সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

ক : খ এবং খ : গ আকারের অনুপাত দুইটিকে সাধারণত ক : খ : গ আকারে লেখা হয়। একে ধারাবাহিক অনুপাত বলে। যেকোনো দুই বা ততোধিক অনুপাতকে এই আকারে প্রকাশ করা যায়। দুইটি অনুপাতকে ক : খ :গ আকারে প্রকাশ করতে হলে প্রথম অনুপাতটির উত্তর রাশি দ্বিতীয় অনুপাতটির পূর্ব রাশির সমান হতে হয়।

এখানে, ক : খ $=7 : 10 = \frac{7}{10}=\frac{7 \times 6}{10 \times 6}= \frac{42}{60}= \frac{42}{60}$

$খ : গ =12 : 17=\frac{12}{17}=\frac{12\times 5}{17\times 5}=\frac{60}{85}=60 : 85$

$\therefore$ ক : খ : গ = 42 : 60 : 85

এখানে,

a : b = 5 : 7  $=\frac{5}{7}=\frac{5 \times 4}{7 \times 4}= 20 : 28$

$b : c=4 : 9=\frac{4}{9}=\frac{4 \times 7}{9 \times 7}=\frac{28}{63}= 28 : 63$

$\therefore$ $a : b : c=20 : 28 : 63$

রাতুলের টাকা: রাহাতের টাকা = 1500 : 700 = 15 : 7

রাহাতের টাকা: রোজোয়ানের টাকা = 700 : 400 = 7 : 4

∴ রাতুলের টাকা : রাহাতের টাকা রেজোয়ানের টাকা = 15 : 7 : 4

∴ রাহাত, রাতুল ও রেজোয়ানের টাকার অনুপাত = 15 : 7 : 4

মনে করি, অনুপাতের সাধারণ রাশি x

∴ ত্রিভুজের কোণ তিনটি যথাক্রমে 5x, 6x এবং 7x

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

শর্তমতে, 5x + 6x + 7x = 180°

বা, 18x = 180°

বা, x = $\frac{180°}{18}$

$\therefore$ x = 10°

কোণ তিনটি হলো -

5x = 5 $\times$ 10°= 50°

6x = 6 $\times$ 10° = 60°

এবং 7x = 7 $\times$ 10° = 70°

$\therefore$ ত্রিভুজটির কোণ তিনটি যথাক্রমে 50°, 60° ও 70°.

মনে করি, অনুপাতের সাধারণ রাশি x

ত্রিভুজটির বাহুগুলো যথাক্রমে 3x, 5x ও 6x

শর্তমতে, 3x + 5x + 6x = 42

বা, 14x = 42

বা, $x = \frac{42}{14}= 3$

ত্রিভুজটির বাহুগুলো হলো 3x = 3 $\times$ 3 সে.মি. = 9 সে.মি.

                                         5x = 5 $\times$ 3 সে.মি. = 15 সে.মি.

                                 এবং 6x = 6 $\times$ 3 সে.মি. = 18 সে.মি.

নির্ণেয় ত্রিভুজটির বাহুগুলো যথাক্রমে 9 সে.মি., 15 সে.মি. ও 18 সে.মি.।

এখানে, দুইটি সংখ্যার অনুপাত = 9 : 17

এবং এদের ল.সা.গু. = 918

ধরি, অনুপাতের সাধারণ রাশি x

$\therefore$ সংখ্যা দুইটি 9x এবং 17x

$\therefore$ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. = x

এবং ল.সা.গু. = 9 $\times$ 17x = 153x

শর্তমতে, 153x = 918

বা, $x = \frac{918}{153}$

$\therefore$ x = 6

$\therefore$ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু.  x = 6

নির্ণেয় গ.সা.গু. = 6.

দেওয়া আছে

দুইটি সংখ্যার অনুপাত 7 : 11 এবং এদের গ.সা.গু 3

ধরি, সংখ্যা দুইটি 7x এবং 11x

∴ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. = x এবং গ.সা.গু.= 7 $\times$ 11x = 77x

প্রশ্নমতে, x = 3

∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = 77 $\times$ 3 = 231

নির্ণেয় ল.সা.গু = 231.

মনে করি, ১ম জমির দৈর্ঘ্য 3x মিটার এবং প্রস্থ 2y মিটার।

সুতরাং, ২য় জমির দৈর্ঘ্য 4x মিটার এবং প্রস্থ 3y মিটার।

১ম জমির ক্ষেত্রফল = 3x . 2y = 6xy বর্গমিটার

এবং ২য় জমির ক্ষেত্রফল = 4x. 3y = 12xy বর্গমিটার

ক্ষেত্রফলের অনুপাত $=\frac{16xy}{12xy}=\frac{1}{2}= 1 : 2$

নির্ণেয় জমি দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 : 2.

মনে করি, সেচ পাওয়ার পরে গম উৎপাদন হবে x কুইন্টাল

শর্তমতে, 180 : x = 9 : 11

বা, $\frac{180}{x}= \frac{9}{11}$

বা, 9x = 180 $\times$ 11

বা, $x =\frac{180 \times 11}{9}$

$\therefore$ x = 220

$\therefore$ সেচ পাওয়ার পরে 220 কুইন্টাল গম উৎপাদন হবে।

প্রতি কেজি 60 টাকা দরে 120 কেজি চালের বিক্রয়মূল্য = (120$\times$60) টাকা = 7200 টাকা

প্রতি কেজি 110 টাকা দরে 40 কেজি ডালের বিক্রয়মূল্য = (110 $\times$ 40) টাকা = 4400 টাকা

প্রতি কেজি 30 টাকা দরে 20 কেজি লবণের বিক্রয়মূল্য = (30 $\times$ 20) টাকা = 600 টাকা

চালের বিক্রয়মূল্য : ডালের বিক্রয়মূল্য: লবণের বিক্রয়মূল্য 7200 : 4400 : 600 = $\frac{7200}{200} : \frac{4400}{200} : \frac{600}{200}$[200 দ্বারা ভাগ করে]

                                                                                                                            = 36 : 22 : 3

চাল, ডাল ও লবণের বিক্রয়মূল্যের অনুপাত = 36 : 22 : 3.

দেওয়া আছে

দুইটি সংখ্যার অনুপাত 4 : 5 এবং এদের ল.সা.গু. 120.

মনে করি, সংখ্যা দুইটি 4x ও 5x

সংখ্যা দুইিটির ল.সা.গু. = 4 $\times$ 5 $\times$ x = 20x

প্রশ্নমতে, 20x = 120 বা, x = 6

বৃহত্তম সংখ্যাটি = 5x = 5 $\times$ 6 = 30.

মনে করি, ত্রিভুজের কোণ তিনটি যথাক্রমে 2x, 3x এবং 5x

এখানে, বৃহত্তম কোণ 5x এবং ক্ষুদ্রতম কোণ 2x

∴ বৃহত্তম কোণ, ক্ষুদ্রতম কোণের $=\frac{5x}{2x}$ গুণ$=\frac{5}{2}$  গুণ ।

∴ বৃহত্তম কোণটি ক্ষুদ্রতম কোণটির $\frac{5}{2}$ গুণ ।

দেওয়া আছে, দুইটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 2

ধরি, সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে 3x এবং 2x

∴ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. = x

এবং সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = 3 $\times$ 2 $\times$ x = 6x

শর্তমতে, 6x = 42

বা, $x = \frac{42}{6}= 7$

∴ সংখ্যা দুইটি গ.সা.গু. = 7.

ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = x

বর্গের ক্ষেত্রফল = $x^2$

10% হ্রাসে বাহুর দৈর্ঘ্য = x - x এর $10\% = x - x \times \frac{10}{100}= x - \frac{x}{10}=\frac{9x}{10}$

এক্ষেত্রে, ক্ষেত্রফল $={\left(\frac{9x}{10}\right)}^2=\frac{81x^2}{100}$

∴ ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় $=x^2-\frac{81x^2}{100}=\frac{100x^2-81x^2}{100}=\frac{19x^2}{100}$

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস পায় $=\frac{{\displaystyle \frac{19x^2}{100}}}{x^2}\times 100\%$

                                              $=\frac{19x^2}{100x^2}\times 100\%=19\%$

∴ ক্ষেত্রফল 19% হ্রাস পাবে।

মনে করি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক

ক্ষেত্রফল a² বর্গ একক

শর্তমতে, পরিবর্তিত বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 3a একক

∴ নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল = ${\left(3a\right)}^2 = 9a^2$ বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = $\left(9a^2 – a^2\right)$ বর্গ একক

                        $= 8a^2$ বর্গ একক = ৪ $\times$ পূর্বের বর্গের ক্ষেত্রফল।

∴ ক্ষেত্রফল 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য হলে, ক্ষেত্রফল = $a^2$

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$

ক্ষেত্রফল = ${\left(\sqrt{2}a\right)}^2=2a^2$

নির্ণেয় অনুপাত $=a^2 : 2a^2=1 : 2.$

পিতার বর্তমান বয়স 40 বছর

∴ 5 বছর পর পিতার বয়স হবে (40+5) বছর = 45 বছর পুত্রের বর্তমান বয়স 10 বছর

∴ 5 বছর পর পুত্রের বয়স হবে = (10+5) বছর = 15 বছর

∴ 5 বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে = 45 : 15 = 3 : 1

সংখ্যা দুইটি 5x ও 6x, 5x ও 6x এর গ. সা. গু = x

শর্তমতে, x = 4

5x ও 6x এর ল.সা.গু= 30x = 30 $\times$ 4 = 120

$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. 120.

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,

বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{2}a$

বৃত্তের পরিসীমা / বর্গের পরিসীমা = $\frac{\mathrm{\pi }\sqrt{2}\mathrm{a}}{4a}$ = $\frac{\pi }{2\sqrt{2}}$

বৃত্তের পরিসীমা : বর্গের পরিসীমা = $\mathrm{\pi } : 2\sqrt{2}$

দেওয়া আছে, $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{2}{3}$

∴ $\frac{a}{b}= \frac{2}{3}$ বা, a : b = 2 : 3 = 4 : 6

∴ $\frac{b}{c}= \frac{2}{3}$ বা, b : c = 2 : 3 = 6 : 9

∴ a : b : c = 4 : 6 : 9

∴ a : c = 4 : 9

বাহুর দৈর্ঘ্য a 'হলে ক্ষেত্রফল = $a^2$

30% বৃদ্ধি পেলে বাহুর দৈর্ঘ্য = a + a এর  30% = a + 0.3a

ক্ষেত্রফল = $(1.3a{)}^2=1.69a^2$

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় $=1.69a^2-a^2=0.69a^2$

∴ শতকরা বৃদ্ধি পায় $=\frac{0.69a^2}{a^2}\times 100\%=69\%.$

∴ ক্ষেত্রফল 69% বৃদ্ধি পাবে।

মনে করি, বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে x এবং 3x

বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $\frac{{\mathrm{\pi x}}^2}{\pi {\left(3x\right)}^2}$ [বৃত্তের ক্ষেত্রফল ${\mathrm{\pi r}}^2$ বর্গ এককা ]

                                               = $\frac{\pi x^2}{4 \times \pi x^2}$ = $\frac{1}{9}$ =1 : 9

নির্ণেয় ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 : 9.

বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, ক্ষেত্রফল = $a^2$

10% বৃদ্ধি পেলে বাহুর দৈর্ঘ্য = a + a এর $10\%=a+a.\frac{10}{100}= 1.1a$

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি $=(1.1a{)}^2-a^2=0.21a^2$

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি $=\frac{0.21a^2}{a^2}\times 100\%=21\%$

ক্ষেত্রফল 21% বৃদ্ধি পাবে।

কোনো রাশিকে নির্দিষ্ট অনুপাতে ভাগ করা হচ্ছে সমানুপাতিক ভাগ।  s কে a : b : b : c অনুপাতে ভাগ করতে হলে, S কে মোট a + b + c ভাগ করে যথাক্রমে a, b ও c ভাগ নিতে হয়।

অতএব,

১ম অংশ = S এর $\frac{a}{a+b+c}$ = $\frac{Sa}{a+b+c}$

২য় অংশ = S এর  $\frac{b}{a+b+c}$ = $\frac{Sb}{a+b+c}$

৩য় অংশ = S এর $\frac{c}{a+b+c}$ = $\frac{Sc}{a+b+c}$

কোনো রাশিকে নির্দিষ্ট অনুপাতে ভাগ করাকে সমানুপাতিক ভাগ বলা হয়। M কে a : b : c : d অনুপাতে ভাগ করতে হলে M কে মোট a + b + c + d ভাগ করে যথাক্রমে a, b, c ও d ভাগ নিতে হয়।

অতএব,

১ম অংশ = M এর $\frac{a}{a + b + c + d}= \frac{Ma}{a + b + c + d}$

২য় অংশ = M এর $\frac{b}{a + b + c + d}= \frac{Mb}{a + b + c + d}$

৩য় অংশ = M এর  $\frac{c}{a + b + c + d}= \frac{Mc}{a + b + c + d}$

৪র্থ অংশ = M এর $\frac{d}{a + b + c + d}= \frac{Md}{a + b + c + d}$

প্রদত্ত অনুপাত = $\frac{1}{3}:\frac{3}{5}:\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\times 30:\frac{3}{5}\times 30:\frac{1}{6}\times 30$

= 10 : 18 : 5

∴ অনুপাতগুলোর সরল অনুপাত 10 : 18 : 5.

বাহার ও সোহাগের মারবেলের অনুপাত = 8 : 5

= $(8 \times 6) : (5 \times 6)$ [6 দ্বারা গুণ করে]

= 48 : 30

সোহাগ ও শাওনের মারবেলের অনুপাত = 6 : 5

$= (6 \times 5) : (5 \times 5)$ [5 দ্বারা গুণ করে]

= 30 : 25

∴ বাহার, সোহাগ ও শাওনের মারবেলের অনুপাত= 48 : 30 : 25

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = 48+30 + 25 = 103

∴ বাহারের নিকট মারবেল আছে = ( 1545 এর $\frac{8}{103}$) টি = 120টি

∴ বাহারের নিকট 120টি মারবেল আছে।

তিনটি গাছ হতে আম পাড়ার অনুপাত = 3 : 7 : 4

অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল = 3 + 7 + 4 = 14

প্রথম গাছ হতে আম পাড়া হয়েছে = (112 এর $\frac{3}{14}$)টি  =24 টি

দ্বিতীয় গাছ হতে আম পাড়া হয়েছে = (112 এর $\frac{7}{14}$)টি = 56 টি

তৃতীয় গাছ হতে আম পাড়া হয়েছে = (112 এর $\frac{4}{14}$ ) টি = 32 টি

∴ গাছ তিনটি হতে আম পাড়া হয়েছে যথাক্রমে 24টি, 56টি এবং 32টি।

ধরি, দুইজন প্রার্থীর একজনের ভোট 11x

এবং অপরজনের ভোট 10x.

এখন, 11x + 10x = 5250 বা, 21x = 5250

∴ x = $\frac{5250}{21}=50$

∴ দুই প্রার্থীর ভোটের ব্যবধান (11x - 10x) = x = 250.

মনে করি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = $a^2$ বর্গ একক

বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য তিনগুণ করলে, পরিবর্তিত বাহুর দৈর্ঘ্য = 3a একক

পরিবর্তিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (3a)² বর্গ একক = $9a^2$ বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = $\left(9a^2 – a^2\right)$ বর্গ একক

= $8a^2$ বর্গ একক = $8 \times a^2$ বর্গ একক

= 8 $\times$ পূর্বের ক্ষেত্রফল

∴ ক্ষেত্রফল 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

মিশ্রণে পানি ও সিরাপের অনুপাত = 2 : 3

মনে করি, অনুপাতের সাধারণ রাশি x

∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ 2x একক

এবং সিরাপের পরিমাণ 3x একক

মিশ্রণে পানি ও সিরাপের পরিমাণ = (2x + 3x) একক = 5x একক

মিশ্রণে পানির পরিমাণ শতকরা $\frac{2x \times 100}{5x}$ = 40

∴ 'মিশ্রণে শতকরা 40 ভাগ পানি আছে।

প্রদত্ত অনুপাত = $\frac{5}{6}:\frac{3}{8}:\frac{9}{16}=\frac{5}{6}\times 48 :\frac{3}{8}\times 48 :\frac{9}{16}\times 48$

                      = 40 : 18 : 27

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = 40 + 18 + 27 = 85

∴ প্রথম কৃষক সার কিনেছিল = $\left(\frac{40}{85}\times 425\right)$ কেজি = 200 কেজি

∴ প্রথম কৃষক 200 কেজি সার কিনেছিল।