ঘন জ্যামিতি (Solid geometry)

ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)

যে জ্যামিতিতে ত্রিমাত্রিক বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নিয়ে আলোচনা করা হয় তাকে ঘন জ্যামিতি বলা হয়। এই ধরনের বস্তুর আয়তন, পৃষ্ঠতল, কর্ণ ইত্যাদি নির্ণয় করা হয়।

ঘন জ্যামিতির বস্তুকে ত্রিমাত্রিক (3D) বস্তু বলা হয় কারণ এদের—

• দৈর্ঘ্য (Length)
• প্রস্থ (Width)
• উচ্চতা (Height)

থাকে।

ঘন জ্যামিতির প্রধান বস্তুসমূহ

• ঘনক (Cube)
• আয়তঘন (Cuboid)
• সিলিন্ডার (Cylinder)
• শঙ্কু (Cone)
• গোলক (Sphere)
• অর্ধগোলক (Hemisphere)

১. ঘনক (Cube)

যে ঘনের সবগুলো বাহু সমান তাকে ঘনক বলে।

আয়তন

$V=a^3$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল

$T=6a^2$

ঘনকের কর্ণ

$d=a\sqrt{3}$

২. আয়তঘন (Cuboid)

যে ঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা ভিন্ন হতে পারে তাকে আয়তঘন বলে।

আয়তন

$V=l\times w\times h$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল

$T=2(lw+wh+hl)$

কর্ণ

$d=\sqrt{l^2+w^2+h^2}$

৩. সিলিন্ডার (Cylinder)

দুটি সমান বৃত্তাকার তল ও একটি বাঁকা পৃষ্ঠবিশিষ্ট ঘনবস্তুকে সিলিন্ডার বলে।

আয়তন

$V=\pi r^{2}h$

বক্রতলের ক্ষেত্রফল

$C=2\pi rh$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল

$T=2\pi r(r+h)$

৪. শঙ্কু (Cone)

একটি বৃত্তাকার ভূমি ও একটি শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ঘনবস্তুকে শঙ্কু বলে।

আয়তন

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

তির্যক উচ্চতা

$l=\sqrt{r^2+h^2}$

বক্রতলের ক্ষেত্রফল

$C=\pi rl$

৫. গোলক (Sphere)

যে ঘনবস্তুর পৃষ্ঠের সব বিন্দু কেন্দ্র থেকে সমদূরত্বে থাকে তাকে গোলক বলে।

আয়তন

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

$T=4\pi r^2$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• আয়তন সবসময় ঘন এককে প্রকাশ করা হয়
• পৃষ্ঠতল বর্গ এককে প্রকাশ করা হয়
• ঘনকের সব বাহু সমান
• সিলিন্ডার ও শঙ্কুতে π ব্যবহৃত হয়

মনে রাখার কৌশল

• Cube → a³
• Cuboid → l × w × h
• Cylinder → πr²h
• Cone → (1/3)πr²h
• Sphere → (4/3)πr³

আয়তাকার ঘনবস্তু (Rectangular solid)

তিন জোড়া সমান্তরাল আয়তাকার সমতল বা পৃষ্ঠ দ্বারা আবদ্ধ ঘনবস্তুকে আয়তাকার ঘনবস্তু বলে।

মনে করি, ABCDEFGH একটি আয়তাকার ঘনবস্তু। এর দৈর্ঘ্য AB = a, প্রস্থ BC = b, উচ্চতা AH = c

১. কর্ণ নির্ণয় : ABCDEFGH আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ AF ।

△ABC এ BC ⊥ AB এবং AC অতিভুজ।

২. সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় : আয়তাকার ঘনবস্তুটির 6 টি তল যেখানে, বিপরীত তলগুলো পরস্পর সমান।

আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল

= 2(ABCD তলের ক্ষেত্রফল + ABGH তলের ক্ষেত্রফল + BCFG তলের ক্ষেত্রফল)

= 2(AB × AD + AB × AH + BC × BG)

= 2 (ab + ac + bc ) = 2 (ab + bc + ca)

৩. আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = abc

উদাহরণ ২৮. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে, 25 সে.মি., 20 সে.মি. এবং 15 সে.মি.। এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল, আয়তন এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a = 25 সে.মি., প্রস্থ b = 20 সে.মি. এবং উচ্চতা c = 15 সে.মি.।$\therefore$ আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 2 (ab + bc + ca)

= 2 (25 × 20 + 20 × 15 + 15 × 25 ) 2350 বর্গ সে.মি.

এবং আয়তন = abc = 25 × 20 × 15 = 7500 ঘন সে.মি.

নির্ণেয় সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 2350 বর্গ সে.মি., আয়তন 7500 ঘন সে.মি. এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 35.363 সে.মি. (প্রায়)।

আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে একে ঘনক বলা হয়।

মনে করি, ABCDEFGH একটি ঘনক। এর দৈর্ঘ্য = প্রস্থ = উচ্চতা = a একক

উদাহরণ ২৯. একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার। এর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, ঘনকটির ধার a

বেলন (Cylinder)

কোনো আয়তক্ষেত্রের যে কোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়। সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়। আয়তক্ষেত্রের অক্ষের সমান্তরাল ঘূর্ণায়মান বাহুটিকে বেলনের সৃজক বা উৎপাদক রেখা বলে।

উপরের, চিত্রটি একটি সমবৃত্তভূমিক বেলন যার ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h

১. ভূমির ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$

২. বজ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ভূমির পরিধি × উচ্চতা= $2\pi rh$

৩. সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল

বা, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=\left(\pi r^2+2\pi rh+\pi r^2\right)=2\pi r(r+h)$

৪. আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা $=\pi r^{2}h$

উদাহরণ ৩০. একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে এর আয়তন এবং সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান: মনে করি, সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা h = 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ r

$\therefore$ এর আয়তন $=\pi r^{2}h$

উদাহরণ ৩১. ঢাকনাসহ একটি বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 10 সে.মি., 9 সে.মি. ও 7 সে.মি.। বাক্সটির ভিতরের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 262 বর্গ সে. মি. এবং বাক্সের পুরুত্ব সমান।

ক) বাক্সটির আয়তন নির্ণয় কর।

খ) বাক্সটির দেওয়ালের পুরুত্ব নির্ণয় কর।

গ) বাক্সটির বৃহত্তম দৈর্ঘ্যের সমান বাহুবিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) বাক্সটির বাইরের মাপ যথাক্রমে 10 সে.মি., 9 সে.মি. ও 7 সে.মি.$\therefore$ বাক্সটির বাইরের আয়তন 10 × 9 × 7 = 630 ঘন সে.মি.।

খ) মনে করি, বাক্সের পুরুত্ব . ঢাকনাসহ বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 10 সে.মি., 9 সে.মি. ও 7 সে.মি.

$\therefore$ বাক্সের ভিতরের মাপ যথাক্রমে a = (10 – 2x) সে.মি., b = (9 – 2x) সে.মি,

এবং c = (7 – 2x) সে.মি.

বাক্সের ভিতরের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 2 (ab + bc + ca)

প্রশ্নানুসারে, 2(ab + bc + ca) 262

বা, (10 - 2x) (9 - 2x) + (9 - 2x) (7 - 2x) + (7 - 2x) (10 — 2x) = 131

বা, $90-38x+4x^2+63-32x+4x^2+70-34x+4x^2-131=0$

বা, $12x^2–104x+92=0$

বা, $3x^2– 26x+23=0$

বাক্সটির পুরুত্ব তার বাইরের তিনটি পরিমাপের কোনটির চেয়েই বড় হতে পারে না।

নির্ণেয় বাক্সের পুরুত্ব 1 সে.মি.

যে ত্রিমাত্রিক বস্তুর পৃষ্ঠের প্রতিটি বিন্দু কেন্দ্র থেকে সমদূরত্বে থাকে তাকে গোলক (Sphere) বলে। গোলকের বাইরের মোট পৃষ্ঠের পরিমাণকে গোলকের ক্ষেত্রফল বা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল বলা হয়।

গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সূত্র

$A=4\pi r^2$

এখানে,
A = গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
r = গোলকের ব্যাসার্ধ
π ≈ 3.1416 অথবা 22/7

ব্যাসের সাহায্যে সূত্র

যেহেতু,

$d=2r$

তাই ক্ষেত্রফল,

$A=\pi d^2$

অর্ধগোলকের ক্ষেত্রফল (Hemisphere)

বক্রতলের ক্ষেত্রফল

$A=2\pi r^2$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

$A=3\pi r^2$

উদাহরণ ১

একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল:

$A=4\times \frac{22}{7}\times 7^2$

= 4 × 22 × 7

= 616

অতএব, ক্ষেত্রফল = 616 বর্গ সেমি।

উদাহরণ ২

একটি অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 5 সেমি হলে সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল:

$A=3\pi 5^2$

= 75π

অতএব, ক্ষেত্রফল = 75π বর্গ সেমি।

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• গোলকের কোনো প্রান্ত বা কোণ নেই
• গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলে সর্বদা 4πr² ব্যবহৃত হয়
• অর্ধগোলকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলে ভিত্তির বৃত্তও যুক্ত হয়

মনে রাখার কৌশল

• Sphere → 4πr²
• Hemisphere curved surface → 2πr²
• Hemisphere total surface → 3πr²

শঙ্কু / কোণক (Cone) এর ক্ষেত্রফল

যে ঘনবস্তুর একটি বৃত্তাকার ভূমি এবং একটি শীর্ষবিন্দু থাকে তাকে শঙ্কু বা কোণক (Cone) বলা হয়।

শঙ্কুর ক্ষেত্রফল সাধারণত দুই ধরনের হয়—

• বক্রতলের ক্ষেত্রফল (Curved Surface Area)
• সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (Total Surface Area)

কোণক উপাদান

• r = ব্যাসার্ধ
• h = লম্ব উচ্চতা
• l = তির্যক উচ্চতা (Slant Height)

তির্যক উচ্চতার সূত্র

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

$l=\sqrt{r^2+h^2}$

বক্রতলের ক্ষেত্রফল (Curved Surface Area)

$C=\pi rl$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (Total Surface Area)

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল = বক্রতল + ভূমির ক্ষেত্রফল

$T=\pi rl+\pi r^2$

অথবা,

$T=\pi r(l+r)$

শঙ্কুর আয়তন

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

উদাহরণ ১

একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 7 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 10 সেমি হলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল:

$C=\pi rl$

= (22/7) × 7 × 10

= 220

অতএব, বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 220 বর্গ সেমি।

উদাহরণ ২

একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 5 সেমি হলে সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল:

$T=\pi r(l+r)$

= π × 3 × (5 + 3)

= 24π

অতএব, সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 24π বর্গ সেমি।

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• শঙ্কুর বক্রতলে ভূমির বৃত্ত অন্তর্ভুক্ত হয় না
• সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলে ভূমির ক্ষেত্রফল যুক্ত হয়
• তির্যক উচ্চতা নির্ণয়ে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহৃত হয়

মনে রাখার কৌশল

• Curved Surface → πrl
• Total Surface → πr(l + r)
• Volume → (1/3)πr²h

প্রিজম ও পিরামিড (Prism & Pyramid) এর ক্ষেত্রফল

প্রিজম ও পিরামিড হলো ঘন জ্যামিতির গুরুত্বপূর্ণ ত্রিমাত্রিক বস্তু। এদের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় গণিতে গুরুত্বপূর্ণ।

প্রিজম (Prism)

যে ঘনবস্তুর দুটি সমান্তরাল ও সমান ভিত্তি থাকে এবং পার্শ্বতলগুলো আয়তাকার হয় তাকে প্রিজম বলে।

উদাহরণ:
• ত্রিভুজাকার প্রিজম
• চতুর্ভুজাকার প্রিজম

প্রিজমের উপাদান

• ভিত্তির ক্ষেত্রফল = B
• ভিত্তির পরিসীমা = P
• উচ্চতা = h

প্রিজমের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল

$L=Ph$

প্রিজমের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

$T=Ph+2B$

প্রিজমের আয়তন

$V=Bh$

উদাহরণ

একটি প্রিজমের ভিত্তির ক্ষেত্রফল 20 বর্গ সেমি, ভিত্তির পরিসীমা 18 সেমি এবং উচ্চতা 10 সেমি হলে—

পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল:

$L=18\times 10=180$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল:

$T=180+2\times 20=220$

পিরামিড (Pyramid)

যে ঘনবস্তুর একটি বহুভুজাকার ভিত্তি এবং সব পার্শ্বতল ত্রিভুজাকার হয়ে একটি শীর্ষবিন্দুতে মিলিত হয় তাকে পিরামিড বলে।

উদাহরণ:
• ত্রিভুজাকার পিরামিড
• বর্গাকার পিরামিড

পিরামিডের উপাদান

• ভিত্তির ক্ষেত্রফল = B
• ভিত্তির পরিসীমা = P
• তির্যক উচ্চতা = l
• লম্ব উচ্চতা = h

পিরামিডের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল

$L=\frac{1}{2}Pl$

পিরামিডের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

$T=\frac{1}{2}Pl+B$

পিরামিডের আয়তন

$V=\frac{1}{3}Bh$

উদাহরণ

একটি পিরামিডের ভিত্তির পরিসীমা 24 সেমি, তির্যক উচ্চতা 5 সেমি এবং ভিত্তির ক্ষেত্রফল 36 বর্গ সেমি হলে—

পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল:

$L=\frac{1}{2}\times 24\times 5=60$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল:

$T=60+36=96$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• প্রিজমের দুটি সমান ও সমান্তরাল ভিত্তি থাকে
• পিরামিডের একটি ভিত্তি ও একটি শীর্ষবিন্দু থাকে
• প্রিজমের পার্শ্বতল আয়তাকার
• পিরামিডের পার্শ্বতল ত্রিভুজাকার

মনে রাখার কৌশল

• Prism TSA → Ph + 2B
• Prism Volume → Bh
• Pyramid TSA → (1/2)Pl + B
• Pyramid Volume → (1/3)Bh