$7 + 77 + 777 +......$ এবং $\frac{1}{4x+2}+\frac{1}{{\left(4x+2\right)}^2}+\frac{1}{{\left(4x+2\right)}^3}+....$ দুইটি ধারা।

প্রদত্ত দ্বিতীয় ধারা : $\frac{1}{4x+2}+\frac{1}{(4x+2{)}^2}+\frac{1}{(4x+2{)}^3}+$ _________

x = 1 হলে, ধারাটি হবে : $\frac{1}{4+2}+\frac{1}{(4+2{)}^2}+\frac{1}{(4+2{)}^3}+$ __________

$=\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^3}+$ ________

ধারাটির সাধারণ অনুপাত $=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6}=\frac{1}{6^2}\times 6=\frac{1}{6}$

নির্ণেয় সাধারণ অনুপাত $\frac{1}{6}$

7 + 77 + 777 + __________

মনে করি,

S = 7 + 77 + 777 + _______ n পদ পর্যন্ত

বা,  $\frac{S}{7}$ = 1 + 11 + 111 + ______ পদ পর্যন্ত [উড়য়পক্ষকে 7 দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\frac{9S}{7}$  =9 + 99 + 999+ ______ n পদ পর্যন্ত [উভয় পক্ষকে 9 দ্বারা গুণ করে]

= (10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + _________ n পদ পর্যন্ত

$=(10-1)+({10}^2-1)+({10}^3-1)+$ _______  n পদ পর্যন্ত

$=10+{10}^2+{10}^3+$ _______ n পদ পর্যন্ত - n

$=10\left(1+10+{10}^2+...........+{10}^{n-1}\right)-n$

$=10\frac{{10}^n-1}{10-1}-n$

$=\frac{10}{9} ({10}^n-1)-n$

$\therefore$ $S=\frac{7}{9}\left\{\frac{10}{9}({10}^n-1)-n\right\}=\frac{70}{81} ({10}^n-1)-\frac{7n}{9}$

$\therefore$ ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি  $=\frac{70}{81}({10}^n-1)-\frac{7n}{9}$

প্রদত্ত দ্বিতীয় ধারা : $\frac{1}{4x+2}+\frac{1}{(4x+2{)}^2}+\frac{1}{(4x+2{)}^3}+$ _______

ধারাটির প্রথম পদ, $a = \frac{1}{4x + 2}$

সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{1}{(4x+2{)}^2}+\frac{1}{(4x+2)}=\frac{1}{(4x+2)}$

ধারাটির অসীমতক | r | < 1  হয়

বা, $\frac{1}{4x + 2}< 1$

বা, $- 1 <\frac{1}{4x + 2}< 1$

এখন, $- 1 < \frac{1}{4x + 2}$

বা, - 1 > 4x + 2

বা, 4x + 2 < - 1

বা, 4x < - 1 - 2

বা, 4x <- 3

$\therefore$ $x<-\frac{3}{4}$

অথবা,  $\frac{1}{4x + 2}< 1$

বা, 4x + 2 > 1

বা, 4x > 1 - 2

বা, 4x > - 1

$\therefore$ $x >-\frac{1}{4}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $x<- \frac{3}{4}$ অথবা $x>-\frac{1}{4}$ হয়

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,

$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{4x+2}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{4x+2}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{4x+2}}}{{\displaystyle \frac{4x+2}{4x+2}}}$

$=\frac{1}{4x + 2}\times \frac{4x + 2}{4x + 1}= \frac{1}{4x + 1}$

নির্ণেয় শর্ত :  $x<- \frac{3}{4}$ অথবা $x>- \frac{1}{4}$ এবং অসীমতক সমষ্টি  $\frac{1}{4x + 1}$