$\frac{4}{3},-\frac{7}{5},\frac{10}{7},-\frac{13}{9}............$অনুক্রমটির n তম পদ কত?

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

প্রদত্ত অনুক্রম : $0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}............$

$=\frac{1-1}{1},\frac{2-1}{2},\frac{3-1}{3},\frac{4-1}{4},\frac{5-1}{5}...........\frac{n-1}{n}$

অনুক্রমটির সাধারণ পদ =$\frac{n-1}{n}$যেখানে, n = 1, 2, 3, ......

যখন কতকগুলো রাশি একটা বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের ও পরের রাশির সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায়, তখন এভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেটকে অনুক্রম বলা হয়। যেকোনো অনুক্রমের পদসংখ্যা অসীম। কোনো অনুক্রমের প্রথম রাশিকে প্রথম পদ, দ্বিতীয় রাশিকে দ্বিতীয় পদ, তৃতীয় রাশিকে তৃতীয় পদ ইত্যাদি বলা হয়।

প্রদত্ত অনুক্রম: $\frac{1}{3},-\frac{3}{4},1,\frac{7}{6}............$

${(-1)}^{1+1}\frac{2.1-1}{1+2},-{(-1)}^{2+1}\frac{2.2-1}{2+2} {(-1)}^{3+1}\frac{2.3-1}{3+2}{(-1)}^{4+1}\frac{2.4-1}{4+2}{..........(-1)}^{n+1}\frac{2.n-1}{n+2}$অনুক্রমটির সাধারণ পদ ${(-1)}^{n+1}\frac{2.n-1}{n+2}$

প্রদত্ত অনুক্রম $\frac{2}{5},\frac{3}{10},\frac{4}{15}............$

অনুক্রমটির প্রথম পদ= $\frac{2}{5}=\frac{1+1}{5.1}$

দ্বিতীয় পদ= $\frac{3}{10}=\frac{2+1}{5.2}$

তৃতীয় পদ = $\frac{4}{15}=\frac{3+1}{5.3}$

অনুক্রমটির n তম পদ $\frac{n+1}{5n}$যেখানে n = 1 2, 3, .....

প্রদত্ত অনুক্রম: $\frac{2}{5},\frac{3}{11},\frac{4}{17},-\frac{5}{23}............$

অনুক্রমটির প্রথম পদ = $\frac{2}{5}=\frac{1+1}{6.1-1}$

দ্বিতীয় পদ =$\frac{3}{11}=\frac{2+1}{6.2-1}$

তৃতীয় পদ= $\frac{4}{17}=\frac{3+1}{6.3-1}$

চতুর্থ পদ= $\frac{5}{23}=\frac{4+1}{6.4-1}$

একইভাবে n-তম পদ $=\frac{n+1}{6n-1}$

30-তম পদ $=\frac{30+1}{6.30-1}=\frac{31}{180-1}=\frac{31}{179}$

নির্ণেয় অনুক্রমটির 30 তম পদ $\frac{31}{179}$

প্রদত্ত অনুক্রম :  $\frac{2}{5},-\frac{5}{8},\frac{8}{11},-\frac{11}{14}............$

অনুক্রমটির প্রথম পদ=  $\frac{2}{5}={\left(-1\right)}^{1+1}\frac{3.1-1}{3.1+2}$

দ্বিতীয় পদ=$-\frac{5}{8}={\left(-1\right)}^{2+1}\frac{3.2-1}{3.2+2}$

তৃতীয় পদ =$\frac{8}{11}={\left(-1\right)}^{3+1}\frac{3.3-1}{3.3+2}$

চতুর্থ পদ =$-\frac{11}{14}={\left(-1\right)}^{4+1}\frac{3.4-1}{3.4+2}$

একইভাবে, n-তম পদ $={\left(-1\right)}^{n+1}\frac{3n-1}{3n+2}$

অনুক্রমটির 55 তম পদ

$$\begin{gathered} ={\left(-1\right)}^{55+1}\frac{3.55-1}{3.55+2} \\ ={\left(-1\right)}^{56}\frac{165-1}{165+2}=1\times \frac{164}{167}=\frac{164}{167} \end{gathered}$$