প্রমাণ কর যে, AB + AC > 2AR

উদ্দীপকে প্রদত্ত Δ ABC-এ P, Q, R যথাক্রমে AB, AC ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু। AR হলো Δ ABC এর BC বাহুর উপর অঙ্কিত একটি মধ্যমা। এই প্রশ্নটিতে ত্রিভুজের মধ্যমা সংক্রান্ত একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য প্রমাণ করতে বলা হয়েছে, যেখানে ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমষ্টি তার মধ্যমার দ্বিগুণ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে। এই উপপাদ্যটি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির একটি মৌলিক অংশ এবং ত্রিভুজের অসমতার নীতি মেনে চলে।

প্রদত্ত Δ ABC-এ, R হলো BC বাহুর মধ্যবিন্দু, ফলে AR একটি মধ্যমা। AB + AC > 2AR প্রমাণ করার জন্য, আমরা AR মধ্যমাকে D বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন AR = RD হয়। এরপর B, D এবং C, D যোগ করি। এই অঙ্কনের মাধ্যমে আমরা দুটি ত্রিভুজকে সর্বসম প্রমাণ করে পরবর্তীতে বৃহত্তর ত্রিভুজে ত্রিভুজ অসমতা সূত্র প্রয়োগের সুযোগ তৈরি করি।

প্রমাণ:
Δ ABR ও Δ DCR এর মধ্যে,

BR = RC (যেহেতু R, BC এর মধ্যবিন্দু)
AR = RD (অঙ্কন অনুসারে)
∠ARB = ∠DRC (বিপ্রতীপ কোণ)

সুতরাং, Δ ABR \(\cong\) Δ DCR (বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা অনুসারে)।
অতএব, AB = DC (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু)।

এখন Δ ADC বিবেচনা করি। আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
AC + DC > AD

আমরা জানি DC = AB (প্রমাণিত) এবং AD = AR + RD।
যেহেতু AR = RD (অঙ্কন অনুসারে), অতএব AD = AR + AR = 2AR।

উপরিউক্ত অসমতায় DC ও AD এর মান বসিয়ে পাই,
AC + AB > 2AR

সুতরাং, AB + AC > 2AR (প্রমাণিত)।