১ম গাড়ির সম্পূর্ণ পথের গড়বেগ সর্বোচ্চ বেগের সমান হবে কি-না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর। (উচ্চতর দক্ষতা)

উদ্দীপকের ১নং গাড়ির সম্পূর্ণ পথের গড়বেগ তার সর্বোচ্চ বেগের সমান হবে কি-না, তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করতে বলা হয়েছে। গড়বেগ এবং সর্বোচ্চ বেগের মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয়ের জন্য গাড়ির মোট সরণ এবং অতিক্রান্ত মোট সময় নির্ণয় করা আবশ্যক।

১নং গাড়ির বেগ-সময় লেখচিত্র (velocity-time graph) থেকে এর গতিপথকে তিনটি অংশে ভাগ করা যায়: প্রথম 10 সেকেন্ড সুষম ত্বরণ, পরবর্তী 10 সেকেন্ড সুষম বেগ এবং শেষ 10 সেকেন্ড সুষম মন্দন। লেখচিত্র থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী, গাড়ির সর্বোচ্চ বেগ হলো \(30 \text{ ms}^{-1}\)। সম্পূর্ণ পথে গাড়ির মোট সরণ (total displacement) হলো বেগ-সময় লেখচিত্র দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল।

প্রথম অংশ (0s থেকে 10s পর্যন্ত, সুষম ত্বরণ): এই অংশের সরণ হলো ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

\( s_1 = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{1}{2} \times 10 \text{ s} \times 30 \text{ ms}^{-1} = 150 \text{ m} \)

দ্বিতীয় অংশ (10s থেকে 20s পর্যন্ত, সুষম বেগ): এই অংশের সরণ হলো আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

\( s_2 = (20-10) \text{ s} \times 30 \text{ ms}^{-1} = 10 \text{ s} \times 30 \text{ ms}^{-1} = 300 \text{ m} \)

তৃতীয় অংশ (20s থেকে 30s পর্যন্ত, সুষম মন্দন): এই অংশের সরণ হলো ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

\( s_3 = \frac{1}{2} \times (30-20) \text{ s} \times 30 \text{ ms}^{-1} = \frac{1}{2} \times 10 \text{ s} \times 30 \text{ ms}^{-1} = 150 \text{ m} \)

সুতরাং, গাড়ির মোট সরণ, \( S = s_1 + s_2 + s_3 = 150 \text{ m} + 300 \text{ m} + 150 \text{ m} = 600 \text{ m} \)

গাড়ির সম্পূর্ণ পথ অতিক্রম করতে মোট সময় \( T = 30 \text{ s} \)।

গড়বেগের সংজ্ঞা অনুযায়ী, গড়বেগ হলো মোট সরণকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করে প্রাপ্ত রাশি।

\( v_{\text{গড়}} = \frac{\text{মোট সরণ}}{\text{মোট সময়}} = \frac{S}{T} = \frac{600 \text{ m}}{30 \text{ s}} = 20 \text{ ms}^{-1} \)

লেখচিত্র থেকে প্রাপ্ত তথ্যানুসারে, গাড়ির সর্বোচ্চ বেগ \( v_{\text{সর্বোচ্চ}} = 30 \text{ ms}^{-1} \)।

উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, ১ম গাড়ির সম্পূর্ণ পথের গড়বেগ \(20 \text{ ms}^{-1}\) এবং সর্বোচ্চ বেগ \(30 \text{ ms}^{-1}\)। যেহেতু এই দুটি মান সমান নয়, তাই বলা যায় যে ১ম গাড়ির সম্পূর্ণ পথের গড়বেগ সর্বোচ্চ বেগের সমান হবে না। বস্তুর গড়বেগ সর্বোচ্চ বেগের সমান শুধুমাত্র তখনই হতে পারে যখন বস্তুটি সম্পূর্ণ যাত্রাপথে একই ধ্রুব বেগে (constant velocity) চলে অথবা একটি বিশেষ প্রতিসাম্যপূর্ণ গতিতে চলে যেখানে গড় এবং সর্বোচ্চ বেগ এক হয়, যা এই উদ্দীপকের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।