${\left(a+ \frac{1}{a}\right)}^2 = 3$ হলে, প্রমাণ করুন যে, $a^3 + \frac{1}{a^3} = 0$

বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা

       ,,     ৪৫০০০    ,,   ,,       ,,        ,, 

                                                  =৫০০০০ টাকা

আবার,

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১১৫ টাকা

     ,,     ৫০০০০   ,,    ,,        ,,      ,, 

                                                  = ৫৭৫০০ টাকা

ধরি, টিপু 'ক' সংখ্যক কলম কিনেছিল এবং প্রতিটি কলমের দাম ছিল 'খ' টাকা।
তাহলে শর্তানুযায়ী:
ক × খ = ২৪০  ----------(১)
যদি সে একটি কলম বেশি পেত, তাহলে কলমের সংখ্যা হতো (ক + ১)।
এবং প্রতিটি কলমের দাম গড়ে ১ টাকা কম হতো, মানে প্রতিটি কলমের দাম হতো (খ - ১) টাকা।
তখনও মোট খরচ ২৪০ টাকাই হতো।
তাহলে,
(ক + ১) × (খ - ১) = ২৪০ ----------(২)
এখন, সমীকরণ (১) থেকে পাই, খ = ২৪০/ক
এই মান সমীকরণ (২) এ বসিয়ে পাই:
(ক + ১) × (২৪০/ক - ১) = ২৪০
বা, (ক + ১) × ((২৪০ - ক)/ক) = ২৪০
বা, (ক + ১) × (২৪০ - ক) = ২৪০ক
বা, ২৪০ক - ক² + ২৪০ - ক = ২৪০ক
বা, -ক² - ক + ২৪০ = ০
বা, ক² + ক - ২৪০ = ০
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এটিকে সমাধান করতে পারি:
ক² + ১৬ক - ১৫ক - ২৪০ = ০
বা, ক(ক + ১৬) - ১৫(ক + ১৬) = ০
বা, (ক + ১৬)(ক - ১৫) = ০
সুতরাং, ক + ১৬ = ০  অথবা, ক - ১৫ = ০
তাহলে, ক = -১৬ অথবা, ক = ১৫
যেহেতু কলমের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ক = ১৫।
অর্থাৎ, টিপু ১৫টি কলম কিনেছিল।