প্রমাণ কর যে, p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী। 

উদ্দীপকের (ii) নং সমীকরণটি ব্যবহার করে আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী। তিনটি রাশি p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী হওয়ার শর্ত হলো \(q^2 = pr\) অথবা \(\frac{p}{q} = \frac{q}{r}\) প্রমাণ করা। উদ্দীপক অনুসারে প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\[ \frac{p^2+q^2}{q^2+r^2} = \frac{(p-q)^2}{(q-r)^2} \]

প্রথমে ডানপাশের বর্গ রাশিগুলোকে বিস্তারিত করা যাক: \( (p-q)^2 = p^2-2pq+q^2 \) এবং \( (q-r)^2 = q^2-2qr+r^2 \)। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\[ \frac{p^2+q^2}{q^2+r^2} = \frac{p^2-2pq+q^2}{q^2-2qr+r^2} \]

এখন আর গুণন (cross-multiplication) করে পাই:

\[ (p^2+q^2)(q^2-2qr+r^2) = (q^2+r^2)(p^2-2pq+q^2) \]

উভয় পক্ষকে বিস্তারিত করে পাই:

বামপক্ষ: \( p^2q^2 - 2p^2qr + p^2r^2 + q^4 - 2q^3r + q^2r^2 \)

ডানপক্ষ: \( p^2q^2 - 2pq^3 + q^4 + p^2r^2 - 2pqr^2 + q^2r^2 \)

উভয় পক্ষের বিস্তারিত রাশিগুলো থেকে সাধারণ পদ \(p^2q^2\), \(q^4\), \(p^2r^2\) এবং \(q^2r^2\) বাদ দিয়ে পাই:

\[ - 2p^2qr - 2q^3r = - 2pq^3 - 2pqr^2 \]

এখন উভয় পক্ষকে \(-2q\) দ্বারা ভাগ করে (যেখানে \(q \neq 0\)) পাই:

\[ p^2r + q^2r = pq^2 + pr^2 \]

পদগুলো পুনর্বিন্যাস করে পাই:

\[ p^2r - pr^2 = pq^2 - q^2r \]

উভয় পক্ষ থেকে সাধারণ গুণনীয়ক নিয়ে পাই:

\[ pr(p - r) = q^2(p - r) \]

এই সমীকরণ থেকে আমরা দুটি পরিস্থিতির বিবেচনা করতে পারি। প্রথমত, যদি \(p - r \neq 0\) হয়, তাহলে উভয় পক্ষকে \( (p - r) \) দ্বারা ভাগ করে আমরা পাই \(pr = q^2\)। দ্বিতীয়ত, যদি \(p - r = 0\) হয়, অর্থাৎ \(p = r\), তাহলে সমীকরণটি \(pr(0) = q^2(0)\) হয় যা \(0=0\) একটি সত্য বিবৃতি। এই ক্ষেত্রে, \(p=r\) হলে, \(q^2 = pr\) হওয়ার জন্য \(q^2 = p^2\) অর্থাৎ \(q = \pm p\) হতে পারে। যেমন, \(p, p, p\) বা \(p, -p, p\) উভয়ই ক্রমিক সমানুপাতী। সুতরাং, উভয় ক্ষেত্রেই \(q^2 = pr\) সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত হয়। যেহেতু \(q^2 = pr\) প্রমাণিত হয়েছে, তাই p, q, r তিনটি রাশি ক্রমিক সমানুপাতী। (প্রমাণিত)