A rectangular plot has a concrete path running in the middle of the plot parallel to the breadth of the plot. The rest of the plot is used as a lawn, which has an area of $240m^2$. If the width of . the path is 3m and the length of the plot is greater than its breadth by 2m, what is the area of the rectangular plot?

(Geometry (Rectangle))

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র দৈর্ঘ্য x প্রস্থ।

দেয়া আছে, রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = (৫০-২x) মিটার

$\therefore$রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = (৪০-২x) মিটার

প্রশ্নমতে, (৫০-২x)(৪০-২x)=১২০০

=২০০০-১০০x-৮০x+৪x^২=১২০০

=x^২-৪৫x+২০০=০

=x^২-৪০x-৫x+২০০=০

=x(x-৪০)-৫(x-৪০)=০

$\therefore$(x-৪০) (x-৫)=০

এখানে x=৪০ হতে পারে না কেননা, তা প্রস্থের সমান হয়ে যায়।

$\therefore$x=৫

আয়তাকার বাগানের পরিসীমা 

= ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার 

=২(৫০+৪০) মিটার

=২$\times$৯০ মিটার

=১৮০ মিটার

এখন, বর্গাকার ক্ষেত্রের একবাহু x হলে ৪x হলো তার পরিসীমা।

প্রশ্নমতে, ৪x = ১৮০

=x=$\frac{১৮০}{৪}=৪৫$

$\therefore$^x২=(৪৫)^২=২০২৫

অর্থ্যাৎ বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে ২০২৫ বর্গমিটার।

দেয়া আছে, বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ৫ ফুট

অতএব, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৫^২ = ২৫ ফুট 

অতএব, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৫ বর্গফুট

দেয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৪ ফুট

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য= $\frac{২৫}{৪}=৬.২৫$ ফুট

Let, the length of the rectangle is x meter 

And the width of the rectangle is y meter

According to question,

$$\begin{gathered} 2y=x+10 ............ \left(i\right) \\ And xy=600 ....... \left(ii\right) \\ From equation \left(ii\right) \\ xy=600 \\ x=\frac{600}{y}...........\left(iii\right) \\ Putting the value of x in equation \left(i\right) \\ 2y=x+10 \\ \Rightarrow 2y=\frac{600}{y}+10 \\ \Rightarrow 2y^2-10y-600=0 \\ \Rightarrow y^2-5y-300=0 \left[Dividing both sides by 2\right] \\ \Rightarrow y^2-20y+15y-300=0 \\ \Rightarrow y\left(y-20\right)+15\left(y-20\right)=0 \\ \Rightarrow \left(y-20\right)\left(y+15\right)=0 \\ \therefore \left(y-20\right)\left(y+15\right)=0 \end{gathered}$$

Since width cannot be (-)ve. So we find y=20

That means the width of the rectangle is 20 meters

The length of the rectangle is $x=\frac{600}{y}$ 

$\therefore x=\frac{600}{20}=30$

The length of the rectangle is 30 meters.

 The perimeter of the rectangle = $2\times (30+20) = 2\times 50=100$ meters. 

ans. The perimeter is 100m.