সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

যে রাশি কেবলমাত্র এককসহ পরিমাণ দ্বারা অথবা পরিমাণের পূর্বে + বা চিহ্নযুক্ত করে সম্পূর্ণরূপে বুঝানো যায়, তাকে স্কেলার রাশি বলে। অর্থাৎ, যে রাশির শুধু মান আছে কিন্তু কোনো দিক নেই তাকে স্কেলার রাশি বলে। যেমন: দৈর্ঘ্য, ভর, আয়তন, দ্রুতি, তাপমাত্রা ইত্যাদি প্রত্যেকেই স্কেলার রাশি।

যে রাশিকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য তার পরিমাণ ও দিক উভয়ের প্রয়োজন হয়, 'তাকে ভেক্টর রাশি বলে। অর্থাৎ যে রাশির মান এবং নির্দিষ্ট দিক উভয়ই রয়েছে, তাকে ভেক্টর রাশি বলে। যেমন: বেগ, সরণ, ত্বরণ, ওজন, বল ইত্যাদি প্রত্যেকেই ভেক্টর রাশি।

কোনো রেখাংশের এক প্রান্তকে আদিবিন্দু এবং অপর প্রান্তকে অন্তবিন্দু- হিসেবে চিহ্নিত করলে ঐ রেখাংশকে একটি দিক নির্দেশক রেখাংশ বলে। কোনো দিক নির্দেশক রেখাংশের আদি বিন্দু A এবং অন্তবিন্দু B হলে ঐ দিক নির্দেশক রেখাংশকে $\overrightarrow{AB}$ দ্বারা সূচিত করা হয়।

কোনো ভেক্টর (দিক নির্দেশক রেখাংশ) যে অসীম সরলরেখার অংশ বিশেষ, তাকে ঐ ভেক্টরের ধারক রেখা বা শুধু ধারক বলা হয়। যেমন: একটি অসীম সরলরেখা যেকোনো দুটি বিন্দু A ও B নিয়ে গঠিত ভেক্টর $\overrightarrow{AB}$ এর ধারক রেখা হবে ঐ অসীম সরলরেখাটি।

একটি ভেক্টর $\underline{u}$ কে অপর একটি ভেক্টর $\underline{v}$ এর সমান বলা হয় যদি-

(ক) |$\underline{u}$| - |$\underline{v}$| ($\underline{u}$ এর দৈর্ঘ্য $\underline{v}$ এর দৈর্ঘ্যের সমান)

(খ) $\underline{u}$ এর ধারক, $\underline{v}$ এর ধারকের সঙ্গে অভিন্ন অথবা সমান্তরাল হয়।

(গ) $\underline{u}$ এর দিক $\underline{v}$ এর দিকের সঙ্গে একইমুখী হয়।

চিত্রে, $\underline{u}$ = $\overrightarrow{AB}$ ও $\underline{v}$ = $\overrightarrow{CD}$ উভয় ভেক্টর একে অপরের সমান ভেক্টর।

একটি ভেক্টর $\underline{v}$ কে অপর একটি ভেক্টর $\underline{u}$ এর বিপরীত ভেক্টর বলা হয় যদি-

(ক) $\left|\underline{v}\right| = \left|\underline{u}\right|$

(খ) $\underline{v}$এর ধারক, $\underline{u}$ এর ধারকের সঙ্গে অভিন্ন অথবা সমান্তরাল হয়।

(গ) $\underline{v}$ এর দিক $\underline{u}$ এর দিকের বিপরীত হয়।

চিত্রে, $\underline{u}=\overrightarrow{AB} ও \underline{v}=\overrightarrow{CD}$ পরস্পর বিপরীত ভেক্টর যেখানে $\underline{u} =- \underline{v}$ এবং $\left|\underline{u}\right| =\left|\underline{v}\right|$

দুটি ভেক্টর $\underline{u} ও \underline{v}$ পরস্পর বিপরীত ভেক্টর হবে যদি $\underline{v} =-\underline{u}$  হয়

ধরি, $\underline{u} =5\underline{p}-2\underline{q}$

তাহলে, $\underline{v} =-\underline{u} = -(5\underline{p}-2\underline{q})=2\underline{q}-5\underline{p}$

অতএব, $5\underline{p}-2\underline{q}$ এর বিপরীত ভেক্টর $2\underline{q}-5\underline{p}$ .

ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি : $\underline{u} ও \underline{v}$ সমান্তরাল না হলে $\underline{u} . \underline{v}$ এবং $\underline{u} + \underline{v}$ ভেক্টরত্রয় দ্বারা ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় বলে উপরোক্ত যোজন পদ্ধতিকে ত্রিভুজ বিধি বলা হয়।

কোনো সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা দুইটি ভেক্টর $\underline{u}ও \underline{v}$ এর মান ও দিক সূচিত হলে, ঐ সামান্তরিকের যে কর্ণ $\underline{u}ও \underline{v}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখার ছেদবিন্দুগামী তা দ্বারা $\underline{u}+ \underline{v}$ ভেক্টরের মান ও দিক সূচিত হয়।

ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, $△$ABC-এ,

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

$\therefore$ $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

PQRS ট্রাপিজিয়ামে PQ || SR

ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল ও তাদের যোগফলের অর্ধেক।

$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{SR}).$

যেহেতু $E, \overrightarrow{PR}$ -এর মধ্যবিন্দু

$\therefore$ $\overrightarrow{PE}= \frac{1}{2}\overrightarrow{PR}.$

△ PDE হতে পাই,

$\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DE}$  [ভেক্টরের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে]

$\therefore$ $\frac{1}{2}\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DE}$

$\therefore$ $(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DE}) =\frac{1}{2} \overrightarrow{PR}$

ABC ত্রিভুজের ভেক্টর যোগের রিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

বা, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CA}$

$\therefore$ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=0.$ (প্রমাণিত)

$\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} =\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$  [চিত্রানুযায়ী]

বা, $\overrightarrow{AB} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CF}\right)-\overrightarrow{BE}$

বা, $\overrightarrow{AB} =\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{BE}$

বা, $\overrightarrow{AB} -\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{BE}$

বা, $\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{BE}$

$\therefore$  $\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}$  [উভয়পক্ষকে $\frac{3}{4}$ দ্বারা ভাগ করে]

$△$OAB হতে পাই ,

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{OB}$

বা, $\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{OB} -\overrightarrow{OA}$

$\therefore$ $\overrightarrow{AB} =\underline{b} - \underline{a}$

চিত্র অনুযায়ী, $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE}$

বা, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DE}$

বা,  $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DE}$

$\therefore$ $\overrightarrow{AB}=2 (\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DE}).$

এখানে, ABC ত্রিভুজে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুযায়ী,

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E

$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AE} =\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$

△ADE এ ত্রিভুজের যোগ সূত্রানুসারে,

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}$

বা, $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

$\therefore$ $\overrightarrow{DE}= \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$

এখানে, △PQR এ PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T.

$\overrightarrow{PS}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$ এবং $\overrightarrow{PT}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PR}$

△ PST-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{PT}$

বা, $\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{PT}-\overrightarrow{PS}$

বা, $\overrightarrow{ST}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PR}-\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$

$\therefore$ $\overrightarrow{ST}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{PR}-\overrightarrow{PQ}\right)$

যেহেতু E, AC এর মধ্যবিন্দু।

$\therefore$ $\overrightarrow{AE}= \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$△$ADE-এ,

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}$

$\therefore$ $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} =\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$ (প্রমাণিত)

$\therefore$

M, PQ এর মধ্যবিন্দু এবং N, PR এর মধ্যবিন্দু

$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PO}$

বা,  $\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{PM}$

$\therefore$ $\overrightarrow{PN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{PR}$

বা, $\overrightarrow{PR} = 2\overrightarrow{PN}$

এখন, $△$PQR-এ,

$\overrightarrow{PQ }+ \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$

বা, $\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}-\overrightarrow{PQ} = 2\overrightarrow{PN}-2\overrightarrow{PM}$

$\therefore$ $\overrightarrow{QR} = 2(\overrightarrow{PN}-\overrightarrow{PM})$  (প্রমাণিত)

চিত্রে X ও Y যথাক্রমে PQ ও SR এর মধ্যবিন্দু যেখানে PS || QR এবং PS = 6m, QR = 10cm

$XY = \frac{1}{2} \left(\overrightarrow{PS} + \overrightarrow{QR}\right)$

$=\frac{1}{2} (6 + 10) cm$

$= \frac{1}{2}\times 16 = 8 cm$

এখানে, △ ABC এর G ভরকেন্দ্র

△ABD-এ,

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$

বা, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BD}$ _______ (i)

△ADC-এ,

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$ _______ (ii)

(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$

$= 2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BD}$    $\left[\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}\right]$

$\therefore$ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AD}$ (প্রমাণিত)

ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভেক্টর বিয়োগের ত্রিভুজ বিধি $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.$

CA রেখাংশকে এমনভাবে বর্ধিত করি যেন, AE = CA হয়। AEFB সামান্তরিক গঠন করি। ভেক্টর যোগের সামান্তরিক রিধি অনুযায়ী, $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} =\overrightarrow{AF}$

আবার, AFBC একটি সামান্তরিক, কেননা BF = AF = CA এবং BF || AE বলে BF || CA

$\overrightarrow{AF} =\overrightarrow{CB}$ (ভেক্টর স্থানান্তর),

কিন্তু $\overrightarrow{AB} =-\underline{v}$  এবং  $\overrightarrow{AB} = \underline{u}$

সুতরাং , $u - v = \overrightarrow{CB}$

$\therefore$ $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB} .$ (প্রমাণিত)

ABCD ট্রাপিজিয়াম হতে পাই,

$PQ = \frac{1}{2}(DC-AB)$ [AB || CD]

= $\frac{1}{2}$ (7 - 5) সে.মি.

$=\frac{1}{2}\times 2$ সে.মি.

= 1 সে.মি.

$△$ABO এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO} =\overrightarrow{AO}$

বা, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO}-\overrightarrow{BO}$

বা, $\overrightarrow{AB}= \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$

$\therefore$ $\overrightarrow{AB}= \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\right)$

যে ভেক্টরের মান শূন্য এবং যার দিক নির্ণয় করা যায় না তাকে শূন্য ভেক্টর বলে।

ধরি, $\underline{u}=\overrightarrow{AB}$ তখন $- \underline{u}=\overrightarrow{BA}$

$\therefore$ $\underline{u}-\underline{u}= \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BA} =\overrightarrow{AA}$ [ত্রিভুজ বিধি অনুযায়ী]

$\therefore$ $\overrightarrow{AA}$ এর মান শূন্য ও দিক অনির্ণেয়। তাই $\overrightarrow{AA}$ একটি শূনা ভেক্টর।

চিত্রে, ABCD একটি সামান্তরিক।

এখন, $△$ABC হতে পাই,

$\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$  ______ (i)

আবার, $△$ACD হতে পাই,

$\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CA}$ _______ (ii)

(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,

$\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} +\overrightarrow{DA} =\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC} = 0$

নির্ণেয় মান 0.

$\overrightarrow{AA}$ একটি বিন্দু ভেক্টর। এর আদি বিন্দু ও অন্তবিন্দু একই। অর্থাৎ, এর দৈর্ঘ্য শূন্য। এখানে, $\overrightarrow{AA}$, দ্বারা A বিন্দুকে বুঝানো হয়েছে। এর দৈর্ঘ্য শূন্য বলে একে শূন্য ভেক্টরও বলা হয়। $\overrightarrow{AA}$ ভেক্টরের কোনো  নির্দিষ্ট দিক বা ধারক রেখা নেই।

মনে করি, $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{u}$ এবং $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{v}$ । OACB সামান্তরিক ও তার কর্ণ OC অঙ্কন করি। OA ও BC সমান ও সমান্তরাল এবং OB ও AC' সমান ও সমান্তরাল।

$\therefore$ $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \underline{u} +\underline{v}$

আবার, $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OA }= \underline{v} + \underline{u}$

$\therefore$ $\underline{u} + \underline{v} = \underline{v} + \underline{u}$

ভেক্টর যোগের সংযোগ বিধি অনুসারে, যেকোনো  $\underline{u}. \underline{v}. \underline{w}$ ভেক্টরের জন্য $(\underline{u}+\underline{v})+w = \underline{u}+(\underline{v}+\underline{w}).$

মনে করি, $\overrightarrow{OA} =\underline{u} . \overrightarrow{AB} =v. \overrightarrow{BC}= \underline{w}.$ অর্থাৎ $\underline{u}$ এর প্রান্তবিন্দু থেকে $\underline{v}$ এবং $\underline{v}$ এর প্রান্তবিন্দু থেকে $\underline{w}$ অঙ্কন করা হয়েছে। O, C ; O, B এবং A, C যোগ করি।

তাহলে,   $(\underline{u}+ \underline{v}) +\underline{w} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB})+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{OC}$

আবার, $\underline{u}+ (\underline{v}+\underline{w})= \overrightarrow{OA}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{OC}$

$\therefore$ $(\underline{u}+\underline{v})+\underline{w} = \underline{u}+(\underline{v}+\underline{w})$

সুতরাং ভেক্টর যোগ-সংযোগবিধি সিদ্ধ করে।

ভেক্টর যোগের বর্জন বিধি অনুসারে, যেকেনো $\underline{u}.\underline{v}.\underline{w}$ ভেক্টরের জন্য $\underline{u}+\underline{v}. = \underline{u}+\underline{w}$ হলে $\underline{v} = \underline{w}$ হবে।

যেহেতু $\underline{u}+\underline{v}. = \underline{u}+\underline{w}$

$\therefore$ $\underline{u} + \underline{v} + (- \underline{u}) = \underline{u} + \underline{v} + (- \underline{u})$  [উভয়পক্ষে $\underline{u}$ যোগ করে]

বা, $\underline{u} - \underline{u} + \underline{v} = \underline{u} - \underline{u} + \underline{w}$

অর্থাৎ, $\underline{v} = \underline{w}$

চিত্রে, ABCD চতুর্ভুজে P, Q, R ও যথাক্রমে AB, BC, C'D ও AD এর মধ্যবিন্দু।

$△$ADR-এ, ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{AR} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DR}$

কিন্তু $\overrightarrow{DR}=\frac{1}{2} \overrightarrow{DC}$  [R. CD এর মধ্যবিন্দু]

$\therefore$ $\overrightarrow{AR} =\frac{1}{2} \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}.$

$\underline{u}$ যেকোনো ভেক্টর এবং m যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হলে m$\underline{u}$ দ্বারা কোন ভেক্টর বোঝায়, নিচে তা ব্যাখ্যা করা হলো :

১. m = 0 হলে, m$\underline{u}$ = 0 বা শূন্য ভেক্টর।

২. m $\ne$ 0 হলে, m$\underline{u}$ এর দৈর্ঘ্য ড্র এর দৈর্ঘ্যের |m| গুণ হবে, m$\underline{u}$ এর ধারক $\underline{u}$ এর ধারকের সাথে অভিন্ন হবে, এবং,

(ক) m > 0 হলে, mu এর দিক $\underline{u}$ এর দিকের সাথে একমুখী হবে, অর্থাৎ, সমান্তরাল ভেক্টর হবে।

(খ) m < 0 হলে, mu এর দিক $u$ এর দিকের বিপরীত হবে, অর্থাৎ, বিপরীত ভেক্টর হবে।

দেওয়া আছে, $m\underline{a} - n\underline{b} = 0$

বা, $m\underline{a} - n\underline{b}+n\underline{b} = n\underline{b}$

বা, $m\underline{a} = n\underline{b}$

$\underline{a} ও \underline{b}$ অসমান্তরাল হলে, $m\underline{a}, n\underline{b}$ এর সমান হতে পারে না।

অর্থাৎ $m\underline{a} =0 ও\hspace{0.17em}n\underline{b} =0$

কিন্তু, $\underline{a}$ ও $\underline{b}$ অশূন্য ভেক্টর

$\therefore$ $m =\underline{0} ও\hspace{0.17em}n =\underline{0}$

$\therefore$ $m =n =\underline{0}$ (প্রমাণিত)

মনে করি, $\underline{a} = m\underline{b}$ । তাহলে, $\underline{a} . \underline{b}$ এর সমান্তরাল দেখানোই যথেষ্ট হবে । $\underline{a} = m\underline{b}$ হওয়ায় $\underline{a}$ ভেক্টরটি $\underline{b}$ -এর স্কেলার গুণিতক।

সুতরাং $\underline{a}$ এর দিক ও $\underline{b}$ এর দিক সমমুখী হবে যদি m > 0 হয় এবং বিপরীতমুখী হবে যদি m < 0 হয়।

এখানে, m≠ 0 কারণ m = 0 হলে $\underline{a}$ = 0 হবে যা অসম্ভব কেননা $\underline{a}$ একটি অশূন্য ভেক্টর।

$\underline{a} ও \underline{b}$ এর দিক যদি একই হয় তাহলে তারা সদৃশ সমান্তরাল আর যদি বিপরীত হয় তাহলে তারা বিসদৃশ সমান্তরাল হবে।

সুতরাং উভয় ক্ষেত্রেই $\underline{a} . \underline{b}$ এর সমান্তরাল।

m বা n শূন্য হলে সূত্রটি অবশ্যই খাটে।

মনে করি, m, n উভয়ে ধনাত্মক এবং $\overrightarrow{AB}=m\underline{u}$

$\therefore$ $\left|\overrightarrow{AB}\right|=m\left|\underline{u}\right|$

AB কে C পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $\left|\overrightarrow{BC}\right|=n\left|\underline{u}\right|$  হয়

$\therefore$ $\overrightarrow{BC} = n\underline{u}$

$\left|AC\right| = \left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|=m\left|\underline{u}\right|+n\left|\underline{u}\right|$ = $\left(m +n\right) \left|\underline{u}\right|$

$\therefore$ $\overrightarrow{AC} = (m + n)\underline{u}$

কিন্তু, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

$\therefore$ $m\underline{u} + n\underline{u}= (m + n)\underline{u}.$ (প্রমাণিত)

বিপরীত অনুযায়ী, $\underline{c} (-\underline{c})=\underline{0}$

আবার, $(- \underline{c}) + (- (- \underline{c}\left)\right) = 0$

বা, $(- \underline{c}) + (- (- \underline{c}\left)\right) = \underline{c} + (- \underline{c})$

বা,  $(- \underline{c} (- \underline{c}\left)\right) = \underline{c}$ [ভেক্টর যোগের বর্জন বিধি]

$\therefore$ $-\underline{c} (-\underline{c}) =\underline{c}$ (প্রমাণিত)

বামপক্ষ = $\underline{a}+\underline{a}$

$=1\underline{a}+1 \underline{a}$ [সংখ্যা গুণিতকের নিয়মানুযায়ী]

$=(1 + 1) \underline{a}$ [সংখ্যা গুণিতকের নিয়মানুযায়ী]

= 2 $\underline{a}$ = ডানপক্ষ

$\therefore$ $\underline{a}+\underline{a}$ = 2 $\underline{a}$ (দেখানো হলো)

বিপরীত ভেক্টরের ধর্ম অনুযায়ী $\underline{a}+(-\underline{a})=\underline{0}$

আবার, $(- \underline{a}) + (- (- \underline{a}\left)\right) = \underline{0}$

= $(- \underline{a}) + (- (- \underline{a}\left)\right) = \underline{\underline{a}} + (- \underline{a})$

$\therefore$ $\left(-(- \underline{a})\right) = \underline{\underline{a}}$  [ভেক্টর যোগের বর্জন বিধি] (প্রমাণিত)

অবস্থান ভেক্টর : প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বস্তুর বা বিন্দুর অবস্থান যে সরলরেখা দ্বারা নির্দেশ করা হয় তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

চিত্রে, P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $\overrightarrow{OP}$ . সমতলস্থ কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু  O সাপেক্ষে ঐ সমতলের যেকোনো P বিন্দুর অবস্থান $\overrightarrow{OP}$ দ্বারা নির্দিষ্ট করা যায়। $\overrightarrow{OP}$ কে O বিন্দু সাপেক্ষে P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলা হয় এবং O বিন্দুকে ভেক্টর মূলবিন্দু (origin) বলা হয়।

একক ভেক্টর: যে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য। একক তাকে একক ভেক্টর বলে। কোনো ভেক্টরের মান যদি শূন্য না হয় তাহলে সেই ভেক্টরকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে ভেক্টরটির দিকে একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়।

অবস্থান ভেক্টর: প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বস্তুর বা বিন্দুর অবস্থান যে সরলরেখা দ্বারা নির্দেশ করা হয় তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

চিত্রে, P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $\overrightarrow{OP}$ .

মূলবিন্দু O এর সাপেক্ষে P ও Q  বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\underline{p} ও \underline{q}.$

মনে করি,  $\overrightarrow{OP} = \underline{p}$ এবং $\overrightarrow{OQ}=\underline{q}$

তাহলে,  $\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PO}=\overrightarrow{OQ}$

বা, $\underline{P}+\overrightarrow{PQ}=\underline{q}$

$\therefore$ $\overrightarrow{PQ}=\underline{q}-\underline{p}$

অর্থাৎ, $\overrightarrow{PQ}$ কে $\underline{p}$ ও $\underline{q}$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হলো।

দেওয়া আছে, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে  $\overrightarrow{OC} = c$ , $\overrightarrow{OD} = d$ , যেখানে O মূলবিন্দু।

চিত্রে, $△$OCD - এ ,

$\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD}$

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{CD}=\underline{c}-\underline{d}$ _________ (i)

আবার, $△$ORD-এ,

$\overrightarrow{OR} +\overrightarrow{RD} = \overrightarrow{OD}$

বা, $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OD} -\overrightarrow{RD}$

$=\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$   [R, CD এর মধ্যবিন্দু]

$= d - \frac{1}{2} (\underline{d} - \underline{c})$ [(i)নং হতে]

$=\frac{2\underline{d} - \underline{d} + \underline{c}}{2}=\frac{\underline{c}+\underline{d}}{2}$

এখানে,

M.N এবং O এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\underline{a}$ , $\underline{b}$ এবং $\underline{c}$ .

R, MN এর মধ্যবিন্দু হওয়ায় R বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underline{a}+\underline{b})$

Q, MO এর মধ্যবিন্দু হওয়ায় Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর , $=\frac{1}{2}(\underline{a}+\underline{c})$

$\overrightarrow{RQ} = \frac{1}{2} (\underline{a} +\underline{c}) -\frac{1}{2} (\underline{a} + \underline{b})$

বা, $\overrightarrow{RQ} = \frac{1}{2}\left(\underline{a}+\underline{c}-\underline{a}-\underline{b}\right)$

$\therefore$ $\overrightarrow{RQ} = \frac{1}{2}\left(\underline{c}-\underline{b}\right)$ (দেখানো হলো)

চিত্রে, O মূলবিন্দু যেখানে $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ ভেক্টর যথাক্রমে M ও N এর অবস্থান ভেক্টর।

এখন, △ OMN-এ, ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}$

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$

$=(3\underline{a}-2\underline{b})-(7\underline{a}+5\underline{b}) = 3\underline{a}-2\underline{b}-7\underline{a}-5\underline{b}$

$\therefore$ $\overrightarrow{MN}$ = $- 4\underline{a} - 7\underline{b} .$

OAB ত্রিভুজে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{OB}$

$\therefore$ $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=3\underline{b}-5\underline{a}.$

এখানে,

$\overrightarrow{OA} = \underline{a}, \overrightarrow{OB} = \underline{b}$

এবং AC = BC

$\therefore$ $\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2} (\underline{a}+\underline{b})$

জানা আছে, A, B, C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $\underline{a}. \underline{b}. \underline{c}$ হলে এবং AB রেখাংশকে C বিন্দুটি m : n অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হলে $\underline{c}$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $= \frac{na+mb}{m+n}$

C বিন্দুটি AB রেখাংশকে 2 : 3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে $\underline{c}$ = $\frac{3a+2b}{2+3}=\frac{2b+3a}{5}$

দেওয়া আছে, মূলবিন্দুর সাপেক্ষে A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $9\underline{a}-4\underline{b}$ এবং $4\underline{a}-2\underline{b}$

$\overrightarrow{AB}$ = B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর - A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর

= $(4\underline{a} - 2\underline{b})-(9\underline{a}-4\underline{b})$

$= 4\underline{a}-2\underline{b}-9\underline{a} + 4\underline{b} = 2\underline{b}-5\underline{a}.$

$\overrightarrow{AB}$ = B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর - A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর

= $(\underline{a}-2\underline{b})(2\underline{a} - \underline{b})$

= $\underline{a}-2\underline{b}-2\underline{a}+\underline{b} = -\underline{a}-\underline{b}.$

M, PQ এর মধ্যবিন্দু এবং N

PR এর মধ্যবিন্দু

$\therefore$ $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$

বা, $\overrightarrow{PQ} = 2\overrightarrow{PM}$

$\therefore$ $\overrightarrow{PN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{PR}$

বা, $\overrightarrow{PR} = 2\overrightarrow{PN}$

এখন, △PQR-এ, $\overrightarrow{PQ }+\overrightarrow{ QR} = \overrightarrow{PR}$

বা, $\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}-\overrightarrow{PQ} = 2\overrightarrow{PN}-2\overrightarrow{PM} = 2(\overrightarrow{PN} - \overrightarrow{PM}).$