সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

বৃত্ত একটি সমতলীয় জ্যামিতিক চিত্র যার বিন্দুগুলো কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত। নির্দিষ্ট বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র। নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্ব বজায় রেখে কোনো বিন্দু যে আবদ্ধ পথ চিত্রিত করে তাই বৃত্ত।

যদি কোনোঁ বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাসার্ধ r হয় তবে O থেকে সমতলের যে সকল বিন্দুর দূরত্ব r এর চেয়ে কম এদের সেটকে বৃত্তটির অভ্যন্তর বলা হয়। বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ সম্পূর্ণভাবে বৃত্তের অভ্যন্তরেই থাকে।

চিত্রে, P বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু।

যদি কোনো বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাসার্ধ হয় r তবে O থেকে সমতলের যে সকল বিন্দুর দূরত্ব r  এর চেয়ে বেশি এদের সেটকে বৃত্তটির বহির্ভাগ বলা হয়। কোনো বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু ও বহিঃস্থ একটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটিকে একটি ও কেবল একটি বিন্দুতে ছেদ করে।

চিত্রে, P বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু এবং Q বৃত্তের বহিঃস্থ একটি বিন্দু। PQ রেখাংশ বৃত্তটিকে কেবল R বিন্দুতে ছেদ করে।

বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা। বৃত্তের কোনো জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে জ্যাটিকে বৃত্তের ব্যাস বলা হয়।

চিত্রে, AB ও AC বৃত্তটির দুইটি জ্যা এবং বৃত্তটির কেন্দ্র O । এদের মধ্যে AC জ্যাটি ব্যাস; কারণ জ্যাটি বৃত্তটির কেন্দ্রগামী।

বৃত্তের কোনো জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে জ্যাটিকে বৃত্তের ব্যাস বলা হয়। অর্থাৎ বৃত্তের, কেন্দ্রগামী যেকোনো জ্যা হলো ব্যাস।

চিত্রে, বৃত্তটির কেন্দ্র O । AB জ্যাটি ব্যাস; কারণ জ্যাটি বৃত্তটির কেন্দ্রগামী।

বৃত্তের কেন্দ্র হতে বৃত্তস্থ কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলে।

চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র A, B ও C বৃত্তস্থ বিন্দু। OA, OB ও OC এর প্রত্যেকটি বৃত্তটির ব্যাসার্ধ।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ADBC বৃত্তে AD ব্যাস। BC ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা নিই। O, C এবং O, B যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা-অর্থাৎ AD > BC.

প্রমাণ: OA = OB = OC=OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

এখন, △ OCB-এ, OC + OB > BC

[ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা, OA+OD >BC  [ OA= OB = OC = OD]

$\therefore$AD > BC [OA + OD = AD]

(প্রমাণিত)

আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

$\therefore$বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যায়ের দৈর্ঘ্য = 2 $\times$ ব্যাসার্ধ

=2$\times$6 = 2 $\times$6 সে.মি. = 12 সে.মি.।

আমরা জানি, কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।

$\therefore$CD = AB = 7 সে.মি.

$\therefore$CD যে বৃত্তের ব্যাস ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ =$\frac{7}{5}=3.5$ সে.মি

নির্ণেয় ব্যাসার্ধ 3.5 সে.মি.।

এখানে,

O কেন্দ্ররিশিষ্ট ABC বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = 15 সে.মি.

এবং OP = 9 সে.মি.।

△ AOP সমকোণী ত্রিভুজে,

$O{A}^2=A{P}^2+O{P}^2$

বা, $A{P}^2=O{A}^2-O{P}^2$

বা, $A{P}^2={15}^2-9^2=225-81$

বা, $AP=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$

AP এর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.।

আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে। সুতরাং, AP = PB.

$AB=AP+ BP$

$= AP + AP = 2AP = 2\times 12 = 24$ সে.মি

নির্ণেয় জ্যা দৈর্ঘ্য 24 সে.মি.।

ধরি,

বৃত্তটির ব্যাস, PQ = 26 সে.মি.

ব্যাসার্ধ, PC = CQ = AC

$=OC=\frac{26}{2}$সে.মি

$=13$ সে.মি

কেন্দ্র C হতে AB জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব CD= 5 সে.মি. এখন, সমকোণী ত্রিভুজ ACD হতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2$

বা, $A{D}^2=A{C}^2-C{D}^2$

বা,$AD=\sqrt{A{C}^2-C{D}^2}$$=\sqrt{{13}^2-5^2}$$=\sqrt{169-25}$$=\sqrt{144}$$=12$

জ্যা AB = 2$\times$AD = 2 $\times$12 সে.মি. = 24 সে.মি.

নির্ণেয় জ্যা এর দৈর্ঘ্য 24 সে.মি.।

এখানে, ব্যাস ভিন্ন জ্যা PQ = ৪ সে.মি.

যেহেতু কেন্দ্র O থেকে জ্যা PQ এর উপর OS লম্ব

$\therefore$$PS=QS=\frac{1}{2}PQ$

$=\frac{1}{2}\times 8$ সে.মি. =4 সে.মি.

এখন, OPS সমকোণী ত্রিভুজে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, $P{O}^2=O{S}^2+P{S}^2$

বা, $5^2=O{S}^2+4^2$

বা, $25=O{S}^2+16$

বা, $O{S}^2=25-16=9$

বা, $OS = \sqrt{9}= 3$

নির্ণেয় OS এর দৈর্ঘ্যী 3 সে.মি.।

এখানে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 3.5 সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যাকে ব্যাস বলে যা ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।

বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2$\times$বৃত্তের ব্যাসার্ধ

= 2 $\times$ 3.5 = 7 সে.মি.।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = 3 সে.মি. এবং জ্যা AC এর উপর অঙ্কিত লম্ব OB = 2 সে.মি

এখন, সমকোণী △ AOB-এ, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$O{A}^2=A{B}^2+O{B}^2$

বা, $3^2=A{B}^2+2^2$

বা, $9=A{B}^2+4$

বা, $A{B}^2=9-4=5$

$AB=\sqrt{5}$

জ্যা AC এর দৈর্ঘ্য $= 2\times AB = 2\times \sqrt{5}= 2\sqrt{5}$সে.মি.।

মনে করি, বৃত্তটির ব্যাস ভিন্ন জ্যা এর দৈর্ঘ্য MN = ৪ সে.মি. এবং ঐ জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব OP = 3 সে.মি.

$\therefore$ $PN=\frac{1}{2}MN$ [বৃত্তের কেন্দ্র হতে ব্যাস ভিন্ন জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

$=\frac{1}{2}\times 8$ সে.মি

=4 সে.মি

এখন, সমকোণী $∆OPN$ -এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$O{N}^2=O{P}^2+P{N}^2$

$=3^2+4^2=9+16=25$

$\therefore$$ON=\sqrt{25}=5$ সে.মি

$\therefore$ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 5 সে.মি.।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, OA = 5 সে.মি. এবং OC = 3 সে.মি.

এখন, সমকোণী △ OAC-এ, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে

$\therefore$$O{A}^2=O{C}^2+A{C}^2$

বা,  $A{C}^2=O{A}^2-O{C}^2$

$= 5^2-3^2-25-9-16$

$\therefore$$AC=\sqrt{16}=4$

$\therefore$AB জ্যায়ের দৈর্ঘ্য = 2 AC

= 2 $\times$4 সে.মি. = ৪ সে.মি.।

$\therefore$বৃত্তের ঐ জ্যা এর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও AC দুইটি জ্যা।

যেহেতু জ্যা $AB\perp AC$

সেহেতু $\angle BAC = 90°$ বা এক সমকোণ।

$\therefore$ △ ABC সমকোণী যার অতিভুজ BC. ত্রিভুজটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত বলে এর কেন্দ্র অতিভুজ BC এর ওপর অবস্থিত।

এখন, সমকোণী ত্রিভুজ ABC হতে পাই,

$$\begin{gathered} B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2 \\ =5^2+{12}^2 \\ =25+144 \\ =169 \end{gathered}$$

বা, $BC=\sqrt{169}=13=13$

বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $=\frac{1}{2}BC$

$=\frac{1}{2}\times 13$

$= 6.5$ সে.মি

নির্ণেয় বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 6.5 সে.মি.।

এখানে, AOD সমকোণী ত্রিভুজে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$O{A}^2=O{D}^2+A{D}^2$

বা,  $O{A}^2=O{D}^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$ [বৃত্তের কেন্দ্র হতে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।]

বা, $5^2=O{D}^2+{\left(\frac{6}{2}\right)}^2$

বা, $25=O{D}^2+9$

বা, $O{D}^2=25- 9=16$

বা, $OD=\sqrt{16}$

$\therefore$ $OD=4$

নির্ণেয় OD এর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি.।

এখানে, প্রবৃদ্ধ $\angle$APB = 4x

এবং কেন্দ্রস্থ  $\angle APB=2 \angle ACB = 2x$

[কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

এখন, $\angle APB+$প্রবৃদ্ধ $\angle APB=360°$

বা, $2x+4x=360°$

বা, $6x=360°$

বা, $x=\frac{360°}{6}=60°$

নির্ণেয় মান: x = $60°$

চিত্রে  $OR\perp PQ$

$\therefore$$PR=RQ$

$=\frac{1}{2}PQ$

$=\frac{1}{2}\times 12$

$=6$

এখন, POR সমকোণী ত্রিভুজে,

$O{P}^2=O{R}^2+P{R}^2$

$O{P}^2=8^2+6^2=64+36=100$

$OP=\sqrt{100}=10$

$\therefore$বৃত্তটির ব্যাসার্ধ, OP = 10 সে.মি

$\therefore$বৃত্তটির ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ = 2 × 10 সে.মি. = 20 সে.মি.

এখানে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ, OA = 7 সে.মি.

ব্যাস ভিন্ন জ্যা, AB = 10 সে.মি$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times 10=5$ সে.মি

এখন, সমকোণী ত্রিভুজ AOD এ

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$O{A}^2=O{D}^2+A{D}^2$

$O{D}^2=O{A}^2+A{D}^2$

$OD=\sqrt{O{A}^2+A{D}^2}$

$=\sqrt{7^2+5^2}$

$=\sqrt{49-25}$

$=\sqrt{24}$

$=2\sqrt{6}$

নির্ণেয় মান: OD $=2\sqrt{6}$সে.মি

এখানে,O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB = 24 সে.মি., OM = 5 সে.মি

$OM\perp AB$

$AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times 24=12$

এখন, সমকোণী △ OMB-এ,

$O{B}^2=O{M}^2+B{M}^2$

$OB=\sqrt{O{M}^2+B{M}^2}$

$=\sqrt{5^2+{12}^2}$

$=\sqrt{25+144}$

$=\sqrt{169}$

$=13$ সে.মি

$\therefore$OB = 13 সে.মি.

$\therefore$বৃত্তের ব্যাসার্ধ, ON = OB = 13 সে.মি.

এখন, MN = ON - OM = (13 - 5) সে.মি. = 8 সে.মি.।

$\therefore$MN এর দৈর্ঘ্য 8 সে.মি.।

চিত্রে, OA = 4 সে.মি., OC = 3 সে.মি. OC⊥ AB,

OAC সমকোণী ত্রিভুজ

এখন, সমকোণী △ OAC-এ,

$O{A}^2=A{C}^2+O{C}^2$

$A{C}^2=O{A}^2-O{C}^2$

$A{C}^2=4^2-3^2=16-9=7$

$\therefore$ $AC=\sqrt{7}$

$\therefore$$AB=2AC$

$=2\sqrt{7}$

$\therefore$ AB এর দৈর্ঘ্য $2\sqrt{7}$ সে.মি

OP = OQ হওয়ায় AB = CD

$\therefore$AE = CE = 8 সে.মি.

$\therefore$E, CQ এর মধ্যবিন্দু হওয়ায় QE CE =৪ সে.মি

এখন, $∆OQE$, $O{E}^2=O{Q}^2+Q{E}^2=6^2+8^2=100$

$\therefore$OE = 10

নির্ণেয় OE এর মান 10 সে.মি.।

এখানে, AE = BE = 3 সে.মি.

এবং OE = OF = 4 সে.মি.

এখন, AOE সমকোণী ত্রিভুজে

$O{A}^2=A{E}^2+O{E}^2=3^2+4^2=9+16=25$

বা, $OA=\sqrt{25}=5$

নির্ণেয় OA = 5 সে.মি.।