2m দৈর্ঘ্যের ও0.8 mm প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসবিশিষ্ট দুটি ভিন্ন ভিন্ন তার নেওয়া হলো। তার দুটির প্রথমটির ক্ষেত্রে স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে পীড়ন বনাম বিকৃতির লেখচিত্র [চিত্র ১] এবং দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রে মোট সঞ্চিত শক্তি বনাম (দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি)^২-এর লেখচিত্র [চিত্র ২] নিচে প্রকাশ করা হয়েছে—

কোন বস্তু বা তারের উপর ক্রমাগত পীড়নের হ্রাস বৃদ্ধি করলে স্থিতিস্থাপকতা ধর্ম হ্রাস পায়। এর ফলে বল অপসারণ এর সাথে সাথে বস্তু পূর্বের অবস্থা ফিরে পায় না, কিছুটা দেরি হয়। বস্তুর এই অবস্থাকে স্থিতিস্থাপক ক্লান্তি বলে।

পয়সনের অনুপাত হলো স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে কোনো বস্তুর অনুদৈর্ঘ্য বিকৃতি এবং পার্শ্বীয় বিকৃতির পরম মানের অনুপাত। যখন কোনো বস্তুকে তার দৈর্ঘ্যের দিকে টানা হয়, তখন সেটি দৈর্ঘ্যে বৃদ্ধি পায় (ধনাত্মক অনুদৈর্ঘ্য বিকৃতি) এবং প্রস্থ বা ব্যাসের দিকে সংকুচিত হয় (ঋণাত্মক পার্শ্বীয় বিকৃতি)। এই দুই বিকৃতির অনুপাত যখন একটি ধনাত্মক মান নির্দেশ করে, তখন তাকে পয়সনের অনুপাত ধনাত্মক বলা হয়।

পয়সনের অনুপাত ধনাত্মক হওয়ার অর্থ হলো, যখন বস্তুর উপর পীড়ন প্রয়োগ করে এর দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করা হয়, তখন তার প্রস্থ বা ব্যাস হ্রাস পায়। অর্থাৎ, বস্তুটি লম্বভাবে প্রসারিত হলে পার্শ্বীয়ভাবে সংকুচিত হয়। অধিকাংশ সাধারণ বস্তুর যেমন – ধাতু, রাবার ইত্যাদির ক্ষেত্রে এই বৈশিষ্ট্য পরিলক্ষিত হয় এবং এদের পয়সনের অনুপাত ধনাত্মক হয়ে থাকে।

প্রথম তারে স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে সর্বোচ্চ সঞ্চিত শক্তির পরিমাণ হলো প্রায় \(1.0053 \times 10^9\) J।

কোনো তারকে স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে প্রসারিত করলে তার মধ্যে বিভব শক্তি রূপে শক্তি সঞ্চিত হয়। এটি তারকে প্রসারিত করতে কৃতকার্যের সমান। প্রতি একক আয়তনে সঞ্চিত শক্তির পরিমাণকে শক্তি ঘনত্ব (\(u\)) বলে, যা পীড়ন ও বিকৃতির গুণফলের অর্ধেকের সমান (\(u = \frac{1}{2} \times \text{পীড়ন} \times \text{বিকৃতি}\))। তারের মোট সঞ্চিত শক্তি (\(U\)) নির্ণয় করতে, এই শক্তি ঘনত্বকে তারের মোট আয়তন দ্বারা গুণ করতে হয় (\(U = u \times V\))।

উদ্দীপকের চিত্র ১ থেকে দেখা যায়, প্রথম তারের স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে সর্বোচ্চ পীড়ন (\(\sigma_{\text{max}}\)) হলো \(2 \times 10^{13}\) Nm^-2 এবং এর সংশ্লিষ্ট বিকৃতি (\(\epsilon_{\text{max}}\)) হলো \(10^2\)। উদ্দীপকে তারটির দৈর্ঘ্য (L) = 2 m এবং ব্যাস (D) = 0.8 mm = \(0.8 \times 10^{-3}\) m।

অতএব, তারের ব্যাসার্ধ (r) = D/2 = \(0.4 \times 10^{-3}\) m।

তারের প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল (A) = \(\pi r^2 = \pi (0.4 \times 10^{-3})^2 = \pi (0.16 \times 10^{-6})\) m²।

তারের আয়তন (V) = A \(\times\) L = \(\pi (0.16 \times 10^{-6}) \times 2 = 0.32\pi \times 10^{-6}\) m³।

সর্বোচ্চ সঞ্চিত শক্তি (U) = \(\frac{1}{2} \times \sigma_{\text{max}} \times \epsilon_{\text{max}} \times V\)

\(U = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{13} \text{ Nm}^{-2}) \times (10^2) \times (0.32\pi \times 10^{-6} \text{ m}^3)\)

\(U = (1 \times 10^{13}) \times (10^2) \times (0.32\pi \times 10^{-6})\)

\(U = 10^{15} \times 0.32\pi \times 10^{-6}\)

\(U = 0.32\pi \times 10^{9}\) J

(\(\pi \approx 3.14159\))

\(U \approx 0.32 \times 3.14159 \times 10^9\)

\(U \approx 1.0053088 \times 10^9\) J

সুতরাং, প্রথম তারে স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে সর্বোচ্চ সঞ্চিত শক্তির পরিমাণ \(1.0053 \times 10^9\) J।

যে পদার্থের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক (\(Y\)) যত বেশি, সেই পদার্থটি তত অধিক স্থিতিস্থাপক। উদ্দীপকের চিত্র দুটি হতে গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে তার দুটির ইয়ং-এর গুণাঙ্ক নির্ণয় করে স্থিতিস্থাপকতা তুলনা করা হলো।

প্রথম তারের ক্ষেত্রে:
চিত্র ১ হতে স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে,
পীড়ন = \(2 \times 10^{13} \text{ N m}^{-2}\)
বিকৃতি = \(10^2\)
আমরা জানি, প্রথম তারের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক,
\(Y_1 = \frac{\text{পীড়ন}}{\text{বিকৃতি}}\)
\(\implies Y_1 = \frac{2 \times 10^{13}}{10^2} \text{ N m}^{-2}\)
\(\implies Y_1 = 2 \times 10^{11} \text{ N m}^{-2}\)

দ্বিতীয় তারের ক্ষেত্রে:
দেওয়া আছে,
তারের দৈর্ঘ্য, \(L = 2 \text{ m}\)
তারের ব্যাস, \(d = 0.8 \text{ mm} = 0.8 \times 10^{-3} \text{ m}\)
\(\therefore\) তারের ব্যাসার্ধ, \(r = \frac{0.8 \times 10^{-3}}{2} \text{ m} = 0.4 \times 10^{-3} \text{ m} = 4 \times 10^{-4} \text{ m}\)
প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, \(A = \pi r^2 = 3.1416 \times (4 \times 10^{-4})^2 \approx 5.0265 \times 10^{-7} \text{ m}^2\)

চিত্র ২ হতে,
মোট সঞ্চিত শক্তি, \(W = 0.7 \times 10^{11} \text{ J}\)
(দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি)\(^2\), \(l^2 = 4 \text{ m}^2\)
আমরা জানি, মোট সঞ্চিত শক্তি, \(W = \frac{1}{2} \frac{Y_2 A l^2}{L}\)
\(\implies Y_2 = \frac{2 W L}{A l^2}\)
\(\implies Y_2 = \frac{2 \times (0.7 \times 10^{11}) \times 2}{5.0265 \times 10^{-7} \times 4}\)
\(\implies Y_2 = \frac{2.8 \times 10^{11}}{2.0106 \times 10^{-6}}\)
\(\implies Y_2 \approx 1.3926 \times 10^{17} \text{ N m}^{-2}\)

গাণিতিক হিসাব থেকে দেখা যাচ্ছে যে, \(Y_2 > Y_1\)। অর্থাৎ দ্বিতীয় তারের ইয়ং-এর গুণাঙ্কের মান প্রথম তারের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক অপেক্ষা অনেক বেশি। অতএব, উদ্দীপকের তার দুটির মধ্যে দ্বিতীয় তারটি অধিক স্থিতিস্থাপক।