প্রমাণ কর যে, $\frac{△PQR}{△{\rm M}{\rm N}{\rm O}}=\frac{Q{R}^2}{{\rm N}{{\rm O}}^2}$

প্রমাণ:

দেওয়া আছে: ΔABC-এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q।

প্রমাণ করতে হবে যে: PQ || BC এবং PQ = \(\frac{1}{2}\) BC।

অঙ্কন: PQ-কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন PQ = QD হয়। D, C যোগ করি।

প্রমাণ:

১. ΔAPQ এবং ΔCDQ-এর মধ্যে,

    
• AQ = QC (যেহেতু Q, AC-এর মধ্যবিন্দু)
    
• ∠AQ P = ∠CQ D (বিপ্রতীপ কোণ)
    
• PQ = QD (অঙ্কন অনুসারে)
    
• সুতরাং, ΔAPQ ≅ ΔCDQ (সর্বসমতার SAS উপপাদ্য অনুসারে)

২. সর্বসমতার শর্তানুসারে,

    
• AP = CD
    
• এবং ∠PAQ = ∠QCD

৩. যেহেতু P, AB-এর মধ্যবিন্দু, সুতরাং AP = PB।

আমরা পেয়েছি AP = CD, অতএব PB = CD।

৪. ∠PAQ এবং ∠QCD একান্তর কোণ এবং এরা পরস্পর সমান।

সুতরাং, AB || DC।

অতএব, PB || DC।

৫. এখন, চতুর্ভুজ BCPD-এর মধ্যে,

    
• PB || DC (৪ নং ধাপ হতে)
    
• PB = CD (৩ নং ধাপ হতে)

যেহেতু চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল, তাই BCPD একটি সামান্তরিক।

৬. সামান্তরিক BCPD-এর বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল ও সমান।

    
• অতএব, PD || BC
    
• এবং PD = BC

৭. যেহেতু PD || BC এবং PQ, PD-এর একটি অংশ,

সুতরাং, PQ || BC (প্রমাণিত)।

৮. আবার, PD = BC এবং অঙ্কন অনুসারে PQ = QD।

অতএব, PD = PQ + QD = PQ + PQ = 2PQ।

সুতরাং, 2PQ = BC।

অর্থাৎ, PQ = \(\frac{1}{2}\) BC (প্রমাণিত)।

সমান সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট দুইটি বহুভুজের একটির কোণগুলো যদি ধারাবাহিকভাবে অপরটির কোণগুলোর সমান হয় তবে বহুভুজ দুইটিকে সদৃশকোণী বলা হয়।

চিত্রে, ABCD আয়ত ও EFGH বর্গ সদৃশকোণী। কারণ উভয়ের বাহু 4টি এবং কোণগুলো সমান অর্থাৎ সমকোণ।