সাতটি ভিন্ন ভিন্ন সরল রেখার দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 একক, চতুর্ভুজ গঠন করতে এদের চারটি সরল রেখা কত প্রকারে বাছাই করা যাবে তা নির্ণয় করুন।

Created: 6 months ago | Updated: 6 months ago

Updated: 6 months ago

উত্তরঃ 32

সাতটি ভিন্ন ভিন্ন সরল রেখার দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 একক। এদের থেকে চারটি সরল রেখা বাছাই করে চতুর্ভুজ গঠন করার পদ্ধতি নির্ণয় করতে হবে।

ধাপ ১: মোট বাছাই সংখ্যা নির্ণয়

7টি ভিন্ন সরল রেখা থেকে 4টি সরল রেখা বাছাই করার মোট সংখ্যা হলো $\binom{7}{4}$।

$\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

সুতরাং, মোট 35 প্রকারে চারটি সরল রেখা বাছাই করা যাবে।

ধাপ ২: চতুর্ভুজ গঠনের শর্ত

চারটি সরল রেখা দিয়ে একটি (উত্তল) চতুর্ভুজ গঠন করার জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হলো: ক্ষুদ্রতম তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বেশি হতে হবে। অর্থাৎ, যদি বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $s_1, s_2, s_3, s_4$ (যেখানে $s_1 \le s_2 \le s_3 \le s_4$) হয়, তবে $s_1 + s_2 + s_3 > s_4$ হতে হবে।

ধাপ ৩: শর্ত পূরণ করে না এমন বাছাইগুলো চিহ্নিতকরণ

এবার আমরা সেই বাছাইগুলো খুঁজে বের করব যেগুলো চতুর্ভুজ গঠনের শর্ত (অর্থাৎ, $s_1 + s_2 + s_3 > s_4$) পূরণ করে না, অর্থাৎ যেখানে $s_1 + s_2 + s_3 \le s_4$।

প্রদত্ত রেখাগুলির দৈর্ঘ্য: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

সম্ভাব্য কম্বিনেশনগুলো পরীক্ষা করি:

যদি বৃহত্তম বাহু $s_4 = 7$ হয়:
- (1, 2, 3, 7): $1+2+3 = 6 \le 7$। এটি শর্ত পূরণ করে না।
- (1, 2, 4, 7): $1+2+4 = 7 \le 7$। এটি শর্ত পূরণ করে না।
- অন্যান্য বাছাই যেমন (1,2,5,7) এর জন্য $1+2+5=8 > 7$, সুতরাং তারা শর্ত পূরণ করে।
যদি বৃহত্তম বাহু $s_4 = 6$ হয়:
- (1, 2, 3, 6): $1+2+3 = 6 \le 6$। এটি শর্ত পূরণ করে না।
- অন্যান্য বাছাই যেমন (1,2,4,6) এর জন্য $1+2+4=7 > 6$, সুতরাং তারা শর্ত পূরণ করে।
যদি বৃহত্তম বাহু $s_4 = 5$ হয়:
- $s_1, s_2, s_3$ এর সর্বনিম্ন যোগফল হবে $1+2+3=6$। যেহেতু $6 > 5$, তাই $s_1 + s_2 + s_3 \le s_4$ শর্ত পূরণ করে এমন কোনো বাছাই নেই।
যদি বৃহত্তম বাহু $s_4 = 4$ হয়:
- $s_1, s_2, s_3$ এর সর্বনিম্ন যোগফল হবে $1+2+3=6$। যেহেতু $6 > 4$, তাই $s_1 + s_2 + s_3 \le s_4$ শর্ত পূরণ করে এমন কোনো বাছাই নেই।

সুতরাং, মোট 3টি বাছাই আছে যা চতুর্ভুজ গঠনের শর্ত পূরণ করে না। এই বাছাইগুলো হলো: (1, 2, 3, 7), (1, 2, 4, 7), এবং (1, 2, 3, 6)।

ধাপ ৪: চতুর্ভুজ গঠন করতে পারে এমন বাছাই সংখ্যা নির্ণয়

চতুর্ভুজ গঠন করতে পারে এমন বাছাইয়ের সংখ্যা = (মোট বাছাই সংখ্যা) - (যে বাছাইগুলো শর্ত পূরণ করে না)

$= 35 - 3 = 32$

অতএব, 32 প্রকারে চারটি সরল রেখা বাছাই করা যাবে যা দিয়ে একটি চতুর্ভুজ গঠন করা সম্ভব।

Satt AI

1 week ago

MCQ: 89 CQ: 57

Practice

দূরত্ব ও উচ্চতা (Heights & Distances) - ত্রিকোণমিতি

অতি প্রাচীন কাল থেকেই দূরবর্তী কোনো বস্তুর দূরত্ব ও উচ্চতা নির্ণয় করতে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ করা হয়। বর্তমান যুগে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ব্যবহার বেড়ে যাওয়ায় এর গুরুত্ব অপরিসীম। যে সব পাহাড়, পর্বত, টাওয়ার, গাছের উচ্চতা এবং নদ-নদীর প্রস্থ সহজে মাপা যায় না সে সব ক্ষেত্রে উচ্চতা ও প্রস্থ ত্রিকোণমিতির সাহায্যে নির্ণয় করা যায়। এক্ষেত্রে সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান জেনে রাখা প্রয়োজন।

ভূ-রেখা, ঊর্ধ্বরেখা এবং উল্লম্বতল (Horizontal Line, Vertical Line and Vertical Plane)

ভূ-রেখা হচ্ছে ভূমি তলে অবস্থিত যে কোনো সরলরেখা। ভূ-রেখাকে শয়নরেখাও বলা হয়। ঊর্ধ্বরেখা হচ্ছে ভূমি তলের উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখা। একে উল্লম্ব রেখাও বলে।

ভূমি তলের উপর লম্বভাবে অবস্থিত পরস্পরচ্ছেদী ভূ-রেখা ও ঊর্ধ্বরেখা একটি তল নির্দিষ্ট করে। এ তলকে উল্লম্ব তল বলে।

চিত্রে ভূমি তলের কোনো স্থান C থেকে CB দূরত্বে AB উচ্চতা বিশিষ্ট একটি গাছ লম্ব অবস্থায় দন্ডায়মান। এখানে CB রেখা হচ্ছে ভূ-রেখা, BA রেখা হচ্ছে ঊর্ধ্বরেখা এবং ABC তলটি ভূমির উপর লম্ব যা উল্লম্বতল।

উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ (Angle of Elevation and Angle of Depression)

চিত্রটি লক্ষ করি, ভূমির সমান্তরাল AB একটি সরলরেখা। A, O, B, P, Q বিন্দুগুলো একই উল্লম্বতলে অবস্থিত। AB সরলরেখার উপরের P বিন্দুটি AB রেখার সাথে ∠POB উৎপন্ন করে। এখানে, O বিন্দুর সাপেক্ষে P বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠POB ।

সুতরাং ভূভঙ্গের উপরের কোন বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলা হয়।

Q বিন্দু ভূ-রেখার সমান্তরাল AB রেখার নিচের দিকে অবস্থিত। এখানে, O বিন্দুর সাপেক্ষে Q বিন্দুর অবনতি কোণ হচ্ছে ∠QOB। সুতরাং ভুতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোন বিন্দু ভূ-রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলা হয়।

১. 30° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি > লম্ব হবে।

২. 45° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি = লম্ব হবে।

৩. 60° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি << লম্ব হবে।

উদাহরণ ১. একটি টাওয়ারের পাদদেশ থেকে 75 মিটার দূরে ভূতলস্থ কোনো বিন্দুতে টাওয়ারের শীর্ষের উন্নতি 30° হলে, টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, টাওয়ারের উচ্চতা AB = h মিটার, টাওয়ারের পাদদেশ থেকে BC = 75 মিটার দূরে ভূতল C বিন্দুতে টাওয়ারের শীর্ষ A বিন্দুর উন্নতি ∠ACB = 30°

উদাহরণ ২. একটি গাছের উচ্চতা 105 মিটার। গাছটির শীর্ষ ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ 60° তৈরি করলে, গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান :

উদাহরণ ৩. 18 মিটার লম্বা একটি মই একটি দেওয়ালের ছাদ বরাবর ঠেস দিয়ে ভূমির সঙ্গে 45° কোণ উৎপন্ন করে। দেওয়ালটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, দেওয়ালটির উচ্চতা AB = h মিটার, মইটির দৈর্ঘ্য AC = 18 মিটার এবং ভূমির সঙ্গে ∠ACB = 45° উৎপন্ন করে।

সুতরাং দেওয়ালটির উচ্চতা 12.73 মিটার (প্রায়)।

উদাহরণ ৪. ঝড়ে একটি গাছ হেলে পড়লো। গাছের গোড়া থেকে 7 মিটার উচ্চতায় একটি খুঁটি ঠেস দিয়ে গাছটিকে সোজা করা হলো। মাটিতে খুঁটিটির স্পর্শ বিন্দুর অবনতি কোণ 30° হলে, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য BC : = মিটার, গাছের গোড়া থেকে AB 7 মিটার উচ্চতায় খুঁটিটি ঠেস দিয়ে আছে এবং অবনতি ∠DBC = 30°

$∴$ ∠ACB = ∠DBC = 30° [একান্তর কোণ বলে]

সমকোণী ∠ABC থেকে পাই,

$∴$ BC = 14

$∴$ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য 14 মিটার।

উদাহরণ ৫. ভূতলস্থ কোনো স্থানে একটি দালানের ছাদের একটি বিন্দুর উন্নতি কোণ 60° । ঐ স্থান থেকে 42 মিটার পিছিয়ে গেলে দালানের ঐ বিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হয়। দালানের উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, দালানের উচ্চতা AB = h মিটার এবং শীর্ষের উন্নতি ∠ACB = 60° এবং C স্থান থেকে CD = 42 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি ∠ADB = 45° হয়।

ধরি, BC = x মিটার।

$∴$ h = 99.373 (প্রায়)

$∴$ দালানটির উচ্চতা 99.37 মিটার (প্রায়)।

উদাহরণ ৬. একটি খুঁটি এমন ভাবে ভেঙে গেল যে, তার অবিচ্ছিন্ন ভাঙা অংশ দন্ডায়মান অংশের সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে 10 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে। খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য AB = h মিটার, খুঁটিটি BC = x মিটার উচ্চতায় ভেঙে গিয়ে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে ∠BCD = 30° উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে BD = 10 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে।

এখানে, CD = AC = AB – BC = (h – x) মিটার

△BCD থেকে পাই,

বা, h – x = 20 বা, h = 20 + x বা, h = $20 + 10 \sqrt{3}$ [x এর মান বসিয়ে]

$∴$ h = 37.321 (প্রায়)

$∴$ খুঁটির দৈর্ঘ্য 37.32 মিটার (প্রায়)।

Related Question

View All

(খ)

64 মিটার লম্বা একটি খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 60 ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটির ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।

BCS 36th BCS Written গণিত দূরত্ব ও উচ্চতা (Heights & Distances) - ত্রিকোণমিতি

1.1k

উত্তরঃ

Ans. 29.70 (প্রায়)

Pavel Munshi

3 years ago

1.1k

(খ)

দেখান যে, BC:AD =

1 : 2 \sqrt{3}

BCS 36th BCS Written গণিত দূরত্ব ও উচ্চতা (Heights & Distances) - ত্রিকোণমিতি

278

Add Explanation

278

(ক)

18 মিটার উচ্চ একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে

30 °

কোণে স্পর্শ করলো। খুঁটিটি মাটি থেকে কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিল?

BCS 34th BCS Written গণিত দূরত্ব ও উচ্চতা (Heights & Distances) - ত্রিকোণমিতি

450

Add Explanation

450

(b)

The angle of elevation of a watch tower at a point on the ground is 60°. If moved back 18m, the angle of elevation becomes 45 degree. What is the height of the watch tower?

Combined Bank Combined Bank Senior Officer (IT) গণিত দূরত্ব ও উচ্চতা (Heights & Distances) - ত্রিকোণমিতি

904

উত্তরঃ

$L e t u s d r a w t h e r e q u i r e d p i c t u r e : H e r e, A B i s t h e h e i g h t o f t h e w a t c h t o w e r A B = h F o r △ A B C ∴ \tan 60 ° = \frac{A B}{B C} = \frac{h}{x} = \sqrt{3} = \frac{h}{x} [∵ \tan 60 ° = \sqrt{3}] = h = x \sqrt{3} ∴ x = \frac{h}{\sqrt{3}} F o r △ A B D A g a i n, \tan 45 ° = \frac{A B}{B D} = \frac{A B}{D C + B C} = \frac{h}{18 + x} = 1 = \frac{h}{18 + x} [∵ \tan 45 ° = 1] = h = 18 + x = h = 18 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 18 = h (1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = 18 = h (\sqrt{3} - 1) = 18 \sqrt{3} ∴ h = \frac{18 \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = 42.58 m$

PRONAY TIRKI

2 years ago

904

(g)

The angle of elevation of a hot air balloon, climbing vertically from 25 degrees to 60 degrees at 10.00 am and at 10.02 am respectively. The point of observation of the angle of elevation is situated 300 meters away from the take off point. What is the upward speed (m/sec), assumed constant for the balloon?

(Geometry (Triangle))

JRT Combined Bank Officer (IT) - 2018 গণিত 2018 দূরত্ব ও উচ্চতা (Heights & Distances) - ত্রিকোণমিতি

530

উত্তরঃ

প্রশ্নে বলা হচ্ছে, 10 টা এবং 10.02 টায় একটি বেলনের 25° হতে লম্ব বরাবর 60° কোণে উপরের দিকে উঠছে। উন্নতি বিন্দু হতে পর্যবেক্ষণ বিন্দুর দূরত্ব 300 মিটার হলে বেলনের উর্ধ্বগতিবেগ কত?

Let us depict a image based upon question

Let, again CD = h₁ & AC = h₂

The balloon's height at 10.00 am, $\tan θ = \frac{C D}{B C}$

$\Rightarrow \tan 25 ° = \frac{h_{1}}{300} \Rightarrow h_{1} = 300 \times \tan 25 ° \Rightarrow h_{1} = 300 \times 0.4663 [U \sin g c a l c u l a t o r] \Rightarrow h_{1} = 139.89 m e t e r A g a i n, t h e b a l l o o n' s h e i g h t a t 10.02 a m, \tan θ = \frac{A C}{B C} = \frac{h_{2}}{300} \Rightarrow \tan 60 ° = \frac{h_{2}}{300} \Rightarrow h_{2} = 300 \times \tan 60 ° \Rightarrow h_{2} = (300 \times \sqrt{3}) m \Rightarrow h_{2} = (300 \times 1.732) m e t e r ∴ h_{2} = 519.615 m e t e r ∴ T h e d i f f e r e n c e o f h e i g h t = 519.615 - 139.89 = 379.725 m e t e r T a k e n t i m e t o c o v e r t h i s d i s \tan c e b y t h e b a l l o o n = 10.02 - 10.00 = 2 m i n u t e s = 120 s e c o n d s W e k n o w, v e l o c i t y, \frac{D i s \tan c e}{T i m e} \Rightarrow V e l o c i t y = \frac{379.725}{120} m s^{- 1} ∴ V e l o c i t y = 3.1643 m s^{- 1} ∴ U p w a r d s p e e d o f b a l l o o n i s 3.1643 m s^{- 1}$

Najjar Hossain Raju

2 years ago

530

(e)

একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দুইটি রাস্তা ৬০° কোণে চলে। দুইজন লোক ঐ নির্দিষ্ট স্থান থেকে যথাক্রমে ঘণ্টায় ৭ কিলোমিটার বেগে রওনা হলো। ৪ ঘণ্টা পরে তাদের মধ্যে সরাসরি দূরত্ব নির্ণয় করুন।

(Trigonometry)

BB BB Officer (General) - 2020 গণিত 2020 দূরত্ব ও উচ্চতা (Heights & Distances) - ত্রিকোণমিতি

2.1k

উত্তরঃ

এখানে, ৫ kmph বেগে ৪ ঘণ্টায় চললে যাবে = ৪ x ৫ = ২০ kmph

আর ৭ kmph বেগে ৪ ঘণ্টায় চললে যাবে = ৪ x ৭ = ২৮ kmph

এবার ধরি, AB = a; BC = b এবং CA = c

এখানে, তাদের মধ্যকার দূরত্ব যা ত্রিভুজটির ৩য় বাহু।

এক্ষেত্রে পিথাগোরাসের Cosine এর সূত্র প্রয়োগ করলে আমরা পাইঃ

তৃতীয় বাহু = a2 + b2 - 2cose x ab

=c² = (২০)^২ + (২৮)^২- 2 X cos ৬০ X ২০ X ২৮

$= c^{2} = (৪ ০ ০ + ৭ ৮ ৪) - ২ \times \frac{১}{২} \times ২ ০ \times ২ ৮ = c^{2} = ১ ১ ৮ ৪ - ৫ ৬ ০ = ৬ ২ ৪ = c = \sqrt{৬ ২ ৪} = \sqrt{৩ ৯ \times ১ ৬} = \sqrt{৩ ৯ \times ৪^{২}} = ৪ \sqrt{৩ ৯} ∴ c = ৪ \times ৬ . ২ ৪ ৫ = ২ ৪ . ৯ ৮ k m$

উত্তরঃ মধ্যবর্তী দূরত্ব ২৪.৯৮ কিলোমিটার (প্রায়)।

PRONAY TIRKI

2 years ago

2.1k

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র