সমকোণী ত্রিভুজ

অতিভুজঃ সমকোণের বিপরীত বাহুকে বলা হয় অতিভুজ।

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলে।

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলে।

যে ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ বা ৯০°-র সমান তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে ।

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে একটি বৃত্ত অন্তর্লিখিত আছে। ত্রিভুজটির একবাহুর দৈর্ঘ্য  (সমান সমান বাহুর একটি) 4cm হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

Depict the following figure according to question

Area of ABC triangle $= \frac{1}{2} \times base \times height$

$= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8c{m}^2$

Now, $A{C}^2 = {\left(AB\right)}^2 + {\left(BC\right)}^2 = 4^2 +4^2 = 16 +16 = 32$

$\therefore AC = \sqrt{32}$

The radius of a circle inscribed in a triangle $= \frac{2 \times Area of triangle}{Perimeter of triangle } = \frac{2 \times 8}{\left(4+4\right) + \sqrt{32}} = \frac{16}{8 + \left(\sqrt{2\times 4^2}\right)}$

$$\begin{gathered} = \frac{16}{8 + 4\sqrt{2}} = \frac{16}{4 \left(2 + \sqrt{2}\right)} = \frac{4}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \left(\sqrt{2} +1\right)} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} \\ = \frac{2\sqrt{2} \left(\sqrt{2} -1\right) }{\left(\sqrt{2} +1\right) \left(\sqrt{2} -1\right)} =\frac{2\sqrt{2} \left(\sqrt{2} -1\right) }{2-1} = 2\sqrt{2} \left(\sqrt{2} -1\right) \\ \therefore Radius = 2\sqrt{2} \left(\sqrt{2} -1\right) cm \\ \therefore Area of circle = {\mathrm{\pi R}}^2 = \mathrm{\pi }{\left\{2\sqrt{2} \left(\sqrt{2} -1\right) \right\}}^2 = \mathrm{\pi }4 \times 2{\left(\sqrt{2} -1\right)}^2 {\mathrm{cm}}^2 = 8\mathrm{\pi } 2\sqrt{2} {\left(\sqrt{2} -1\right)}^2 {\mathrm{cm}}^2 (\mathrm{ans}.) \end{gathered}$$