Academy
এসএসসি
উচ্চতর গণিত
প্রমাণ কর যে, P…

△ PQR-এর মধ্যমা PA, QB এবং RC পরস্পরকে বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ কর যে, $P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2} = 3 (O P^{2} + O Q^{2} + O R^{2})$

Created: 8 months ago | Updated: 8 months ago

Updated: 8 months ago

উত্তরঃ

মনে করি, $∆$ PQR এর QR, RP ও PQ বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b ও c। QR, RP, PQ বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা PA. QB ও RC এর দৈর্ঘা যথাক্রমে d, e ও f ।

প্রমাণ করতে হবে যে, $P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2} = 3 (O P^{2} + O Q^{2} + O R^{2})$

প্রমাণ: $∆$ PQR এর PA একটি মধ্যমা।

$P Q^{2} + P R^{2} = 2 (P A^{2} + Q A^{2})$ [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে।]

$c 2 + b 2 = 2 d^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2} b^{2} + c^{2} = 2 d^{2} + \frac{a^{2}}{2} 4 d^{2} + a^{2} = 2 (b^{2} + c^{2}) d^{2} = \frac{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}{4} . . . . . . . . . . . . . (i)$

$c^{2} = \frac{2 (c^{2} + a^{2}) - b^{2}}{4} . . . . . . . . . . . (i i) f^{2} = \frac{2 (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}{4} . . . . . . . . . . . (i i i)$

(i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই,

$d^{2} + c^{2} + f^{2} = \frac{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}{4} + \frac{2 (c^{2} + a^{2}) - b^{2}}{4} + \frac{2 (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}{4}$ $d^{2} + c^{2} + f^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 4 (d^{2} + c^{2} + f^{2})$

$3 (P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2}) = 4 P A^{2} + 4 Q B^{2} + 4 R C^{2}$

$3 (P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2}) = (2 P A)^{2} + (2 Q B)^{2} + (2 R C)^{2} . . . . . . . . . (i v)$ এখানে, $∆$ PQR এর ভরকেন্দ্র ও মধ্যমাত্রয়কে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে

$\frac{O P}{O A} = \frac{2}{1}$

$\frac{O A + O P}{O P} = \frac{1 + 2}{2}$

$\frac{P A}{O P} = \frac{3}{2}$

$2 P A = 3 O P$

অনুরুপভাবে, $2 Q B = 30 Q, 2 R C = 3 O R$

সমীকরণ (iv) নং হতে পাই,

$3 (P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2}) = (30 P)^{2} + (3 O Q)^{2} + (3 O R)^{2}$

$= 9 O P^{2} + 9 O Q^{2} + 90 R^{2} = 9 (O P^{2} + O Q^{2} + O R^{2})$

$P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2} = 3 (O P^{2} + O Q^{2} + O R^{2}) .$ (প্রমাণিত)

SATT Team

8 months ago

MCQ: 7 CQ: 54

Practice

Related Question

View All

(১)

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 5 সে.মি., লম্ব 12 সে.মি. হলে, অতিভুজ = কত?

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

175

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, ভূমি = 5 সে.মি., লম্ব = 12 সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (লম্ব)² +(ভূমি)² =( অতিভূজ)²

অতিভূজ=

$\sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{169} = 13$

নির্ণেয় অতিভুজ 13 সে.মি.।

SATT Team

8 months ago

175

(২)

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 3 সে.মি., অতিভুজ 5 সে.মি. হলে, লম্ব= ?

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

171

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, ভূমি= 3 সে.মি., অতিভুজ = 5 সে.মি.

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

$\sqrt{5^{2}} - 3^{2} = \sqrt{16} = 4 = 4 c m$
নির্ণেয় লম্ব 4 সে.মি.।

SATT Team

8 months ago

171

(৩)

ABC সমকোণী ত্রিভুজে $∠$ B = 90 $°$ AB = 12 সে.মি. এবং AC= 13 সে.মি. হলে, BC এর মান কত?

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

160

উত্তরঃ

এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজে $∠$ B = 90 $°$ . AB = 12 সে.মি. এবং AC = 13 সে.মি.।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$

$B C^{2} = A C^{2} - A B^{2} = (13)^{2} - (12)^{2} = 169 - 144 = 25 B C = \sqrt{25} = 5$

নির্ণেয় BC এর মান 5 সে.মি.।

SATT Team

8 months ago

160

(৪)

একটি রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ চিত্র এঁকে দেখাও।

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

146

উত্তরঃ

রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ: কোনো রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় থেকে কোনো রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করা হলে উক্ত লম্বদ্বয়ের পাদবিন্দুর সংযোগ রেখাংশই বা মধ্যবর্তী দূরত্বই হলো ঐ রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ।

এখানে, AB রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় A ও B। এখন A ও B বিন্দু থেকে XY রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে AA' ও BB'। AA' লম্বের পাদবিন্দু A' এবং BB' লম্বের পাদবিন্দু B'। এই A'B' রেখাংশই হচ্ছে XY রেখার উপর AB রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ।

SATT Team

8 months ago

146

(৫)

চিত্রসহ বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপের সংজ্ঞা দাও।

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

315

উত্তরঃ

বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখার ওপর কোনো বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ বলতে সেই বিন্দু থেকে উক্ত নির্দিষ্ট রেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুকে বুঝায়।

মনে করি, XY একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা এবং P যেকোনো-বিন্দু। P বিন্দু থেকে XY রেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব PP' এবং এই লম্বের পাদবিন্দু P'। সুতরাং P' বিন্দু XY রেখার ওপর P বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ।

SATT Team

8 months ago

315

(৬)

$△$ PQR এ PQ = PR এবং QR = 7 সে.মি. হলে, QR বাহুতে PQ এর লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

এসএসসি উচ্চতর গণিত লম্ব অভিক্ষেপ সংক্রান্ত উপপাদ্য

112

উত্তরঃ

এখানে, $∆$ PQR এ PQ = PR এবং QR = 7 সে.মি.।

PQ এর P বিন্দু থেকে QR রেখার ওপর PT লম্ব আঁকি যা QR কে T বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, QR বাহুতে PQ এর লম্ব অভিক্ষেপ QT

আবার,

$Q T = \frac{1}{2} Q R = \frac{1}{2} \times 7 = 3.5$

নির্ণেয় লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য 3.5 সে.মি.।

SATT Team

8 months ago

112

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Notification

প্রমাণ কর যে, $P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2} = 3 (O P^{2} + O Q^{2} + O R^{2})$

Related Question

Related Question

Promotion

Notification

প্রমাণ কর যে, PQ2+QR2+RP2=3(OP2+OQ2+OR2)

Related Question

Related Question

Promotion

প্রমাণ কর যে, $P Q^{2} + Q R^{2} + R P^{2} = 3 (O P^{2} + O Q^{2} + O R^{2})$