সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

$(3m-2n{)}^3$

$=(3m{)}^3-3 . (3m{)}^2 .2n+3.3m.(2n{)}^2-(2n{)}^3$

  $=27m^3-3\times 9\times 2\times m^{2}n+3\times 3\times 4\times m{n}^2-8n^3$

   $=27m^3-54m^{2}n+36m{n}^2-8n^3$

      $(3m-2n{)}^3=27m^3-54m^{2}n+36m{n}^2-8n^3$

$102$ এর ঘন $=(102{)}^3$

                       $=(100+2{)}^3$

                       $=(100{)}^3+3\times {100}^2\times 2+3\times 100\times 2^2+2^3$

                        =1061208

∴ 102 এর ঘন = 1061208

498 এর ঘন = $\left(498\right)³$

                      $= {(500-2)}^2$

                     $={\left(500\right)}^3-3.{\left(500\right)}^2.2+3.500.2^2-2^3$

                        $=125000000-1500000+6000-8$

                          $123505992$

    $\therefore 498$ এর ঘন = 123505992.

প্রদত্ত রাশি= $=27x^3-54x^2+36x-8$

                         $=(3x{)}^3-3.(3x{)}^{2}0.2+3.3x.0.2^2-(2{)}^3$

                           $={(3x-2)}^3$

                        $={\left\{3.(-2)-2\right\}}^3 [ \because x=-2]$

                         $=(-6-2{)}^3=(-8{)}^3=-512$

নির্ণেয় মান:-512

$(x-y)(x^2+xy+y^2)+(y-z)(y^2+yz+z^2)+(z-x)(z^2+zx+x^2)$

$=x^3-y^3+y^3-z^3+z^3-x^3$

$= 0$

নির্ণেয় সরলফল 0.

দেওয়া আছে, $a + b = 5$ এবং ab = 6

   প্রদত্ত রাশি $=a^3+b^3+4(a-b{)}^2$

                       $=(a+b{)}^3-3ab(a+b)+4\{(a+b{)}^2-4ab\}$

                         $=(5{)}^3-3\times 6\times 5+4\{(5{)}^2-4\times 6\}$

                           $125-90+4(25-24$

                             $= 35 + 4 \times 1 = 35 + 4 = 39$

  নির্ণেয় মান 39.

দেওয়া আছে, a = 2 এবং b= 2  

প্রদত্ত রাশি$=8a^3-12a^{2}b+6a{b}^2-b^3$

                    $=(2a{)}^3-3.(2a{)}^2.b+3.2a.(b{)}^2-(b{)}^3$

                       $=(2a-b{)}^3$

                      $=(2\times 2-2{)}^3$

                         $=(4-2{)}^3=2^3=8$

নির্ণেয় মান: 8

দেওয়া আছে, $x + y = 15$ এবং $xy = 50$

প্রদত্ত রাশি $=x^3+y^3$

                       $=(x+y{)}^3-3xy(x+y)$

                        $=(15{)}^3-3\times 50\times 15$

                          $=3375-2250 = 1125$

                    $\therefore x^3+y^3=1125$

দেওয়া আছে, $a - b = 5$ এবং $ab = 14$

প্রদত্ত রাশি, $=a^3-b^3$

                     $=(a-b{)}^3+3ab(a-b)$

                       $=5^3+3+14\times 5$

                        $= 125 + 210=335$

                       নির্ণেয় মান 335

এখানে, $(a-b{)}^2=a^2+b^2-2ab$

  বা, $2ab=a^2+b^2-(a-b{)}^2=53-5^2=53-25=28$

$\therefore ab = 14$

প্রদত্ত রাশি$=a^3-b^3=(a-b{)}^3+3ab(a-b)$

                   $=5^3+3.14.5=125+210=335$

নির্ণেয় মান: 335.

দেওয়া আছে, $m + \frac{1}{m}= \sqrt{6}+\sqrt{5}$

প্রদত্ত রাশি=$=m^3+\frac{1}{m^3}$

$=m^3+\frac{1}{m^3}-3.m.\frac{1}{m}\left(m+\frac{1}{m}\right)$

${\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}^3-3\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)$

${\left(\sqrt{6}\right)}^3+3{\left(\sqrt{6}\right)}^2\sqrt{5}+3\sqrt{6}{\left(\sqrt{5}\right)}^3-3\sqrt{6}-3\sqrt{5}$

                     $=18\sqrt{6}+20\sqrt{6}$

নির্ণেয় মান : $=18\sqrt{6}+20\sqrt{6}$

দেওয়া আছে,

    $x + y + z = 0$

বা, $x + y = - z$

বা, $(x+y{)}^3=(-z{)}^3$ [ঘন করে]

বা, $x^3+y^3+3xy(x+y)=-z^3$

বা, $x^3+y^3+3xy(-z)=-z^3[x+y=-z]$

বা, $x³+y³-3xyz = - z$

$\therefore x^3+y^3+z^3=3xyz.$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $4y + \frac{4}{y}= 4\sqrt{3}$

বা, $4(y + \frac{1}{y}/) = 4\sqrt{3}$

    $y +\frac{ 1}{y}= \sqrt{3}$

$y^3+\frac{1}{y^3}=y+\frac{1}{y}-3,y.1y\left( y+\frac{1}{y}\right)$

${\left(\sqrt{3}\right)}^3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3=0}$

নির্ণেয় মান ০.

দেওয়া আছে, $a + b = 4$

     এবং $a^2+b^2=8$

    বা, $(a+b{)}^2-2ab=8$

     বা, $4^2-2ab=8$

     বা, $16 - 8 = 2ab$

$\therefore ab = \frac{8}{2 }= 4$

     $\therefore a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$

$=4^3-3.4.4=64-48=16.$

নির্ণেয় মান 16.

দেওয়া আছে, $x^3-\frac{1}{x^3}=0$

       বা, $\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x^2+1+\frac{1}{x^2}\right)=0$

        বা, $x-\frac{1}{x}=0$ বা, $x^2-1=0$বা ,$x^2=-1$

           $x =\pm 1$

নির্ণেয় মান: $\pm 1$

এখানে, $a^2+1-\sqrt{6}a=0$

বা, $a^2+1=\sqrt{6}a$

   বা, $a\left(a + \frac{1}{a}\right)=\sqrt{6}a$

  $\therefore a +\frac{ 1}{a} = \frac{\sqrt{6}a}{a}=\sqrt{6}$ [উভয়পক্ষকে এ দ্বারা ভাগ করে]

বামপক্ষ$=a^3+\frac{1}{a^3}={\left(a+\frac{1}{a}\right)}^3-3a.\frac{1}{a}\left(a+\frac{1}{a}\right)$

              $={\left(\sqrt{6}\right)}^3-3\sqrt{6}=6\sqrt{6}-3\sqrt{6}=3\sqrt{6}=$ডানপক্ষ

         $\therefore a^3+\frac{1}{a^3}=3\sqrt{6}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $p^2=13+\sqrt{168}$

     বা, $p^2=13+2\sqrt{42}$

     বা, $p^2={\left(\sqrt{7}\right)}^2+2.\sqrt{7}.\sqrt{6}+{\left(\sqrt{6}\right)}^2={\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)}^2$

            $\therefore p=\sqrt{7}+\sqrt{6}$

             $\therefore \frac{1}{p}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)}$

নির্ণেয় মান $\sqrt{7}-\sqrt{6}$

এখানে, $x =\sqrt{3}+\sqrt{5}$

বামপক্ষ$= \frac{1}{x}= \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

              $=\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}$

              $=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$

                 $=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)=$ডানপক্ষ

$\therefore \frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $a + \frac{1}{a} = 5$

  প্রদত্ত রাশি= $=a^3+\frac{1}{a^3}$

                         $={\left(a+\frac{1}{a}\right)}^3-3a.\frac{1}{a} \left(a+\frac{1}{a}\right)$

                         $=5^3-3.5=125-15=110.$

নির্ণেয় মান 110.

এখানে, $a - b = 2$ এবং ab = 3

      $\therefore a^3-b^3=(a-b{)}^3+3ab(a-b)$

                $=2^3+3.3.2-8+18=26.$

                নির্ণেয় মান-26.

এখানে, $p^2-1=\sqrt{5}p$

    বা, $p\left(p - \frac{1}{p}\right)=\sqrt{5}p$

   বা, $p - \frac{1}{p}=\sqrt{5}$

প্রদত্ত রাশি= $p^3-\frac{1}{p^3}$

                  $={\left(p-\frac{1}{p}\right)}^3+3.p.\frac{1}{p} \left(p-\frac{1}{p}\right)$

                $={\left(\sqrt{5}\right)}^3+3.\sqrt{5}$

                   $=5\sqrt{5}+3\sqrt{5}=8\sqrt{5}$

                  নির্ণেয় মান $8\sqrt{5}$

দেওয়া আছে, $p^3+q^3=9$ এবং $p + q = 3$

  এখন, $p^3+q^3=9$

   বা, $(p+q{)}^3-3pq(p+q)=9$

  বা, $3^3-3pq.3=9$

   বা, $27 - 9pq = 9$

    বা, $9pq = 18$

  $\therefore pq = 2$

নির্ণেয় মান 2.

দেওয়া আছে, $x(2x - 5) = \frac{1}{3}$

বা, $2x - 5 = \frac{1}{3x}$

বা, $2x -\frac{ 1}{3x}= 5$

বামপক্ষ= $=8x^3-\frac{1}{27x^3}=(2x{)}^3-{\left(\frac{1}{3x}\right)}^3$

                 $={\left(2x-\frac{1}{3x}\right)}^3+3.2x.\frac{1}{3x}\left(2x-\frac{1}{3x}\right)$

                  $=5^3+2.5=125+10=135=$ ডানপক্ষ

        $8x^3-\frac{1}{27x^3}=135$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $a = 7 +4\sqrt{3}$

           $\therefore \sqrt{a} =\sqrt{7+4}\sqrt{3}$

                          $=\sqrt{2^2+2.2\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^3}$ $=\sqrt{{\left(2+\sqrt{3}\right)}^2}=2+\sqrt{3}$

                             $\therefore \frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\left(2+ \sqrt{3}\right) \left(2- \sqrt{3}\right)}=\frac{2- \sqrt{3}}{2^2-{\left( \sqrt{3}\right)}^2}=2-\sqrt{3}$

বামপক্ষ= $a\sqrt{a}-\frac{1}{a\sqrt{a}}={\left(\sqrt{a}\right)}^3-{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^3$

                                                 $={\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^3+3\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)$

                                                    $={\left(2+\sqrt{3} -2+\sqrt{3} \right)}^3+3.1.\left(2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3}\right)$

                                                    =  ${\left(2\sqrt{3}\right)}^3+3.2\sqrt{3}$

                                                      $=24\sqrt{3} +6\sqrt{3} =30\sqrt{3} =$ডানপক্ষ

            $\therefore a\sqrt{a} -\frac{1}{a\sqrt{a}} =30\sqrt{3}$(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $x + y = 5$ এবং $xy = 7$

প্রদত্ত রাশি$=x^3+y^3+4(x-y{)}^2$

                   $=(x+y{)}^3-3xy(x+y)+4\{(x+y{)}^2-4xy\}$

                    $=(5{)}^3-3.7.5+4\{(5{)}^2-4.7\}$

                     $= 125-105+4(25-28)$

                        $=125-105-12-8$

নির্ণেয় মান ৪.

দেওয়া আছে, $P^3+\frac{1}{P^3}=0$

বা, ${\left(p+\frac{1}{p}\right)}^3-3.p.\frac{1}{p}\left(p+\frac{1}{p}\right)=0$

বা, ${\left(p+\frac{1}{p}\right)}^2=3\left(p+\frac{1}{p}\right)$

${\left(p+\frac{1}{p}\right)}^2=3$

$\therefore p+\frac{1}{p}=\sqrt{3}$

নির্ণেয় মান : $\sqrt{3}$

দেওয়া আছে, $\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=4$

বা, ${\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^3=4^3$

বা,  ${\left(\sqrt[3]{x}\right)}^3+{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^3+3.\sqrt[3]{x.}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)=64$

বা, $x+\frac{1}{x}+3\times 4=64$

বা, $x+\frac{1}{x}=64-12$

$x+\frac{1}{x}=52$

নির্ণেয় মান: 52.

দেওয়া আছে, $a + b =\sqrt{2}$ এবং $a^2-ab+b^2=\sqrt{8}$

  বা, $a^2+b^2-ab=\sqrt{8}$

  বা, $(a+b{)}^2-2ab-ab=\sqrt{8}$

   বা, ${\left(\sqrt{2}\right) }^2-3ab=\sqrt{8}$

  বা, $3ab=2 - \sqrt{8}$

$\therefore a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$

$={\left(\sqrt{2}\right) }^3-\left(2-\sqrt{8} \right).\sqrt{2}=2.\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{16}=\sqrt{16}=4$

নির্ণেয় মান : 4

এখানে, $x + \frac{1}{x}= 2$

প্রদত্ত রাশি= $x^3 + \frac{1}{x^3}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^3-3.x+\frac{1}{x} \left(x+\frac{1}{x}\right)$

                                             $=2^3-3\times 2=8-6=2.$

                                               নির্ণেয় মান 2.

দেওয়া আছে, ${\left(p+\frac{1}{p}\right)}^2=3$

                 বা, $p+\frac{1}{p}=\sqrt{3}$

বামপক্ষ= ${\left(p+\frac{1}{p}\right)}^3 -{\left(p+\frac{1}{p}\right)}^3-3p.\frac{1}{p}\left(p+\frac{1}{p}\right)$

             $={ \left(\sqrt{3}\right)}^3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0=$ ডানপক্ষ

             $\therefore p^3+\frac{1}{p^3}=0$

দেওয়া আছে, $3x +\frac{ 3}{x}= 6$

বা, $3\left(x +\frac{ 1}{x}\right)=6$

বা, $x +\frac{ 1}{x}=2$

$8x^3+\frac{6}{x^3}=8\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)=\left\{{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^3-3.x.\frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{x}\right)\right\}$

                       $=8\{2^3-3.2\}=8(8-6)=16.$

         নির্ণেয় মান 16.

দেওয়া আছে, $a^4-a^2+1=0$

বা, $a^2+\frac{1}{a^2}=1$

বা, ${\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2-2.a.\frac{1}{a}=1$

বা, $a + \frac{1}{a} = \sqrt{3}$

  $a^3+\frac{1}{a^3}={\left(a+\frac{1}{a}\right)}^3-3.a.\frac{1}{a}\left(a+\frac{1}{a}\right)$

$={\left(\sqrt{3}\right)}^3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0$

নির্ণেয় মান 0.

এখানে, $x - \frac{1}{x}= 4$

প্রদত্ত রাশি= $x^3- \frac{1}{x^3}={\left(x-\frac{1}{x}\right)}^3+3.x.\frac{1}{x}\left(x-\frac{1}{x}\right)$

                                       $=4^3+3\times 4=64+12=76$

নির্ণেয় মান 76.

প্রদত্ত রাশি $=\frac{x^6+y^6}{x^3{y}^3}=\frac{x^6}{x^3{y}^3}+\frac{y^6}{x^3{y}^3}=\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{x^3}$

                   $={\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)}^3-3.\frac{x}{y}.\frac{y}{x} \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)$

                     $=4^3-3.4=64-12=52$

       নির্ণেয় মান: 52.

এখানে, $\sqrt[3]{x}=\sqrt{5}$

বা, ${\left(\sqrt[3]{x}\right)}^3={\left(\sqrt{5}\right)}^3$ [ঘন করে]

বা, $x=5\sqrt{5}$

$\therefore x=5\sqrt{5}$

নির্ণেয় মান: $5\sqrt{5}$

দেওয়া আছে, $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2$

বামপক্ষ$={\left(\frac{a}{b}\right)}^3+{\left(\frac{b}{a}\right)}^3$

                $={\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}^3-3.\frac{a}{b}.\frac{b}{a}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)$

                   $=2^3-3.2=8-6=2=$ডানপক্ষ

    $\therefore { \left(\frac{a}{b}\right)}^3+{\left(\frac{b}{a}\right)}^3=2$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $2x - 1 = 0$

প্রদত্ত রাশি $=8x^3-72x²+216x-216$

                    $= {(2x-6)}^3-3.\left(2x\right)². 6+3.2x. {\left(6\right)}^2-6^3$

                      $=(2x-6{)}^3=(2x-1-5{)}^3=(0-5{)}^3=-125.$

   নির্ণেয় মান - 125.

দেওয়া আছে, $2x-1=a...............\left(i\right)$

এবং,              $x - 2 = b................\left(ii\right)$

(i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই, $a - b = 2x - 1 - x + 2 = x + 1.$

প্রদত্ত রাশি$=(2x-1{)}^3-(x-2{)}^3-3(2x-1)(x-2)(x+1)$

                $=a^3-b^3-3ab(a-b)=(a-b{)}^3$

নির্ণেয় মান $(a-b{)}^3$

দেওয়া আছে, $(a-b{)}^3=3\sqrt{3}$

বা, $(a-b{)}^3=3\sqrt{3}={\left(\sqrt{3}\right)}^3$

                         $\therefore a - b =\sqrt{3}$

প্রদত্ত রাশি$=a^2-2ab+b^2$
                    $=(a-b{)}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2=3.$

     নির্ণেয় মান 3.

দেওয়া আছে , $a + b = 2$

প্রদত্ত রাশি$=a^3+b^3+6ab$

                    $=(a+b{)}^3-3ab(a+b)+6ab$

                     $=(2{)}^3-3ab.2+6ab$

                    $= 8 - 6ab + 6ab = 8 .$

নির্ণেয়-মান ৪.

দেওয়া আছে , $x - y = 8$ এবং $xy = 65$

প্রদত্ত রাশি $=x^3-y^3-16(x-y{)}^2$

                    $=(x-y{)}^3+3xy(x-y)-16(x-y{)}^2$

                       $=8^3+3.65.8-16.8^2$

                       $= 8(64 + 195 - 128) = 8(64 + 67) = 8 \times 131 = 1048 .$

  নির্ণেয় মান 1048.

দেওয়া আছে, $a + \frac{1}{a}=\sqrt{3}$

          প্রদত্ত রাশি= $a^3 + \frac{1}{a^3}={\left(a+\frac{1}{a}\right)}^3 -3a.\frac{1}{a} \left(a+\frac{1}{a}\right)$

                                     =    ${\left(\sqrt{3}\right)}^3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0$           

নির্ণেয় মান : 0

বামপক্ষ$= {(x-15)}^3 + {(16-x)}^3 + 3(x-15)(16-x)$

              $=(x-15{)}^3+(16-x{)}^3+3(x-15)(16-x)\left\{\right(x-15)+(16-x\left)\right\}$

                $=\left\{\right(x-15)+(16-x){\}}^3$

               $={\left(x-15+16-x\right)}^3={\left(1\right)}^3=1=$ ডানপক্ষ

               $\therefore (x-15{)}^3+(16-x{)}^3+3(x-15)(16-x)=1$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $a + \frac{1}{a} = 3$

প্রদত্ত রাশি$=a^3+\frac{1}{a^3}={\left(a+\frac{1}{a}\right)}^3-3.a.\frac{1}{a}\left(a+\frac{1}{a}\right)$ $=3^3-3.3=18.$

নির্ণেয় মান 18.