$a = 7 +4\sqrt{3}$ হলে, দেখাও যে, $a\sqrt{a}-\frac{1}{a\sqrt{a}}=30\sqrt{3}$

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

প্রশ্নে দেওয়া ধারাটি হলো: \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3\)। এটি একটি কিউবিক সংখ্যার ধারাবাহিক যোগফল।

আমাদের লক্ষ্য হলো, \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3\) ধারাটির মান নির্ণয় করা, যেখানে \(n = 10\)।

### **সূত্র:**
ধারা \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3\) এর যোগফল নির্ণয়ের জন্য একটি প্রমাণিত সূত্র রয়েছে:

\[
S = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
\]

এখানে, \(S\) হলো ধারাটির যোগফল এবং \(n\) হলো শেষ সংখ্যাটি।

### **ধারার জন্য প্রয়োগ:**

এখানে \(n = 10\)।

\[
S = \left(\frac{10(10+1)}{2}\right)^2
\]

প্রথমে ভিতরের অংশটি নির্ণয় করি:

\[
\frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55
\]

এখন \(55\) এর বর্গ করি:

\[
S = 55^2 = 3025
\]

 **উত্তর:** তাহলে, \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3\) এর মান হলো **3025**।

Y= √5-√2
⇨1/y = (√5+√2)/3
⇨3/y= √5+√2
⇨y+3/y= 2√5
y^3+(3/y)^3
= (y+3/y)^3-3y.3/y(y+3/y)
= (2√5)^3- 9(2√5)
=40√5-18√5

= 22√5