সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2, তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে। সাধারণত $a{x}^3+bx+c=0$ [যেখানে a, b, c ধ্রুবক এবং a±0] আকারের সমীকরণকে এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়।

যেমন, $x^2+5x+6=0$ সমীকরণে চলক x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2. তাই এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ

দেওয়া আছে, $x^2+5x+6=0$

এখানে চলক x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2

সমীকরণটির মূল দুইটি

এখন, $x^2+5x+6=0$

বা,  $x^2+3x+2x+5=0$

বা, $x(x + 3) + 2(x + 3) = 0$

বা, $(x + 3)(x + 2) = 0$

হয়, x + 3 = 0

বা, x = - 3

অথবা, x + 2 = 0

বা, x = - 2

প্রদত্ত সমীকরণের মূল-2,-3.

নির্ণেয় সমীকরণের মূল দুইটি; -2, -3.

প্রদও সমীকরণ: $(2x-1{)}^2=0$

বা,  $4x^2-4x+1=0........\left(1\right),$ এখানে x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2.

$\therefore$ সমীকরণটির ঘাত 2

$4x^2-4x+1=0$

বা, $4x^2-2x-2x+1=0$

বা, $2x(2x - 1) - (2x - 1) = 0$

বা, $(2x - 1)(2x - 1) = 0$

$2x - 1 = 0$

বা, 2x = 1

বা, $x =\frac{1}{2}$

অথবা, 2x - 1 = 0

বা, 2x = 1

$x =\frac{1}{2}$

প্রদত্ত সমীকরণের মূল, $x =\frac{1}{2},\frac{1}{2}$

এখানে, $y^2=\sqrt{5y}$

বা, $y^2-\sqrt{5y}=0$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $y \left(y-\sqrt{5}\right)=0$

$y=0$ অথবা $y-\sqrt{5}=0$

আবার $y-\sqrt{5}=0$ হলে $y=\sqrt{5}$

নির্ণেয় সমাধান সেট $S=\left\{0,\sqrt{5}\right\}$

$2y^2=4py$

বা, $2y^2-4py=0$

বা, $2y(y - 2p) = 0$

$y(y - 2p) = 0$

$\therefore$ $y = 0$

অথবা y - 2p = 0

$y = 2p$

নির্ণেয় সমাধান (0, 2p)

এখানে, $x^2+5x-6=0$

$x^2+6x-x-6=0$

$x(x+ 6) - (x + 6) = 0$

$(x + 6)(x - 1) = 0$

হয় $x + 6 = 0$

$x = - 6$

অথবা $x - 1 = 0$

$x = 1$

নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {- 6, 1}

এখানে, $2x-1=\frac{1-2x}{x}$

$2x^2-x=1-2x$

$2x^2-x+2x-1=0$

$x(2x - 1) + 1(2x - 1) = 0$

$(2x - 1)(x + 1) = 0$

হয়, $2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x =\frac{ 1}{2}$

অথবা, $x +1 = 0$

$x = - 1$

নির্ণেয় সমাধান সেট, $S = \left\{- 1,\frac{1}{2}\right\}$

$x=\sqrt{2x-1}$

বা, $x^2=2x-1$ [বর্গ করে]

বা, $x^2-2x+1=0$

বা, $(x-1{)}^2=0$

বা, $x - 1 = 0$

$\therefore$ $x=1$

নির্ণেয় মান: x = 1

$2x(x - 3) = x - 3$

$2x(x - 3) - (x - 3) = 0$

$(x - 3)(2x - 1) =0$

হয়, $x - 3 = 0$

$\therefore x = 3$

অথবা, $2x - 1 = 0$

বা, $2x = 1$

$\therefore x=\frac{1}{2}$

নির্ণেয় মান: $x=\frac{1}{2}, 3$

এখানে, $y^2=2y$

বা, $y^2-2y=0$

বা, $y (y-2)=0$

হয়, $y =0$

অথবা, $y - 2 = 0$

$y = 2$

নির্ণেয় সমাধান সেট,  $S=\{0,2\}$

এখানে, $5x^2-x-4=0$

বা,  $5x^2-5x+4x-4=0$

বা, $5x(x - 4) + 4(x - 1) = 0$

বা, $(5x + 4)(x-1) = 0$

হয়, $5x + 4 = 0$

বা, $5x = - 4$

$x =\frac{ - 4}{5}$

অথবা, x - 1 = 0

x = 1

নির্ণেয় সমাধান সেট, $S=\left\{-\frac{4}{5},1\right\}$

এখানে,  $\sqrt{5x-\frac{5}{2}} +2=1$

বা, $\sqrt{5x-\frac{5}{2}} =1-2$

বা,  $\sqrt{5x-\frac{5}{2}} =-1$

কিন্তু বাস্তব সংখ্যার বর্গমূল ঋণাত্মক হতে পারে না। সুতরাং, সমীকরণটির কোনো সমাধান নেই।

নির্ণেয় সমাধান সেট S =$\left\{\right\}$

$x-1=\frac{x-1}{x-2}$

বা, $(x - 1)(x - 2) = (x - 1)$

বা, $(x - 1)(x - 2) - (x - 1) = 0$

বা, $(x - 1)(x - 2 - 1) = 0$

বা, $(x - 3)(x - 1) = 0$

হয়,  $x - 3 = 0$

$\therefore$ $x = 3$

অথবা, $x - 1 = 0$

$\therefore$$x = 1$

নির্ণেয় মান: x = 1, 3

$x^2-x-12=0$

বা, $x^2-4x+3x-12=0$

বা, $x(x - 4) + 3(x - 4) = 0$

বা, $(x - 4)(x + 3) = 0$

হয়, $x - 4 = 0$

বা, $x = 4$

অথবা,  $x + 3 = 0$

বা, $x = - 3$

$x = -3,4$

নির্ণেয় সমীকরণটির মূলদ্বয় – 3 ও 4

$2x^2-4ax=0$

বা, $2x(x - 2a) = 0$

বা, $x(x - 2a) = 0$

$\therefore$ $x = 0$

অথবা, $x - 2a = 0$

বা, $x = 2a$

নির্ণেয় মান x = 0, 2a.

$\frac{x}{x-5}=\frac{1}{x-5}$

বা,  $x(x - 5) = (x - 5)$ [আড়গুণন করে]

বা, $x(x - 5) - (x - 5) = 0$

বা, $(x - 5)(x - 1) = 0$

হয়,  $x - 5 = 0$

$\therefore$ $x = 5$

অথবা, $x-1= 0$

$\therefore$ $x=1$

নির্ণেয় সমাধান x = 1, 5

$\frac{36}{\left(a+8\right)}=\left(a-8\right)$

বা, $(a + 8)(a - 8) = 36$

বা, $a^2-8^2=36$

বা, $a^2=100$

বা, $(a{)}^2=(\pm 10{)}^2$

$\therefore$  $a = \pm 10$ [বর্গমূল করে]

নির্ণেয় সমাধান: $a = \pm 10$

$x(x + 35) = 1950$

বা, $x^2+35x=1950$

বা, $x^2+35x-1950=0$

বা, $x^2+65x-30x-1950=0$

বা, $(x + 65)(x - 30) = 0$

হয়, $x + 65 = 0$

$\therefore$ $x = - 65$

অথবা, x - 30 = 0

$\therefore$ x = 30

নির্ণেয় সমাধান x = - 65, 30

এখানে, $x+\frac{4}{x}=4$

বা,$\frac{x^2+4}{x}=4$

বা, $x^2+4=4x$

বা, $x^2-4x+4=0$

বা,$(x{)}^2-2.x.2+(2{)}^2=0$

বা,$x - 2 = 0$ [ বর্গমূল করে]

$\therefore$ x = 2 (দেখানো হলো)

$3x-4=-\frac{1}{x}$

বা, $3x+\frac{1}{x}=4$

বা, $\frac{3x^2+1}{x}=4$

বা, $3x^2+1=4x$

বা, $3x^2-4x+1=0$

বা, $3x^2-3x-x+1=0$

বা, $\left(x-1\right)\left(3x-1\right)=0$

হয়, x - 1 = 0

বা, x = 1

অথবা, 3x - 1 = 0

বা, 3x = 1

$\therefore x=\frac{1}{3}$

নির্ণেয় সমাধান সেট , S ={1, $\frac{1}{3}$}

মনে করি, সংখ্যাটি x

$\therefore$ পরবর্তী সংখ্যা=x+1

শর্তমতে, $x^2+x=9(x+1)$

বা, x(x + 1) -9(x +1)=0

বা, (x + 1)(x - 9) = 0

হয়, x + 1 = 0

$\therefore$ x = - 1

কিন্তু x = - 1 ইহা গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ -1 স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

অথবা, $x-9=0$

$\therefore$ $x=9$

নির্ণেয় সংখ্যাটি 9

ধরি, সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে x ও x + 2

প্রশ্নমতে, $x + x + 2 = 26$

বা, $2x = 26 - 2 = 24$

বা, $x=\frac{24}{2}=12$

$x=12$

বড় সংখ্যাটি =x+2=12 + 2 = 14 .

নির্ণেয় বড় সংখ্যাটি 14.

মনে করি, ছোট সংখ্যাটি 2x + 1

$\therefore$ বড় সংখ্যাটি = 2x + 3

প্রশ্নমতে, $(2x+3{)}^2-(2x+1{)}^2=72$

বা, $4x^2+12x+9-4x^2-4x-1=72$

বা, $8x + 8 = 72$

বা, $8x = 72 - 8$

বা, $8x = 64$

$\therefore x = 8$

$\therefore$ বড় সংখ্যাটি$= 2x + 3 = 2\times 8 + 3=19$

নির্ণেয় বড় সংখ্যাটি 19.

ধরি, বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য= a সে.মি.

শর্তমতে, a² = 100

বা, $\sqrt{a^2}=\sqrt{100}$ [বর্গমূল করে]

বা, ${\left(\sqrt{a^2}\right)}^2={\left(\sqrt{100}\right)}^2$

বা, a = 10

$\therefore$বগের পরিসীমা = 4a সে.মি. = 4 $\times$ 10 সে.মি. = 40 সে.মি

নির্ণেয় পরিসীমা 40 সে.মি.।

ধরি, সংখ্যা দুইটি x ও  x + 1

শর্তমতে, $(x+1{)}^2-x^2=15$

বা, $x^2+2x+1-x^2=15$

বা, $2x +1 =15$

বা, $2x=15-1=14$

বা, $x=\frac{14}{2}$

$\therefore x=7$

$\therefore$সংখ্যা দুইটি x = 7 এবং x + 1 = 7 + 1 = 8

$\therefore$ সংখ্যা দুইটির বর্গের সমষ্টি = 7² + 8² = 49 + 64 = 113

নির্ণেয় সমষ্টি  113

ধরি, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = x একক

শর্তমতে, $x^2=7^2+{24}^2$

বা, $x^2=49+576=625$

বা, $x=\sqrt{625}$

$\therefore x=25$

$\therefore$জমির অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 25 একক

নির্ণেয় দৈর্ঘ্য 25 একক।