$1+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{{\left(1+y\right)}^2}+\frac{1}{{\left(1+y\right)}^3}+.......$ একটি ধারা এবং অপর একটি ধারা হলো $3+33+333+....$

$1.\dot{2}3\dot{1}$ = 1.231231231 _______

= 1 +( 0.231 + 0.000231 + 0.000000231 + __________)

এখানে বন্ধনীর ভিতরের ধারাটি একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা । যার

১ম পদ, a = 0.231

সাধারণ অনুপাত, r = 0.000231 + 0.231 = 0.001 < 1

$1.\dot{2}3\dot{1} = 1 +\frac{a}{1 - r}= 1 + \frac{0.231}{1 - 0.001}= 1 + \frac{0.231}{0.999}$

$= 1 + \frac{231}{999}=1 + \frac{77}{333}=\frac{33 + 77}{333}= \frac{410}{333}$

$\therefore$ $1.\dot{2}3\dot{1}$ = $\frac{410}{333}$

২য় ধারাটি = 3 + 33 + 333 + ______ 10টি পদ

= 3 ( 1 + 11 + 111 + ________ + 10টি পদ )

= $\frac{3}{9}$( 9 + 99 + 999 + ______+ 10টি পদ)

=  $\frac{1}{3}${(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) +_________+10টি পদ }

= $\frac{1}{3}${$(10+{10}^2+{10}^3+$ ______ + 10টি পদ) - ( 1 + 1 + 1 + _______+ 10টি পদ)}

$=\frac{1}{3}\left\{\frac{10\left({10}^{10}-1\right)}{10-1}-10\right\}$

$=\frac{1}{3}\left\{\frac{10\left({10}^{10}-1\right)}{9}-10\right\}$

$=\left\{\frac{10\left({10}^{10}-1\right)}{27}-\frac{10}{3}\right\}$

নির্ণেয় সমষ্টি : $\left\{\frac{10\left({10}^{10}-1\right)}{27}-\frac{10}{3}\right\}$

প্রদত্ত ধারা : $1+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{(1+y{)}^2}+\frac{1}{(1+y{)}^3}+$ _______ এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

$\therefore$ ১ম পদ, a = 1

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{{\displaystyle \frac{1}{1 + y}}}{1}= \frac{1}{1+y}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি | r | < 1 হয়

অর্থাৎ 1 < r < 1

$\therefore$ $- 1<\frac{1}{1 + y}<1$

$\therefore$ $- 1<\frac{1}{1 + y}$

বা, $\frac{1}{- 1}> 1 + y$

বা, 1 + y < - 1

বা, y < - 1 - 1

$\therefore$y < - 2

এবং $\frac{1}{1 + y}<1$

1 < 1 + y

বা, 1 + y > 1

বা, y > 1 - 1

$\therefore$ y > 0

শর্ত: y < - 2 অথবা y > 0

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,

$S=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{1+y}}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1+y-1}{1+y}}}=\frac{1+y}{y}$

নির্ণেয় শর্ত: y < - 2 অথবা y > 0 এবং সমষ্টি $=\frac{1 + y}{y}.$