Academy
এসএসসি
গণিত
△PQR-এর ∠P এর স…

△PQR-এর ∠P এর সমদ্বিখন্ডক QR বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে এবং △PQR ও △MNO সদৃশকোণী।

Created: 7 months ago | Updated: 7 months ago

Updated: 7 months ago

(ক)

একটি নির্দিষ্ট রেখাংশকে 2 : 3 অনুপাতে বিভক্ত কর।

উত্তরঃ

AB রেখাংশকে D বিন্দুতে 2 : 3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করা হলো।

Md Zahid Hasan

7 months ago

(খ)

△PQR-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, QD : DR = QP : PR.

উত্তরঃ

মনে করি, △PQR এর ∠P এর সমদ্বিখন্ডক PD, QR কে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, QD : DR = QP : PR

অঙ্কন : DP রেখাংশের সমান্তরাল করে R বিন্দু দিয়ে RT রেখাংশ অঙ্কন করি, যেন তা বর্ধিত QP কে T বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ: ধাপ ১. যেহেতু DP || RT

এবং QR ও PR তাদের ছেদক [অঙ্কনানুসারে]

∠PRT = ∠RPD [একান্তর কোণ]

এবং ∠PTR = ∠QPD [অনুরূপ কোণ]

ধাপ ২. কিন্তু ∠QPD = ∠RPD [স্বীকার]

$∴$ ∠PTR = ∠PRT

$∴$ PR = PT

ধাপ ৩. আবার যেহেতু DP || RT

$∴$ $\frac{Q S}{S R} = \frac{Q P}{P T}$

কিন্তু PT = PR [ধাপ (২) হতে]

$∴$ $\frac{Q D}{D R} = \frac{Q P}{P R}$

অর্থাৎ, QD : DR = QP : PR. (প্রমাণিত)

Md Zahid Hasan

7 months ago

(গ)

প্রমাণ কর যে, $\frac{△ P Q R}{△ Μ Ν Ο} = \frac{Q R^{2}}{Ν Ο^{2}}$

উত্তরঃ

মনে করি, PQR ও MNO সদৃশকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু QR ও NO।

প্রমাণ করতে হবে যে, $\frac{△ P Q R}{△ Μ Ν Ο} = \frac{Q R^{2}}{Ν Ο^{2}}$

অঙ্কন: QR ও NO এর উপর যথাক্রমে PG ও MH লম্ব অঙ্কন করি।

প্রমাণ : ধাপ ১. $△ P Q R = \frac{1}{2} Q R \times P G$ [ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ $\times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা ]

এবং $△ M N O = \frac{1}{2} N O \times M H$ [ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ $\times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা]

$\frac{△ P Q R}{△ M N O} = \frac{\frac{1}{2} \times Q R \times P G}{\frac{1}{2} \times N O \times M H}$

$= \frac{Q R \times P G}{N O \times M H}$

$= \frac{Q R}{N O} \times \frac{P G}{M H}$

ধাপ ২. PQG ও MNH ত্রিভুজদ্বয়ে

∠Q = ∠N [△PQR ও △MNO সদৃশকোণী]

∠PGQ = ∠MHN [প্রত্যেকে। সমকোণ]

$∴$ ∠QPG = ∠NMH

$∴$ △PQG $\equiv$ △MNH সদৃশকোণী, তাই সদৃশ

অর্থাৎ $\frac{P G}{M H} = \frac{P Q}{M N} = \frac{Q R}{N O}$ [△PQR ও △MNO সদৃশ]

$\frac{△ P Q R}{△ M N O} = \frac{Q R}{N O} \times \frac{Q R}{N O}$ [ধাপ (১) হতে]

অতএব, $\frac{△ P Q R}{△ Μ Ν Ο} = \frac{Q R^{2}}{Ν Ο^{2}}$ (প্রমানিত)

Md Zahid Hasan

7 months ago

CQ: 52

Notification

△PQR-এর ∠P এর সমদ্বিখন্ডক QR বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে এবং △PQR ও △MNO সদৃশকোণী।

Related Question

Related Question

Promotion