A hemisphere and a right circular cone on equal bases are of equal height. Find the ratio of their volumes. (পরিমিতি)

ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)

যে জ্যামিতিতে ত্রিমাত্রিক বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নিয়ে আলোচনা করা হয় তাকে ঘন জ্যামিতি বলা হয়। এই ধরনের বস্তুর আয়তন, পৃষ্ঠতল, কর্ণ ইত্যাদি নির্ণয় করা হয়।

ঘন জ্যামিতির বস্তুকে ত্রিমাত্রিক (3D) বস্তু বলা হয় কারণ এদের—

• দৈর্ঘ্য (Length)
• প্রস্থ (Width)
• উচ্চতা (Height)

থাকে।

ঘন জ্যামিতির প্রধান বস্তুসমূহ

• ঘনক (Cube)
• আয়তঘন (Cuboid)
• সিলিন্ডার (Cylinder)
• শঙ্কু (Cone)
• গোলক (Sphere)
• অর্ধগোলক (Hemisphere)

১. ঘনক (Cube)

যে ঘনের সবগুলো বাহু সমান তাকে ঘনক বলে।

আয়তন

$V=a^3$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল

$T=6a^2$

ঘনকের কর্ণ

$d=a\sqrt{3}$

২. আয়তঘন (Cuboid)

যে ঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা ভিন্ন হতে পারে তাকে আয়তঘন বলে।

আয়তন

$V=l\times w\times h$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল

$T=2(lw+wh+hl)$

কর্ণ

$d=\sqrt{l^2+w^2+h^2}$

৩. সিলিন্ডার (Cylinder)

দুটি সমান বৃত্তাকার তল ও একটি বাঁকা পৃষ্ঠবিশিষ্ট ঘনবস্তুকে সিলিন্ডার বলে।

আয়তন

$V=\pi r^{2}h$

বক্রতলের ক্ষেত্রফল

$C=2\pi rh$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল

$T=2\pi r(r+h)$

৪. শঙ্কু (Cone)

একটি বৃত্তাকার ভূমি ও একটি শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ঘনবস্তুকে শঙ্কু বলে।

আয়তন

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

তির্যক উচ্চতা

$l=\sqrt{r^2+h^2}$

বক্রতলের ক্ষেত্রফল

$C=\pi rl$

৫. গোলক (Sphere)

যে ঘনবস্তুর পৃষ্ঠের সব বিন্দু কেন্দ্র থেকে সমদূরত্বে থাকে তাকে গোলক বলে।

আয়তন

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

$T=4\pi r^2$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• আয়তন সবসময় ঘন এককে প্রকাশ করা হয়
• পৃষ্ঠতল বর্গ এককে প্রকাশ করা হয়
• ঘনকের সব বাহু সমান
• সিলিন্ডার ও শঙ্কুতে π ব্যবহৃত হয়

মনে রাখার কৌশল

• Cube → a³
• Cuboid → l × w × h
• Cylinder → πr²h
• Cone → (1/3)πr²h
• Sphere → (4/3)πr³