সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

প্রদত্ত অনুক্রম : $0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}............$

$=\frac{1-1}{1},\frac{2-1}{2},\frac{3-1}{3},\frac{4-1}{4},\frac{5-1}{5}...........\frac{n-1}{n}$

অনুক্রমটির সাধারণ পদ =$\frac{n-1}{n}$যেখানে, n = 1, 2, 3, ......

যখন কতকগুলো রাশি একটা বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের ও পরের রাশির সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায়, তখন এভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেটকে অনুক্রম বলা হয়। যেকোনো অনুক্রমের পদসংখ্যা অসীম। কোনো অনুক্রমের প্রথম রাশিকে প্রথম পদ, দ্বিতীয় রাশিকে দ্বিতীয় পদ, তৃতীয় রাশিকে তৃতীয় পদ ইত্যাদি বলা হয়।

প্রদত্ত অনুক্রম: $\frac{1}{3},-\frac{3}{4},1,\frac{7}{6}............$

${(-1)}^{1+1}\frac{2.1-1}{1+2},-{(-1)}^{2+1}\frac{2.2-1}{2+2} {(-1)}^{3+1}\frac{2.3-1}{3+2}{(-1)}^{4+1}\frac{2.4-1}{4+2}{..........(-1)}^{n+1}\frac{2.n-1}{n+2}$অনুক্রমটির সাধারণ পদ ${(-1)}^{n+1}\frac{2.n-1}{n+2}$

প্রদত্ত অনুক্রম $\frac{2}{5},\frac{3}{10},\frac{4}{15}............$

অনুক্রমটির প্রথম পদ= $\frac{2}{5}=\frac{1+1}{5.1}$

দ্বিতীয় পদ= $\frac{3}{10}=\frac{2+1}{5.2}$

তৃতীয় পদ = $\frac{4}{15}=\frac{3+1}{5.3}$

অনুক্রমটির n তম পদ $\frac{n+1}{5n}$যেখানে n = 1 2, 3, .....

প্রদত্ত অনুক্রম: $\frac{4}{3},-\frac{7}{5},\frac{10}{7},-\frac{13}{9}............$

অনুক্রমটির প্রথম পদ

প্রদত্ত অনুক্রম: $\frac{2}{5},\frac{3}{11},\frac{4}{17},-\frac{5}{23}............$

অনুক্রমটির প্রথম পদ = $\frac{2}{5}=\frac{1+1}{6.1-1}$

দ্বিতীয় পদ =$\frac{3}{11}=\frac{2+1}{6.2-1}$

তৃতীয় পদ= $\frac{4}{17}=\frac{3+1}{6.3-1}$

চতুর্থ পদ= $\frac{5}{23}=\frac{4+1}{6.4-1}$

একইভাবে n-তম পদ $=\frac{n+1}{6n-1}$

30-তম পদ $=\frac{30+1}{6.30-1}=\frac{31}{180-1}=\frac{31}{179}$

নির্ণেয় অনুক্রমটির 30 তম পদ $\frac{31}{179}$

প্রদত্ত অনুক্রম :  $\frac{2}{5},-\frac{5}{8},\frac{8}{11},-\frac{11}{14}............$

অনুক্রমটির প্রথম পদ=  $\frac{2}{5}={\left(-1\right)}^{1+1}\frac{3.1-1}{3.1+2}$

দ্বিতীয় পদ=$-\frac{5}{8}={\left(-1\right)}^{2+1}\frac{3.2-1}{3.2+2}$

তৃতীয় পদ =$\frac{8}{11}={\left(-1\right)}^{3+1}\frac{3.3-1}{3.3+2}$

চতুর্থ পদ =$-\frac{11}{14}={\left(-1\right)}^{4+1}\frac{3.4-1}{3.4+2}$

একইভাবে, n-তম পদ $={\left(-1\right)}^{n+1}\frac{3n-1}{3n+2}$

অনুক্রমটির 55 তম পদ

$$\begin{gathered} ={\left(-1\right)}^{55+1}\frac{3.55-1}{3.55+2} \\ ={\left(-1\right)}^{56}\frac{165-1}{165+2}=1\times \frac{164}{167}=\frac{164}{167} \end{gathered}$$

এখানে, অনুক্রমের n তম পদ$=\frac{5+{(-1)}^n}{15n+2}$

অনুক্রমের 20 তম পদ

$$\begin{gathered} =\frac{5+{(-1)}^{20}}{15\times 20+2} \\ =\frac{5+1}{300+2} \\ =\frac{6}{302} \\ =\frac{3}{151} \end{gathered}$$

অনুক্রমটির 20 তম পদ $=\frac{3}{151}$

দেওয়া আছে,

অনুক্রমের সাধারণ পদ$=5+{(-1)}^{n-1}$ যেখানে n = 1, 2, 3 ........

অনুক্রমটি হবে : $5 + {(-1)}^{1-1},5 + {(-1)}^{2-1}, 5+{(-1)}^{3-1},5+{(-1)}^{4-1}$

$=5 + {(-1)}^0,5 + {(-1)}^1, 5+{(-1)}^2,5+{(-1)}^3...........$

$$\begin{gathered} =5 + 1,5-1,5+1,5-1,.... \\ =6,4,6,4......... \end{gathered}$$

নির্ণেয় অনুক্রম: $6,4,6,4.........$

এখানে, অনুক্রমের n-তম পদ $=\frac{17}{3n(n-1)}$

অনুক্রমের 15 তম পদ$=\frac{17}{3\times 15 (15-1)}=\frac{17}{45\times 14}=\frac{17}{630}$

অনুক্রমের 25 তম পদ $=\frac{17}{3\times 25 (25-1)}=\frac{17}{3\times 25\times 24}=\frac{17}{1800}$

নির্ণেয় অনুক্রমটির 15 তম পদ $\frac{17}{630}$ এবং 25 তম পদ $\frac{17}{1800}$

দেওয়া আছে, অনুক্রমের সাধারণ পদ $={(-1)}^{n+1} \frac{n+1}{4n-1}$, যেখানে n = 1, 2, 3, __________

$\therefore$ অনুক্রমটি হবে : ${(-1)}^{1+1}\frac{1+1}{4\times 1-1},{(-1)}^{2+1}\frac{2+1}{4\times 2-1},{(-1)}^{3+1}\frac{3+1}{4\times 3-1},{(-1)}^{4+1}\frac{4+1}{4\times 4-1}$  _________

= ${(-1)}^2\frac{2}{4-1},{(-1)}^3\frac{3}{8-1},{(-1)}^4\frac{4}{12-1},{(-1)}^5\frac{5}{16-1}$ _________

= $\frac{3}{2}, -\frac{3}{7}, \frac{4}{11}, -\frac{1}{3}$ ________

নির্ণেয় অনুক্রম : $\frac{3}{2}, -\frac{3}{7}, \frac{4}{11}, -\frac{1}{3}$

কোনো অনুক্রমের পদগুলো পরপর যোগ (+) চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করে একটি ধারা পাওয়া যায়। যেমন, 3 + 6 + 9 + 12 + 15 +...... একটি ধারা।

কোনো ধারার যেকোনো পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সবসময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।
যেমন: 5 + 7 + 9 + 11 +....... একটি সমান্তর ধারা।

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সবসময় সমান হলে অর্থাৎ, যেকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল সর্বদা সমান পাওয়া গেলে, সেই ধারাটিকে গুণোত্তর ধারা বলে। যেমন: 2 + 4 + 8 + 16 +....... একটি গুণোত্তর ধারা।

পদসংখ্যা অনুযায়ী ধারা দুই প্রকার।
যথা: (i) সসীম বা সান্ত ধারা এবং (ii) অসীম বা অনন্ত ধারা।

প্রদত্ত ধারা: 1+7+13+19 + .......

এখানে, দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = 7-1=6
তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 13-7=6.
চতুর্থ পদ – তৃতীয় পদ = 19 - 13 = 6
দেখা যাচ্ছে, ধারাটির পদসংখ্যা নির্দিষ্ট নয় এবং পরপর দুইটি পদের অন্তর বা বিয়োগফল সমান।

অতএব, ধারাটি একটি অসীম সমান্তর ধারা।

এখানে, দ্বিতীয় পদ ও প্রথম পদের অনুপাত $=\frac{6}{3}=2$

তৃতীয় পদ ও দ্বিতীয় পদের অনুপাত $=\frac{12}{6}=2$

চতুর্থ পদ ও তৃতীয় পদের অনুপাত $=\frac{24}{12}=2$

দেখা যাচ্ছে, ধারাটির পদসংখ্যা নির্দিস্ট নয় এবং যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান।
অতএব, ধারাটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা।

বাস্তব সংখ্যার একটি অনুক্রম $u_1+u_2+ u_3+ ....., +u_n$হলে $u_1+u_2+ u_3+ ....., +u_n+.......$ হবে বাস্তব সংখ্যার একটি অসীম ধারা। এই ধারাটির n তম পদ $u_n$

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_a=\frac{n}{2}\left\{2a+\left(n-1\right)d\right\}$

প্রদত্ত ধারা: 1 + 2 + 3 +4+.........
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1

এবং সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1 = 1

সমান্তর ধারাটির প্রথম সংখ্যক n পদের সমষ্টি,

$$\begin{gathered} S_n=\frac{n}{2}\left\{2a+\left(n-1\right)d\right\} \\ =\frac{n}{2}\left\{2.1+\left(n-1\right).1\right\} \\ =\frac{n}{2}\left\{2+n-1\right\}=\frac{n(n+1)}{2} \end{gathered}$$

নির্ণেয় প্রথম সংখ্যক পদের সমষ্টি $\frac{n(n+1)}{2}$

প্রদত্ত ধারা: সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 17

এবং সাধারণ অন্তর, d = 20 - 17 = 3

আমরা জানি,

সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1) d

সমান্তর ধারাটির 25 তম F = 17 + (25 - 1) 3

= 17 + 24 $\times$3 = 17 + 72 = 89

নির্ণেয় ধারাটির 25 তম পদ 89।

প্রদত্ত ধারা 6 + 10 + 14 + 18 +.........

সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 6 এবং সাধারণ অন্তর, d = 10 - 6 = 4 আমরা জানি, সমান্তর ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি

$S_a=\frac{n}{2}\left\{2a+\left(n-1\right)d\right\}$

সমান্তর ধারাটির প্রথম 32টি পদের সমষ্টি,

$$\begin{gathered} S_{32}=\frac{32}{2}\left\{2\times 6+\left(32-1\right)4\right\} \\ =16\left\{12+124\right\} \\ =16\times 136 \\ =2176 \end{gathered}$$

নির্ণেয় ধারাটির প্রথম 32টি পদের সমষ্টি 2176.

প্রদত্ত ধারা: 5 + 8 + 11 + 14 +..........
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
এবং সাধারণ অন্তর, d - 8 - 5 = 3

মনে করি, ধারাটির n তম পদ 173

বা, $a + (n - 1) d = 173$

বা, $5 + (n - 1) 3-173$

বা, $5 + 3n - 3 = 173$

বা  $3n + 2 = 173$

বা, $3n = 173 - 2 = 171$

$\therefore$ $n = 57$

$\therefore$ধারাটির 57 তম পদ 173.

কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে, n তম পদ =ar^n-1

n সংখ্যক পদের সমষ্টি, $S_n=a\frac{r^n-1}{r-1}$ যখন  r >1

$S_n=a\frac{1-r^n}{1-r}$ যখন r <1

অসীম গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে $a+ar+a{r}^2+a{r}^3+.........$অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি |r| < 1 অর্থাৎ 1 < r < 1 হয়

এক্ষেত্রে, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি  $S\infty =\frac{a}{1-r}$

এখানে, অসীম গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 5

এবং সাধারণ অনুপাত, r = 3

গুণোত্তর ধারা: $a+ar+a{r}^2+a{r}^3+.........$

$$\begin{gathered} =5+5\times 3+5\times 3^2+5\times 3^3+...... \\ = 5 + 15 + 5\times 9 + 5\times 27 +.......... \\ = 5 + 15 + 45 +135 +.......... \end{gathered}$$

নির্ণেয় ধারা: $5 + 15 + 45 +135 +.......$

এখানে, অসীম গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{1}{2}$

গুণোত্তর ধারা: $a+ar+a{r}^2+a{r}^3+........$

$=2+2\times \frac{1}{2}+2\times (\frac{1}{2}{)}^2+2\times (\frac{1}{2}{)}^3+......$

$=2+1+2\times \frac{1}{4}+2\times \frac{1}{8}+......$

$=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+......$

নির্ণেয় ধারা:  $2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+......$

এখানে, অসীম গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত r = 0.3 অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি |r| < 1

বা - 1 < r < 1 হয়।

এখন, |r| = |0.3| = 0.3 < 1

অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমস্টি বিদ্যমান।

এখানে, অসীম গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত, r= 2.7 অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি |r| < 1

বা - 1 < r < 1 হয়।

এখন, |r| = |2.7| = 2.7 > 1

অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান নয়।

প্রদত্ত ধারাটি = p + pq + pq² +………….

ধরি, ধারাটির প্রথম পদ, a=p এবং সাধারণ অনুপাত, $d=\frac{pq}{p}=q$

$\therefore$ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।

$\therefore$ধারাটির ৭ম পদ= $a{r}^{7-1}=a{r}^6=p{q}^6$

নির্ণেয় পদ  $p{q}^6$

প্রদত্ত ধারা= $q+qr+q{r}^2+.....$

ধারাটির ১ম পদ, a = ৭ এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{qr}{q}=q$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ= ar^{n - 1}

৯ম পদ= $a{r}^{9-1}=q\times r^8=q{r}^8$

নির্ণেয় ৯ম পদ $q{r}^8$

প্রদত্ত ধারা$={(3x+5)}^{-1}+{(3x+5)}^{-2}+{(3x+5)}^{-3}+.......$

x = - 1 হলে, $3x + 5 = 3(- 1)+ 5 = - 3+ 5=2$

প্রদত্ত ধারা:  $2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+........$

$=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+..........$

নির্ণেয় ধারা $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+..........$

প্রদত্ত অসীম গুণোত্তর ধারা :$1,-\frac{2}{5},\frac{4}{5^2},-\frac{8}{5^3}+............$

ধারাটির প্রথম পদ, a=1

এবং সাধারণ অনুপাত,

$$\begin{gathered} r=\frac{2}{5}÷1 \\ =\frac{2}{5} \end{gathered}$$

অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি |r| < 1 বা - 1 < r < 1 হয়।

এখন $\left|r\right|=\left|\frac{2}{5}\right|=\frac{2}{5}<1$

অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

দেওয়া আছে, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ =b

এবং সাধারণ অনুপাত= q(q>0)

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n  তম পদ= $b{q}^{n-1}$

গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ $=b{q}^{2-1}=bq$

এবং গুণোত্তর ধারার দশম পদ $=b{q}^{10-1}=b{q}^9$

নির্ণেয় পদ $bq$ও $b{q}^9$

প্রদত্ত অসীম গুণোত্তর ধারা:  $\frac{1}{7^2}+\frac{1}{7^3}+\frac{1}{7^4}+\frac{1}{7^5}+......$

ধারাটির প্রথম পদ, $a=\frac{1}{7^2}$

এবং সাধারণ অনুপাত $r=\frac{1}{7^3}+\frac{1}{7^2}$

$=\frac{1}{7^3}\times 7^2=\frac{1}{7}$

অসীম গুণোত্তর ধারার অসমীতক সমষ্টি থাকবে যদি |r|<1 বা-1

অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি আছে।

প্রদত্ত অসীম গুণোত্তর ধারা: 6 + 12 + 24 + 48 +........

ধারাটির প্রথম পদ, a = 6

এবং সাধারণ অনুপাত, r = 12$÷$6 = 2

অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান থাকবে যদি |r|<1বা-1

এখন, |r| = |2| = 2 > 1

অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান নাই।

প্রদত্ত অসীম গুণোত্তর ধারা: $\frac{1}{16},+\frac{1}{4}+1+4...........$

ধারাটির প্রথম পদ $a=\frac{1}{16}$

এবং সাধারণ অনুপাত $r= \frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\times 16=4$

অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি |r|<1 বা -1

এখন, |r| = |4| = 4 > 1

অসীম ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নাই।

প্রদত্ত ধারা: $1-\frac{7}{2},+\frac{49}{4}-\frac{343}{8}+......$

যা একটি অসীম গুণোত্তর ধারা। যার ১ম পদ, a = 1

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{-{\displaystyle \frac{7}{2}}}{1}=-\frac{7}{2}$

কোনো অসীম গুণোত্তর সমষ্টি থাকার শর্ত |r| <1, - 1 < r < 1

প্রদত্ত ধারাটি $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+......$

এখানে, প্রথম পদ u₁=1=a এবং দ্বিতীয় পদ u₂=$\frac{1}{3}$

সাধারণ অনুপাত $r=\frac{u_2}{u_1}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{1}=\frac{1}{3}$

ধারাটি গুণোত্তর ধারা

এখানে, $r=\frac{1}{3}<1$ সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,

$S\infty =\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}=1\times \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

নির্ণেয় অসীমতক সমষ্টি $\frac{3}{2}$

প্রদত্ত অসীম গুণোত্তর ধারা: $8+4+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+......$

ধারাটির প্রথম পদ, a = 8

এবং সাধারণ অনুপাত  $r=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}<1$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি

$S\infty =\frac{a}{1-r}=\frac{8}{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{8}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=8\times 2=16$

নির্ণেয়, অসীমতক সমষ্টি 16

প্রদত্ত অসীম গুণোত্তর $\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}......$

ধারাটির প্রথম পদ, $a=\frac{1}{4}$

এবং সাধারণ অনুপাত $r= \frac{1}{4^2}÷\frac{1}{4}=\frac{1}{4^2}\times 4=\frac{1}{4}<1$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান

ধারাটির অসীমতক সমন্টি, $S_n=\frac{a}{1-r}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{4}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{{\displaystyle \frac{4-1}{4}}} =\frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{4}{3}=\frac{1}{3}$

নির্ণেয় অসীমতক সমষ্টি $\frac{1}{3}$

প্রদত্ত অসীম গুণোত্তর ধারা: $0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 +.........$

ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.1

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{0.01}{0.1}=\frac{1}{10}<1$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি $S\infty =\frac{a}{1-r}=\frac{0.1}{1-{\displaystyle \frac{1}{10}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{10}}}{{\displaystyle \frac{10-1}{10}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{10}}}{{\displaystyle \frac{9}{10}}}=\frac{1}{10}\times \frac{10}{9}=\frac{1}{9}$

নির্ণেয় অসীমতক সমষ্টি $\frac{1}{9}$

প্রদত্ত অসীম গুণোত্তর ধারা:  $6 + 18 + 54 + 162 +............$

ধারাটির প্রথম পদ, a = 6

এবং সাধারণ অনুপাত, r = 18$÷$6 = 3 > 1

যেহেতু r > 1

সেহেতু ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নাই।

$0.0\dot{2 }$$=0.02222.........$

$= 0.02 + 0.002 + 0.0002 + 0.00002 +..........$

এটি একটি অনন্তগুণোত্তর ধারা। যার ১ম পদ, a = 0.02

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{0.002}{0.02}=0.1<1$

এখানে, $0.0\dot{5} =0.05555..........$

ইহা একটি অসীম গুণোত্তর ধারা। যার প্রথম পদ, a = 0.05

এবং সাধারণ অনুপাত $r=\frac{0.005}{ 0.05} =0.1<1$

$0.0\dot{5}=\frac{a}{ 1-r} =\frac{0.05}{0.9}=\frac{1}{8}$

নির্ণেয় মূলদীয় ভগ্নাংশ $\frac{1}{8}$

$0.\dot{5}=0.555555,.......$

$= 0.5 + 0.05 + 0.005 + 0.005 + 0.0005 +.........$

যা একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা যার ১ম পদ, a = 0.5

সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{0.05}{0.5}=0.1<1$

যেহেতু r < 1

$\therefore$ধারাটির সমষ্টি বিদ্যমান।

$\therefore$ধারাটির সমষ্টি= $\frac{a}{1-r} =\frac{0.5}{1-0.1}=\frac{0.5}{0.9}=\frac{5}{9}$

নির্ণেয় ধারা $= 0.5 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 +.....$

এবং ধারাটির সমষ্টি $\frac{5}{9}$

$0.\ddot{12}= 0.12121212.....= 0.12+0.0012+0.000012+......$

এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা।

ধারাটির প্রথম পদ, a= 0.12

সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{0.0012}{0.12}=0.1<1$

$0.\ddot{12}\frac{a}{1-r} =\frac{0.12}{1-0.1}=\frac{0.12}{0.99}=\frac{4}{33}$

নির্ণেয় মূলদীয় ভগ্নাংশ $\frac{4}{33}$

$0.0\ddot{75} = 0.075757575..........$

$=0.075 +0.00075 +0.0000075 + ......$

এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা।

ধারাটির ১ম পদ, a = 0.075

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{0.00075}{0.075}=0.01<1$

$0.0\ddot{75}=\frac{a}{1-r} =\frac{0.075}{1-0.01}=\frac{0.12}{0.99}=\frac{75}{990}=\frac{5}{66}$

নির্ণেয় মূলদীয় ভগ্নাংশ $\frac{5}{66}$

$3.0\dot{2}= 3.02222.........$

$= 3+(0.02+0.002+0.0002+..........)$

প্রথম পদ, a = 0.02

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{0.002}{0.02}=0.1<1$

$\therefore 3.0\dot{2}= 3+\frac{a}{1-r}$

$= 3+\frac{0.02}{1-0.1}=\frac{272}{90}$

নির্ণেয় মূলদীয় ভগ্নাংশ $\frac{272}{90}$

$1.\dot{2}3\dot{1} = 1.231231231231..........$

$=1+( 0.231+ 0.000231+0.000000231+......)$

এখানে বন্ধনীর ভিতরের ধারাটি একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা। যার ১ম পদ, a = 0.23

এবং সাধারণ অনুপাত, r = 0.000231 + 0.231 = 0.001 < 1

$1.\dot{2}3\dot{1} =1+\frac{a}{1-r} =1+\frac{0.231}{1-0.001}=1+\frac{0.231}{0.999}=1+\frac{77}{333}=1+\frac{333+77}{333}=\frac{410}{333}$

নির্ণেয় মূলদীয় ভগ্নাংশ $\frac{410}{333}$

$2.\dot{1}0\dot{2} = 2.102102102 .......$

$=2+(0.102 +0.000102 +0.000000102 + ... ... ...)$

এখানে, বন্ধনীর অভ্যন্তরের ধারাটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা। যার প্রথম পদ, a = 0.102

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{0.000102}{0102}=0.001<1$

$2.\dot{1}0\dot{2} =2+\frac{a}{1-r} =2+\frac{0.102}{1-0.001}=2+\frac{0.102}{0.999}=2+\frac{102}{999}=2\frac{102}{999}$নির্ণেয় মূলদীয় ভগ্নাংশ $2\frac{102}{999}$

এখানে, $2.0\ddot{42}= 2.0424242........$

$=2+(0.042+0.00042 +0.0000042 +.....)$

বন্ধনীর ভিতরের অংশটি হলো একটি অসীম গুণোত্তর ধারা। যার প্রথম পদ, a = 0.042

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{0.00042}{0.042}=0.01<1$

$2.0\dot{4}\dot{2} =2+\frac{a}{1-r} =2+\frac{0.042}{1-0.01}=2+\frac{0.042}{0.99}=2+\frac{7}{165}=\frac{337}{165}$

নির্ণেয় মূলদীয় ভগ্নাংশ $\frac{337}{165}$

$0.0\dot{1}2\dot{3}=0.0123123123......$

$0.0123+0.0000123+0.0000000123+......$

এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ, a=0.0123 এবং

সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{0.0000123}{0.0123}=0.001$

r<1

$0.\dot{1}2\dot{3=\frac{a}{1-r}} =\frac{0.0123}{1-0.001}=\frac{0.0123}{0.999}=\frac{123}{9990}=\frac{41}{3330}$

নির্ণেয় মূলদীয় ভগ্নাংশ  $\frac{41}{3330}$

$0.\dot{2}\dot{1} = 0.212121.....$

$= 0.21 + 0.0021 + 0.000021 +........$

এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা যার ১ম পদ a = 0.21

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{0.0021}{0.21}=0.01$