120 g 3 200 g ভরের দুটি পাথরের টুকরা দিয়ে যথাক্রমে 29.4ms 1 3 20ms^-1 বেগে 14 m উঁচু একটি দালানের ছাদে আঘাত করা হলো।

সমদ্রুতিতে চলমান কোনো বস্তু যদি যাত্রা শুরু করার পর পুনরায় তার আদি অবস্থানে ফিরে আসে, তবে তার সরণ (displacement) শূন্য হয়।

সরণ হলো বস্তুর আদি অবস্থান এবং শেষ অবস্থানের মধ্যবর্তী সরলরৈখিক দূরত্ব। এটি একটি ভেক্টর রাশি, যা শুধুমাত্র আদি ও শেষ অবস্থানের উপর নির্ভর করে, অতিক্রান্ত পথের উপর নয়। যখন একটি বস্তু সমদ্রুতিতে চলে এবং একটি বদ্ধ পথে (closed path) ভ্রমণ করে তার আদি অবস্থানে ফিরে আসে, তখন তার অতিক্রান্ত দূরত্ব (distance) থাকলেও, যেহেতু আদি ও শেষ অবস্থান একই হয়, সেহেতু তার সরণ শূন্য হয়ে যায়।

উদ্দীপকে উল্লিখিত ১ম বস্তুটির বেগ নির্ণয় করার জন্য আমরা অভিকর্ষের প্রভাবে উল্লম্ব গতির সমীকরণ ব্যবহার করতে পারি। যেহেতু বস্তুটি নির্দিষ্ট প্রাথমিক বেগে উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হয়েছে এবং একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় এর বেগ জানতে চাওয়া হয়েছে, তাই আমরা \(v^2 = u^2 - 2gh\) সূত্রটি প্রয়োগ করব। এখানে \(v\) হলো দালানের ছাদে আঘাত করার মুহূর্তের শেষ বেগ, \(u\) হলো প্রাথমিক বেগ, \(g\) হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ এবং \(h\) হলো অতিক্রান্ত উচ্চতা।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী, ১ম বস্তুটির প্রাথমিক বেগ \(u = 29.4 \text{ ms}^{-1}\) এবং দালানের উচ্চতা \(h = 14 \text{ m}\)। আমরা জানি, অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = 9.8 \text{ ms}^{-2}\)। এখন, এই মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:

\[v^2 = u^2 - 2gh\] \[v^2 = (29.4)^2 - 2 \times 9.8 \times 14\] \[v^2 = 864.36 - 274.4\] \[v^2 = 589.96\] \[v = \sqrt{589.96}\] \[v \approx 24.29 \text{ ms}^{-1}\]

অতএব, 1ম বস্তুটি 29.4 \(\text{ms}^{-1}\) বেগে নিক্ষেপ করার পর 14 m উচ্চতার দালানের ছাদে আঘাত করার মুহূর্তে তার বেগ হবে প্রায় 24.29 \(\text{ms}^{-1}\)। এই বেগ নির্দেশ করে যে বস্তুটি অভিকর্ষের প্রভাবে গতিশীল থাকাকালীন 14 m উচ্চতা অতিক্রম করার পর কিছুটা বেগ হারায়।

ছাদে কোনো বস্তুর আঘাতের তীব্রতা মূলত বস্তুর গতিশক্তি দ্বারা নির্ধারিত হয়। যে বস্তুর গতিশক্তি বেশি, সেটি ছাদকে বেশি আঘাত করবে বা বেশি ক্ষতিসাধন করবে। এই প্রশ্নের গাণিতিক যুক্তি প্রদর্শনের জন্য আমরা উদ্দীপকে উল্লিখিত দুটি বস্তুর গতিশক্তি হিসাব করব এবং তাদের মধ্যে তুলনা করব।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী:

প্রথম পাথরের টুকরার ক্ষেত্রে:
ভর, \(m_1 = 120 \, \text{g} = 0.12 \, \text{kg}\)
বেগ, \(v_1 = 29.4 \, \text{ms}^{-1}\)
প্রথম পাথরের টুকরার গতিশক্তি, \(E_{k1} = \frac{1}{2}m_1 v_1^2\)
\[ E_{k1} = \frac{1}{2} \times 0.12 \, \text{kg} \times (29.4 \, \text{ms}^{-1})^2 \] \[ E_{k1} = 0.06 \times 864.36 \, \text{J} \] \[ E_{k1} = 51.8616 \, \text{J} \]

দ্বিতীয় পাথরের টুকরার ক্ষেত্রে:
ভর, \(m_2 = 200 \, \text{g} = 0.20 \, \text{kg}\)
বেগ, \(v_2 = 20 \, \text{ms}^{-1}\)
দ্বিতীয় পাথরের টুকরার গতিশক্তি, \(E_{k2} = \frac{1}{2}m_2 v_2^2\)
\[ E_{k2} = \frac{1}{2} \times 0.20 \, \text{kg} \times (20 \, \text{ms}^{-1})^2 \] \[ E_{k2} = 0.1 \times 400 \, \text{J} \] \[ E_{k2} = 40 \, \text{J} \]

উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, প্রথম পাথরের টুকরার গতিশক্তি \(E_{k1} = 51.8616 \, \text{J}\) এবং দ্বিতীয় পাথরের টুকরার গতিশক্তি \(E_{k2} = 40 \, \text{J}\)। যেহেতু প্রথম পাথরের টুকরার গতিশক্তি দ্বিতীয় পাথরের টুকরার গতিশক্তির চেয়ে বেশি (\(E_{k1} > E_{k2}\)), তাই প্রথম বস্তুটি ছাদকে বেশি আঘাত করবে।

বস্তুর দ্বারা কোনো তলের উপর আঘাতের মাত্রা মূলত বস্তুর গতিশক্তি দ্বারা নির্ধারিত হয়, কারণ গতিশক্তি হলো কোনো বস্তুর গতির কারণে সঞ্চিত শক্তি, যা বস্তুর দ্বারা কাজ করার ক্ষমতা নির্দেশ করে। আঘাতের সময় এই গতিশক্তিই স্থানান্তর হয়ে ছাদের ক্ষতিসাধন বা বিকৃতি ঘটায়। যদিও দ্বিতীয় বস্তুর ভরবেগ (4.0 kg m/s) প্রথম বস্তুর ভরবেগ (3.528 kg m/s) থেকে বেশি, কিন্তু আঘাতের তীব্রতার ক্ষেত্রে গতিশক্তি (যা ভর এবং বেগের বর্গ উভয়ের উপর নির্ভরশীল) অধিক কার্যকর নির্দেশক। সুতরাং, 120 g ভরের পাথরের টুকরাটিই ছাদকে বেশি আঘাতপ্রাপ্ত করবে।