ভূপৃষ্ঠ থেকে 40 m উচ্চতায় এবং বিমান থেকে পাথর  ফেলে দেওয়ার 5 s পর মোট শক্তির কীরূপ পরিবর্তন হবে? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে দেখাও

একটি বস্তুর উপর কেবলমাত্র সংরক্ষণশীল বল (যেমন অভিকর্ষ বল) ক্রিয়াশীল থাকলে, তার গতিশক্তি ও বিভবশক্তির সমষ্টি অর্থাৎ মোট যান্ত্রিক শক্তি সর্বদা ধ্রুবক থাকে। একে শক্তির সংরক্ষণশীলতার নীতি বলে। প্রদত্ত উদ্দীপকে, একটি পাথরকে বিমান থেকে ফেলে দেওয়া হয়েছে, এবং এখানে বাতাসের বাধা উপেক্ষণীয় ধরা হয়েছে। তাই, পাথরটির মোট যান্ত্রিক শক্তি ভূপৃষ্ঠে পতিত হওয়া পর্যন্ত অপরিবর্তিত থাকবে।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য:

    
• পাথরের ভর, \(m = 6 \, \text{kg}\)
    
• প্রাথমিক উচ্চতা, \(H = 220 \, \text{m}\) (যেখান থেকে পাথরটি ফেলা হয়েছিল)
    
• অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)

১. ভূপৃষ্ঠ থেকে 40 m উচ্চতায় মোট শক্তি:

প্রাথমিক অবস্থায়, অর্থাৎ 220 m উচ্চতায়, পাথরটির প্রাথমিক বেগ \(u = 0 \, \text{m/s}\) (ফেলে দেওয়া হয়েছিল)।

প্রাথমিক বিভব শক্তি, \(PE_{\text{initial}} = mgh_{\text{initial}} = 6 \times 9.8 \times 220 = 12936 \, \text{J}\)

প্রাথমিক গতি শক্তি, \(KE_{\text{initial}} = \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 0^2 = 0 \, \text{J}\)

প্রাথমিক মোট শক্তি, \(E_{\text{initial}} = PE_{\text{initial}} + KE_{\text{initial}} = 12936 + 0 = 12936 \, \text{J}\)

যখন পাথরটি ভূপৃষ্ঠ থেকে \(h_1 = 40 \, \text{m}\) উচ্চতায় থাকে, তখন:

বিভব শক্তি, \(PE_1 = mgh_1 = 6 \times 9.8 \times 40 = 2352 \, \text{J}\)

পাথরটি যে উচ্চতা নেমে এসেছে, \(s_1 = H - h_1 = 220 - 40 = 180 \, \text{m}\)

এই উচ্চতায় বেগ, \(v_1\)। আমরা জানি, \(v_1^2 = u^2 + 2gs_1\)

\(v_1^2 = 0^2 + 2 \times 9.8 \times 180 = 3528\)

গতি শক্তি, \(KE_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 3528 = 3 \times 3528 = 10584 \, \text{J}\)

মোট শক্তি, \(E_1 = PE_1 + KE_1 = 2352 + 10584 = 12936 \, \text{J}\)

২. বিমান থেকে পাথর ফেলে দেওয়ার 5 s পর মোট শক্তি:

5 s পর পাথরটি যে দূরত্ব নেমে আসে, \(s_2 = ut + \frac{1}{2}gt^2\)

\(s_2 = 0 \times 5 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times 5^2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 25 = 122.5 \, \text{m}\)

5 s পর ভূপৃষ্ঠ থেকে পাথরটির উচ্চতা, \(h_2 = H - s_2 = 220 - 122.5 = 97.5 \, \text{m}\)

5 s পর বিভব শক্তি, \(PE_2 = mgh_2 = 6 \times 9.8 \times 97.5 = 5733 \, \text{J}\)

5 s পর পাথরটির বেগ, \(v_2 = u + gt\)

\(v_2 = 0 + 9.8 \times 5 = 49 \, \text{m/s}\)

5 s পর গতি শক্তি, \(KE_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2} \times 6 \times (49)^2 = 3 \times 2401 = 7203 \, \text{J}\)

5 s পর মোট শক্তি, \(E_2 = PE_2 + KE_2 = 5733 + 7203 = 12936 \, \text{J}\)

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, ভূপৃষ্ঠ থেকে 40 m উচ্চতায় এবং বিমান থেকে পাথর ফেলে দেওয়ার 5 s পর উভয় ক্ষেত্রেই পাথরটির মোট শক্তি 12936 J। অর্থাৎ, এই দুটি নির্দিষ্ট সময়ে পাথরটির মোট যান্ত্রিক শক্তির কোনো পরিবর্তন হয়নি। বাতাসের বাধা উপেক্ষণীয় হওয়ায় শক্তির সংরক্ষণশীলতার নীতি এখানে কার্যকর হয়েছে, যার ফলে মোট যান্ত্রিক শক্তি ধ্রুবক রয়েছে।