△ PQR-এর মধ্যমা PA, QB এবং RC পরস্পরকে বিন্দুতে ছেদ করেছে।

কমনে করি, তিনটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে a = 2 সে.মি., b = 3 সে.মি. ও 4 সে.মি.। এমন তিনটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যারা পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে।

যেকোনো রেখাংশ BX থেকে BC (a+b) কেটে নিই। BC বিন্দুকে কেন্দ্র করে (a+c) ও (b+c) এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে।

A, B ও A, C যোগ করি। এখন A, B ও C কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে c. a ও ৮ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে তিনটি বৃত্ত অঙ্কন করি। যারা পরস্পর P, Q ও R বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে।

তাহলে, A, B ও C কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত তিনটিই উদ্দিষ্ট বৃত্ত।

মনে করি, $∆$ PQR এর PA মধ্যমা QR কে A বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, $P{Q}^2+P{R}^2=2(P{A}^2+Q{A}^2)$

অঙ্কন: QR বাহুর উপর PT লম্ব আঁকি।

প্রমাণ: $∆$PQA এর ∠PAQ স্থূলকোণ এবং QA রেখার বর্ধিতাংশের ওপর PA রেখার লম্ব অভিক্ষেপ AT.

স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে আমরা পাই,

$P{Q}^2=P{A}^2+Q{A}^2+2QA. AT................\left(1\right)$

এখানে, $∆$PRA এর ∠PAR সূক্ষ্মকোণ এবং AR রেখার উপর PA রেখার লম্ব অভিক্ষেপ AT.

সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই,

$P{R}^2=P{A}^2+A{R}^2-2AR. AT............... \left(2\right)$

এখন সমীকরণ (1) ও (2) যোগ করে পাই,

$$\begin{gathered} P{Q}^2+P{R}^2=2P{A}^2+Q{A}^2+A{R}^2+2QA.AT -2AR.AT \\ =2P{A}^2+Q{A}^2+Q{A}^2+2QA.AT-2QA.AT \\ = 2P{A}^2+ 2Q{A}^2 \\ P{Q}^2+P{R}^2=2(P{A}^2+Q{A}^2) \end{gathered}$$

(প্রমাণিত)

মনে করি, $∆$PQR এর QR, RP ও PQ বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b ও c। QR, RP, PQ বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা PA. QB ও RC এর দৈর্ঘা যথাক্রমে d, e ও f ।

প্রমাণ করতে হবে যে, $P{Q}^2+Q{R}^2+R{P}^2=3(O{P}^2+O{Q}^2+O{R}^2)$

প্রমাণ: $∆$PQR এর PA একটি মধ্যমা।

$P{Q}^2+P{R}^2=2(P{A}^2+Q{A}^2)$ [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে।]

$$\begin{gathered} c2+b2=2d^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2 \\ {b}^2+c^2=2d^2+\frac{a^2}{2} \\ 4d^2+a^2=2(b^2+c^2) \\ {d}^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}............. \left(i\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} c^2=\frac{2(c^2+a^2)-b^2}{4}...........\left(ii\right) \\ {f}^2=\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}...........\left(iii\right) \end{gathered}$$

(i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই,

$d^2+c^2+f^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}+\frac{2(c^2+a^2)-b^2}{4}+\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}$$d^2+c^2+f^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$

$3(a^2+b^2+c^2)=4(d^2+c^2+f^2)$

$3(P{Q}^2+Q{R}^2+R{P}^2)=4P{A}^2+4Q{B}^2+4R{C}^2$

$3(P{Q}^2+Q{R}^2+R{P}^2)=(2PA{)}^2+(2QB{)}^2+(2RC{)}^2.........\left(iv\right)$এখানে, $∆$PQR এর ভরকেন্দ্র ও মধ্যমাত্রয়কে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে

$\frac{OP}{OA}= \frac{2}{1}$

$\frac{OA+OP}{OP}= \frac{1+2}{2}$

$\frac{PA}{OP}=\frac{3}{2}$

$2PA = 3OP$

অনুরুপভাবে, $2QB= 30Q, 2RC= 3OR$

সমীকরণ (iv) নং হতে পাই,

$3(P{Q}^2+Q{R}^2+R{P}^2)=(30P{)}^2+(3OQ{)}^2+(3OR{)}^2$

$$\begin{gathered} =9 O{P}^2+9 O{Q}^2+90R^2 \\ = 9(O{P}^2+O{Q}^2+O{R}^2) \end{gathered}$$

$P{Q}^2+Q{R}^2+R{P}^2=3(O{P}^2+O{Q}^2+O{R}^2).$ (প্রমাণিত)