র ও 25 জন ছাত্রী আছে। বনভোজনে খিচুরি খাওয়ার জন্য প্রত্যেক ছাত্র ও ছাত্রীর প্রদত্ত চাল ও ডালের অনুপাত যথাক্রমে 3 : 1 এবং 5 : 2 হলে, মোট চাল ও মোট ডালের অনুপাত বের কর।

খ) একজন কৃষকের জমিতে উৎপাদিত মসুর, সরিষা ও ধানের পরিমান যথাক্রমে 75 কে.জি. 100 কে.জি. এবং 525 কে.জি. । ফসলগুলো যথাক্রমে 100, 120 ও 30 টাকা করে বিক্রয় করলো। সব ফসল বিক্রি করার পর ঐগুলো হতে প্রাপ্ত আয়ের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমানুপাতিক ভাগ

কোনো রাশিকে নির্দিষ্ট অনুপাতে ভাগ করাকে সমানুপাতিক ভাগ বলা হয়। S কে a : b : c : d অনুপাতে ভাগ করতে হলে, S কে মোট a + b + c + d ভাগ করে যথাক্রমে a, b, c ও d ভাগ নিতে হয়। অতএব,

এভাবে যেকোনো রাশিকে যেকোনো নির্দিষ্ট অনুপাতে ভাগ করা যায়।

উদাহরণ ১৫. একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল 12 হেক্টর এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 500 মিটার। ঐ জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সঙ্গে অপর একটি জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে 3 : 4 এবং 2 : 3।

ক) প্রদত্ত আয়তাকার জমিটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

খ) অপর জমিটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ) প্রদত্ত জমিটির প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) আমরা জানি, 1 হেক্টর = 10,000 বর্গমিটার

$∴$ 12 হেক্টর = 12 x 10,000 120000 বর্গমিটার

খ) দেওয়া আছে, প্রদত্ত জমির দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের সঙ্গে অপর একটি জমির দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে 3 : 4 এবং 2 : 3।

মনে করি, প্রদত্ত জমির দৈর্ঘ্য 3x মিটার এবং প্রস্থ 2y মিটার।

সুতরাং, অপর জমির দৈর্ঘ্য 4x মিটার এবং প্রস্থ 3y মিটার।

$∴$ প্রদত্ত জমির ক্ষেত্রফল = 3x . 2y = 6xy বর্গমিটার

এবং অপর জমির ক্ষেত্রফল = 4x . 3y = 12xy বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, 6xy = 120000 বা, xy = 20000

$∴$ অপর জমির ক্ষেত্রফল = 12xy = 12 × 20000 = 240000 বর্গমিটার

গ) মনে করি, প্রদত্ত জমির দৈর্ঘ্য 3x মিটার এবং প্রস্থ 2y মিটার।

Related Question

View All

(গ)

প্রমাণ কর যে,

D l o g \frac{AC}{B^{2}} - A l o g \frac{C^{2}}{A^{2} B} + B l o g \frac{B^{4}}{A^{4} C} = - l o g 2

এসএসসি গণিত কুমিল্লা বোর্ড - 2023 লগারিদম

649

Add Explanation

649

(গ)

p + q = a, p - q = b

হলে প্রমাণ কর যে,

\frac{1}{16} {(a^{2} - b^{2})}^{2} = ab

এসএসসি গণিত কুমিল্লা বোর্ড - 2023 বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি ও প্রয়োগ

764

Add Explanation

764

(খ)

\frac{3}{2} (x^{3} + \frac{1}{x^{3}})

এর মান নির্ণয় কর।

এসএসসি গণিত বরিশাল বোর্ড - 2023 বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি ও প্রয়োগ

663

উত্তরঃ

প্রদত্ত রাশি থেকে পাই,

$x^8 - 2x^4 + 1 = 0$

বা, $(x^4)^2 - 2 \cdot x^4 \cdot 1 + 1^2 = 0$

বা, $(x^4 - 1)^2 = 0$

উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে পাই,

$x^4 - 1 = 0$

বা, $x^4 = 1$

যেহেতু, $x > 0$

সুতরাং, $x = 1$

এখন, $\frac{3}{2}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)$ এর মান নির্ণয় করি:

$\frac{3}{2}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)$

$= \frac{3}{2}\left(1^3+\frac{1}{1^3}\right)$

$= \frac{3}{2}\left(1+1\right)$

$= \frac{3}{2}\left(2\right)$

$= 3$

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধান করার জন্য প্রথমে উদ্দীপকে দেওয়া সমীকরণটিকে $(a-b)^2$ এর সূত্রে ফেলে $x$ এর মান নির্ণয় করা হয়েছে। এরপর প্রাপ্ত $x$ এর নির্দিষ্ট ধনাত্মক মানটি (কারণ $x > 0$) নির্ণেয় রাশিতে প্রতিস্থাপন করে সরলীকরণ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে চূড়ান্ত মান বের করা হয়েছে।

Satt AI

1 week ago

663

(গ)

A=√7, B =√35 হলে প্রমাণ কর যে, 1/3 (p3q+ pq3) = 1.

এসএসসি গণিত বরিশাল বোর্ড - 2023 বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি ও প্রয়োগ

1.4k

উত্তরঃ

উদ্দীপক থেকে আমরা পাই $A=p+q$ এবং $B=p^2-q^2$। প্রশ্নে প্রদত্ত মানানুসারে, $A=\sqrt{7}$ এবং $B=\sqrt{35}$ হলে $\frac{1}{3} (p^3q + pq^3) = 1$ প্রমাণ করতে হবে। উদ্দীপকের এই শর্তাবলি ব্যবহার করে আমরা $p$ এবং $q$ এর সম্পর্কগুলো যাচাই করব।

প্রথমে, উদ্দীপকের শর্তানুযায়ী $A$ ও $B$ এর সংজ্ঞাকে প্রদত্ত মানের সাথে মিলিয়ে প্রয়োজনীয় মান নির্ণয় করি। আমরা জানি, $B=p^2-q^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে $B=(p+q)(p-q)$ পাওয়া যায়। প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই, $\sqrt{35} = \sqrt{7}(p-q)$। সুতরাং, $p-q = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{7}} = \sqrt{5}$। এখন, $p+q = \sqrt{7}$ এবং $p-q = \sqrt{5}$ ব্যবহার করে $pq$ এবং $p^2+q^2$ এর মান নির্ণয় করি: $pq = \frac{(p+q)^2 - (p-q)^2}{4} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ এবং $p^2+q^2 = (p+q)^2 - 2pq = (\sqrt{7})^2 - 2 \times \frac{1}{2} = 7 - 1 = 6$।

এখন, প্রশ্নানুসারে প্রদত্ত রাশিটির বামপক্ষ নিয়ে তাতে নির্ণীত মানগুলো বসিয়ে প্রমাণ করি: বামপক্ষ $= \frac{1}{3} (p^3q + pq^3)$ $= \frac{1}{3} pq(p^2 + q^2)$ উপরে নির্ণীত $pq = \frac{1}{2}$ এবং $p^2+q^2 = 6$ এই মানগুলো বসিয়ে পাই: $= \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right) \times (6)$ $= \frac{1}{3} \times 3$ $= 1$ সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

Satt AI

1 week ago

1.4k

(খ)

p2+ p⁴= 1 হলে প্রমাণ কর যে, ${(\frac{p}{q})}^{4} - {(\frac{p}{q})}^{2} = 1$

এসএসসি গণিত বরিশাল বোর্ড - 2023 বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি ও প্রয়োগ

953

Add Explanation

953

(গ)

p - q = √5 q হলে প্রমাণ কর যে, 4q + p = √5 p

এসএসসি গণিত বরিশাল বোর্ড - 2023 বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি ও প্রয়োগ

574

Add Explanation

574

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

P, q , r ক্রমিক সমানুপাতী এবং 14y=1m + 1n.

অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion)

ধারাবাহিক অনুপাত (Continued Ratio)

Related Question

Related Question

Promotion

P, q , r ক্রমিক সমানুপাতী এবং $\frac{14}{y} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n} .$