সতেজ ও সজীব জমজ ভাই। তাদের দৌড়ানোর বেগ সমান এবং হাঁটার বেগও সমান। একদিন স্কুলে যেতে সতেজ অর্ধেক পথ হাঁটলো আর বাকী অর্ধেক দৌড়ালো। কিন্তু সজীব অর্ধেক সময় হাঁটলো আর বাকী অর্ধেক সময় দৌড়ালো। স্কুলে যেতে কি তাদের সমান সময় লাগবে?

এখানে, y = 2x সমীকরণ থেকে পাই,

ছক কাগজে (0, 0), (2, 4), (-2,4) বিন্দুগুলো স্থাপন করে পাই,

যেহেতু, y এর মান 2x থেকে ছোটও হতে পারে অর্থাৎ, y < 2x ও হতে পারে। তাই লেখচিত্রে রেখাটি ও তার ডানের অংশ সমন্বয়ে গঠিত সমতলের অংশটুকু প্রদত্ত অসমতার লেখচিত্র।

এখানে, y = 3x সমীকরণ থেকে পাই,

ছক কাগজে (0, 0), (2, 6), (-2,6) বিন্দুগুলো স্থাপন করে পাই,

যেহেতু y এর মান 3x থেকে বড়ও হতে পারে অর্থাৎ, y > 3x ও হতে পারে, তাই লেখচিত্রে রেখাটি ও তার বাম অংশ সমন্বয়ে গঠিত সমতলের অংশটুকু প্রদত্ত অসমতার লেখচিত্র।

ধরি, একটি কলম, একটি রাবার এবং একটি খাতার মূল্য যথাক্রমে x, y এবং z

১ম শর্তমতে x + y + z = 100 ________ (i)

২য় শর্তমতে, z > 2x  _________ (ii)

৩য় শর্তমতে, 3x > 4y

বা, $x > \frac{4}{3}y$ ________ (iii)

৪র্থ শর্তমতে, 3y > z ________ (iv)

(i) ও (iv) নং হতে পাই,

3y > 100 - y - x

বা, 3y + y > 100 - x

$\therefore$ 4y > 100 - x ________ (v)

(i) ও (ii) থেকে,

100 - y - x > 2x

বা, 100 - y > 2x + x

$\therefore$ 100 - y > 3x  _________ (vi)

(v) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে (vi) নং এর সাথে যোগ করে পাই,

12y + 100 - y > 300 - 3x + 3x

বা, 11y + 100 > 300

বা, 11y > 300 - 100

বা, 11y > 200

বা, $y > \frac{200}{11}$

$\therefore$ t > 18.18 যেহেতু সকল মূল্য পূর্ণ টাকায়

সেহেতু y = 19

(vi) নং হতে পাই, z < 3y _______ (vii)

(iii) নং বিবেচনা করে পাই, x = 26

(i) নং হতে পাই, 26 + 19 + z = 100

বা, 45 + z = 100

বা, z = 100 - 45

$\therefore$ z = 55

অতএব, কলম, রাবার এবং খাতার মূল্য যথাক্রমে 26 টাকা, 19 টাকা এবং 55 টাকা।

$(- 1)(- 2) \times 360 = 720$

$(- 1) \times 2(- 360) = 720$

$1(- 2)\times (- 360) = 720$

$(- 2)(- 5) \times 72 = 720$

$(- 2) \times 5(- 72) = 720$

$2(- 5)\times (- 72) = 720$

________________
________________
________________

এখানে, $1\times 2 \times 360 = 720$

$2 \times 5 \times 72 = 720$

$3 \times 5 \times 48 = 720$

$4 \times 5 \times 36 = 720$

$5 \times 9 \times 16 = 720$

$6 \times 10 \times 12 = 720$

$8 \times 9 \times 10 = 720$

$\therefore$ তিনটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল 720 হলে, প্রতিক্ষেত্রে প্রাপ্ত ছোট সংখ্যাগুলো হলো : -1,-2, ______ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8

$\therefore$ এদের মধ্যে সবচেয়ে বৃহত্তম সংখ্যাটি 8.

সুতরাং তিনটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল 720 হলে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি সর্বোচ্চ 8  হতে পারে।

এখানে ABC' সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AB = AC এবং ∠BAC = X, ∠ABC = ∠ACB = y (যেখানে x < y)।

ABC ত্রিভুজের ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক CD আঁকা হলো যা AB কে D' বিন্দুতে ছেদ করে।

এতে ABC ত্রিভুজটি ACD ও BCD দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে বিভক্ত হয়।

BCD সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, BC = CD

∠BDC = ∠DBC [ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান]

বা, ∠BDC = y  [∠DBC = ∠ABC = y]

ABC ত্রিভুজে, ∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB = 180°

বা, x + y + y = 180°

$\therefore$ x + 2y = 180° _________ (i)

BCD ত্রিভুজে, ∠DBC+ ∠BCD+ ∠BDC = 180°

বা, $y + \frac{y}{2}+ y = 180°$

বা, $\frac{2y + y + 2y}{2}= 180°$

বা, $\frac{5y}{2}$= 180°

বা, 5y = 360°

বা, $y=\frac{360°}{5}$

$\therefore$ y = 72°

(1) নং এ y = 72° বসিয়ে পাই, x + 2 $\times$ 72° = 180°

বা, x + 144° = 180°

বা, x = 180° - 144°

x = 36°

অতএব, প্রথম সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ সর্বোচ্চ 72° এবং একটি কোণ সর্বনিম্ন 36° হতে পারে।

ধরি, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে x ও y

১ম শর্তে, $xy \ge 7$

২য় শর্তে, 2(x + y) = 16

বা, x + y = 8

বা, y = 8 - x

বা, x = 8 - y ______ (i)

(1) নং হতে পাই, $(8 - y) y \ge 7$

বা, $8y-y^2 \ge 7$

বা, $y^2-8y-y+7\le 0$

বা, $(y - 7)(y - 1) \le 0$

$\therefore$ $y - 1 \ge 0$

বা, $y \ge 1$

বা, $8 - x \ge 1$

$\therefore$ $x \le 7$

এবং $y-7\le 0$

বা, $y \le 7$

বা, $8 - x \le 7$

$\therefore$ $1 \le x$

$\therefore$ আয়তাকার ঘরটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের একটি x = 1 থেকে 7 মিটার এবং অপরটি (8 - x) মিটার।